Лекции по динамике

 

 

Главная

Лекция 1. Динамика точки.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Динамика точки.

2. Основные понятия и определения.

3. Законы динамики.

4. Силы в природе.

5. Силы трения.

6. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.

7. Методические указания по решению задач.

8. Дифференциальные уравнения движения точи.

9. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести.

10. Относительное движение материальной точки.

11. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел.

12. Общие теоремы динамики точки.

13. Количество движения (импульс).

14. Импульс силы.

15. Теорема об изменении количества движения (импульса) точки.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

 

 

Динамика точки. Основные понятия и определения.

В разделе кинематики исследовалось движение тел без учета причин, обеспечивающих это движение. Рассматривалось движение, заданное каким-либо способом и определялись траектории, скорости и ускорения точек этого тела.

В разделе динамики решается более сложная и важная задача. Определяется движение тела под действием сил приложенных к нему, с учетом внешних и внутренних условий, влияющих на это движение, включая самих материальных тел.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механи­ческого взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике мы, по существу, считали все силы постоян­ными. Между тем, на движущееся тело наряду с постоян­ными силами (постоянной, например, можно считать силу тяжести) действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются.

Сила – векторная физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате чего у тела изменяется скорость, то есть появляется ускорение, или происходит деформация тела, либо имеет место и то, и другое. В том случае, когда тело при взаимодействии получает ускорение, говорят о динамическом проявлении сил. В том случае, когда тело при взаимодействии деформируется, говорят о статическом проявлении сил.  векторная величина.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при посте­пенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопро­тивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одина­ковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является фи­зическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

За единицу массы принят эталон – сплав платины и иридия, хранящийся в палате мер и весов в Париже: [m]=кг. Масса–величина аддитивная  и скалярная.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммар­ной массы и приложенных сил; характер движения может еще зави­сеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т.е. от распределения масс).

Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния формы тел (распределения масс), вво­дится понятие о материальной точке.

Под материальной точкой понимают материальное тело столь малых размеров, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь и положение которого можно определить координатами одной из его точек.

Практически данное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда расстояния, проходимые точками тела при его движении, очень велики по сравнению с размерами самого тела. Кроме того, как будет показано в динамике системы поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Наконец, материальными точками можно считать частицы, на кото­рые мы будем мысленно разбивать любое тело при определении тех или иных его динамических характеристик.

Точку будем называть изолированной, если на точку не оказывается никакого влияния, никакого действия со стороны других тел и среды, в которой точка движется. Конечно, трудно привести пример подобного состояния. Но представить такое можно.

При вращательном движении тела точки могут двигаться неодинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому при изучении динамики выделяют два основных раздела: "Динамика материальной точки" и "Динамика материальной системы", из которых первый предваряет второй.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

 

 Законы динамики

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений над движением тел и проверенные обширной общественно-исторической практикой человечества. Систематически эти законы были впервые изложены И. Ньютоном. 

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел компенсировано.

или в другой формулировке

если сумма действующих на тело сил равна нулю, то тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое.

Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоян­ной по модулю и направлению скоростью  ( =const); ускорение точки при этом равно нулю:  = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Сол­нечной системы инерциальной является система отсчета, начало кото­рой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, называются неинерциальными. Неинерциальными будут системы, движущиеся с ускорением, или вращающиеся.

Второй закон (основной закон динамики)  гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы (рис.1).

image015

Рис.1

 

Математически этот закон выражается векторным равенством .

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость  ma = F.       

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непо­средственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса кото­рой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.

Известно, что вес тела и ускорение его свободного падения пустоте существенно зависят от места земной поверхности. В данной точке земли ускорение свободного падения всех тел одинаково и обозначается буквой g. Экспериментально установлено, что отношение веса Р тела к ускорению его свободного падения g есть постоянная величина, не зависящая от места наблюдения. Это отношение m = P/g также определяет массу тела. Таким образом, различают тяжелую массу m1 = P/g и инертную массу m2 = F/a. В классической механике считается, что m1=m2=m.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействую­щей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражаю­щее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

 или .

Существует и более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равно действующей на нее силе: . Данное выражение называется уравнением движения материальной точки.

В общем случае сила, действующая на тело, изменяется со временем и по величине, и по направлению. Но в течение элементарного промежутка времени dt мы можем считать, что =const. Векторная величина , равная , называется элементарным импульсом (силы).

Второй закон Ньютона в дифференциальной форме:

в проекциях на оси:

Из второго закона также получим размерность силы: 1Н=1 кг1 м/с2.

 

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны (рис.2).         

Рис.2

 

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.

Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки - . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе, . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .

Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение

Fин=ma.

И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.

Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции

.

То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.

1_1

Рис.3

 

Причём

Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.

Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодей­ствия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.

Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия  других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

Законы Ньютона в классической механике применимы для описания движения: а) макротел; б) для тел постоянной массы; в) при скоростях, значительно меньших скорости света.

 

Силы в природе.

В природе существует много разных видов сил: тяготения, тяжести, Лоренца, Ампера, взаимодействия неподвижных зарядов и т.д., но все они в конечном счете сводятся к небольшому числу фундаментальных (основных) взаимодействий. Современная физика считает, что существует в природе лишь четыре вида сил или четыре вида взаимодействий:

1) гравитационное взаимодействие (осуществляется через гравитационные поля);

2) электромагнитное взаимодействие (осуществляется через электромагнитные поля);

3) ядерное (или сильное) (обеспечивает связь частиц в ядре);

4) слабое (отвечает за процессы распада элементарных частиц).

В рамках классической механики имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения.

Гравитационные силы (силы тяготения) – это силы притяжения, которые подчиняются закону всемирного тяготения.

Сила тяжести – сила, с которой тело притягивается Землей. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением , называемым ускорением свободного падения. По второму закону Ньютона, на всякое тело действует сила: , называемая силой тяжести.

Вес сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на подвес или опору.

Сила тяжести  равна весу только в том случае, когда опора или подвес неподвижны относительно Земли. По модулю вес  может быть как больше, так и меньше силы тяжести . Эти силы приложены к разным телам:  приложена к самому телу,   – к подвесу или опоре, ограничивающим свободное движение тела в поле земного тяготения.

В случае ускоренного движения опоры (например, лифта, везущего груз) уравнение движения (с учетом того, что сила реакции опоры равна по величине весу, но имеет противоположный знак ): . Если движение происходит вверх P=m(g+a), вниз: P=m(g-a).

При свободном падении тела его вес равен нулю, т.е. оно находится в состоянии невесомости.

Силы упругости возникают в результате взаимодействия тел, сопровождающегося их деформацией. Упругая (квазиупругая) сила пропорциональна смещению частицы из положения равновесия и направлена к положению равновесия: .

Силы трения являются одним из проявлений контактного взаимодействия тел, в частности сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого:  и направлена по касательной к трущимся поверхностям в сторону, противоположную движению данного тела относительно другого.

Упругие силы и силы трения определяются характером взаимодействия между молекулами вещества, которое имеет электромагнитное происхождение, следовательно они по своей природе имеют электромагнитные происхождения. Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым силам. Упругие силы и силы трения не являются фундаментальными. Фундаментальные взаимодействия отличаются простотой и точностью законов.

 

Силы трения.

Трение является одним из проявлений контактного взаимодействия тел. Трение различают двух видов: внешнее и внутреннее.

Силы внешнего трения возникают на поверхности контакта двух тел. Внутреннее трение – это тангенциальное взаимодействие между слоями одного и того же тела. Если сила трения возникает при движении твердого тела в жидкой или газообразной среде, то ее относят к силам внутреннего трения.

Трение между поверхностями твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки или смазки называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется вязким или жидким.

Рассмотрим сухое трение. Различают три его вида: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

а) Сила трения покоя – это сила, действующая между соприкасающимися телами, находящимися в состоянии покоя, равная по величине и противоположно направленная силе, понуждающей тело к движению.

До возникновения скольжения сила трения покоя может иметь любое направление и принимать любое значение от нуля до некоторого максимального, при котором возникает скольжение: .

Силу трения покоя, равную по модулю внешней силе, при которой начинается скольжение данного тела по поверхности другого, называют максимальной силой трения покоя.

Французские физики Г.Амонтон и Ш.Кулон установили, что: максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры (нормального давления) и не зависит от площади соприкосновения трущихся тел

где μ – коэффициент трения покоя, зависит от физической природы соприкасающихся тел и обработки их поверхностей,

б) Трение скольжения. Если к телу приложить внешнюю силу, превышающую , то тело начинает скользить. Сила трения продолжает существовать и называется силой трения скольжения.

Силы трения скольжения действуют вдоль поверхности контакта двух тел. Они приложены к обеим трущимся поверхностям в соответствии с третьим законом Ньютона. Модуль силы трения скольжения зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел (см. рис.4). Уменьшение силы трения скольжения при малых скоростях объясняется тем, что при движении тела, имеющиеся на его поверхности микроскопические выступы не успевают так глубоко западать в углубления поверхности другого тела, как при покое. Деформируются только «верхушки» выступов. Увеличение силы трения скольжения при больших скоростях связано с разрушением выступов и их размельчением. У грубо обработанной поверхности основную роль в возникновении сил трения покоя и скольжения играют зацепления неровностей, а при тщательной обработке – молекулярное или атомное сцепление. При специальной обработке поверхностей сила трения скольжения может практически не зависеть от скорости.

Рис.4

 

Силы трения скольжения также зависят от нормального давления на поверхность соприкосновения. При постоянной скорости движения:

Коэффициент трения скольжения μск зависит от материала тел, состояния поверхностей и от относительной скорости движения тел. В первом приближении можно считать μск равным коэффициенту трения покоя μ (μск =μ). Для определения μ положим тело на наклонную плоскость и начнем увеличивать угол наклона α. Из (1) μ=F/N. При определенном значении α тело начинает движение вниз.

Тело приходит в движение, когда (рис.5) F=Fтр и F=mgsinα; N=mgcosα, тогда:

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла α0, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Рис.5

 

в) Трение качения. При качении тела по поверхности другого возникает особая сила – сила трения качения, которая препятствует качению тела. Сила терния качения при тех же материалах соприкасаемых тел всегда меньше силы терния скольжения. Этим пользуются на практике, заменяя подшипники скольжения шариковыми или роликовыми подшипниками. Кулон опытным путем установил для катящегося цилиндра радиуса R:

где μК – коэффициент трения качения, величина которого уменьшается с увеличением твердости материала и шероховатости его поверхности.

Для катящегося обода

На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действует сила жидкого трения, тормозящая его движение.

Сила жидкого трения вместе со скоростью обращается в нуль. При небольших скоростях она растет пропорционально скорости:

Коэффициент k1 зависит от формы и размеров тела, характера его поверхности, а также от свойства среды, называемого вязкостью.

При увеличении скорости линейная зависимость постепенно переходит в квадратичную:

k2 также зависит от формы тела, от площади лобового сопротивления, от вязкости жидкости (ею пренебрегают).

Границы области, в которой происходит переход от закона (2) к закону (3), зависят от тех же факторов, от которых зависит коэффициент k1.

 

Задачи динамики для свободной и несвободной мате­риальной точки.

Для свободной материальной точки задачами дина­мики являются следующие:

1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики);

2) зная дей­ствующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, вы­ражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение  т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвобод­ного движения точки, т.е. со случаями, когда точка, благодаря на­ложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвиж­ной поверхности или кривой.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка.  Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности,  которое называется уравнением связи.

f(x,y,z)=0

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.

.

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей.

Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.

Связь называется двухсторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.

Пример. Материальная точка подвешена на стержне длины l (рис.6).

Уравнение связи имеет вид:

x2+y2+z2=l2

Рис.6

 

Связь называется односторонней если, накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.

Пример. Материальная точка подвешена на нити  длины  l (рис.7).

Уравнение связи имеет вид:

x2+y2+z2l2

 

Рис.7

 

В случаях несвободного движения точки, как и в статике, будем при решении задач исхо­дить из аксиомы связей (принцип освобождаемости от связей), согласно которой всякую несвободную ма­териальную точку можно рассматривать как свободную, отбросив связь и заменив ее действие реакцией этой связи . Тогда основной закон динамики для несвободного движения точки примет вид: 

,                 

где  ействующие на точку активные силы.

Пусть на точку действует несколько сил. Составим для неё основное уравнение динамики:  . Перенесём все члены в одну сторону уравнения и запишем так:  или .

Это уравнение напоминает условие равновесия сходящихся сил. Поэтому можно сделать вывод, что, если к движущейся материальной точке приложить её силу инерции, то точка будет находиться в равновесии. (Вспомним, что на самом деле сила инерции не приложена к материальной точке и точка не находится в равновесии.) Отсюда следует метод решения таких задач, который называется методом кинетостатики:

Если к силам, действующим на точку, добавить ее силу инерции, то задачу можно решать методами статики, составлением уравнений равновесия.

Первая задача динамики для несвободного движения будет обычно сводиться к тому, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи.

 

Методические указания по решению задач.

Решать задачи с применением законов динамики целесообразно следующим образом.

1) Выбрать систему отсчета - инерциальную или неинерциальную.

2) Установить, каким моделям объектов и движений соответствует физическая ситуация, описанная в условии задачи. Сделать рисунок.

3) Назвать все силы, действующие на каждое тело, указывая их происхождение. Изобразить силы на рисунке. Записать законы сил.

4) Записать законы динамики в векторной форме.

5) Выбрать и изобразить на рисунке оси координат. Ось х удобно направить по вектору ускорения. Можно для всех тел указать общую систему координат, иногда удобно каждому телу сопоставить свою систему.

6) Записать систему динамических уравнений в проекциях на оси координат.

7) Установить уравнения кинематической связи.

8) Проверить, является ли система уравнений полной, решить ее в общем виде.

9) Проанализировать полученный результат.

Примечание: при решении некоторых задач выполняются не все пункты алгоритма.

 

Пример 1. При движении автомобиля с постоянным ускорением , маятник (материальная точка подвешенная на нити) отклоняется от вертикали на угол  (рис.8). Определим с каким ускорением движется автомобиль и натяжение нити.

2_1

Рис.8

 

Решение. Рассмотрим «динамическое равновесие» точки. Его так называют потому, что на самом деле точка не находится в равновесии, она движется с ускорением.

На точку действуют силы: вес  и натяжение нити , реакция нити. Приложим к точке ее силу инерции , направленную в сторону противоположную ускорению точки и автомобиля, и составим уравнение равновесия:

;

.

Рис. 13.1.

 
Из второго уравнения следует  

Из первого  и .

 

Пример 2. Лифт весом Р (рис.9) начинает подниматься с ускоре­нием a. Определить натяжение троса.

Рис. 9

 

Решение. Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Т и, составляя уравнение  в проекции на вертикаль, получаем: 

Отсюда находим:

Если лифт начнёт опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно:

 

Пример 3. Тело массой 300 кг лежит на полу кабины грузового подъемника, поднимающегося вверх (рис.10). Дано: m=300 кг, а=3 м/с2 – ускорение кабины.

Определить силу давления тела на пол кабины Р.

Рис.10

 

Решение. Основной закон динамики для тела запишется в виде:

где  - сила реакции опоры.

Рассмотрим два случая:

а) ускорение направлено вверх:  ma=N1mg,

отсюда N1=ma+mg.

По третьему закону Ньютона Р1=N1 , Р1= ma+ mg, Р1=3,84 кН.

б) ускорение направлено вниз: -ma=N2 - mg,

следовательно N1=mgma, т.е. Р2=mg- ma,  Р2=2,04 кН.

 

Пример 4. К нити подвешен груз (рис.11) массой m=1 кг. Найти силу натяжения нити Т, если 1) нить с грузом покоится; 2) двигается вниз с ускорением a= 5 м/с2; 3) двигается вверх с ускорением  a= 5 м/с2.

Рис.11

 

Решение. На тело действуют две силы: сила тяжести   и сила натяжения . Уравнение движения тела (второй закон Ньютона) в данном случае имеет вид:

Выберем направление оси y вниз и спроецируем на нее векторы сил и ускорения:

1) =0     0=mg-T     T=mg=19,8=9,8 Н.

2)  направлено вниз     ma=mg-T     T=m(g-a)=1(9,8-5)=4,8 Н.

3)  направлено вверх     ma=mg-T     T=m(g+a)=1(9,8+5)=14,8 Н.

 

Пример 5. Груз массой 50 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы F=300 Н, направленной под углом α=30° к горизонтали (рис.12). Коэффициент трения груза о плоскость μ=0,1. Определить ускорение, с которым движется груз.

Рис.12

 

Решение. Уравнение движения тела

Выберем направления осей х и y и спроецируем на них силы и ускорение:

Поскольку Fтр=μN, а из второго уравнения N=mg-Fsinα, то Fтр=μ(mg-Fsinα). Тогда из первого уравнения ускорение

 

Пример 6. Санки массой m тянут по горизонтальной поверхности с силой F, направленной под углом α к горизонту (рис.12.1). Коэффициент трения между санками и горизонтальной поверхностью равен μ. Определить ускорение санок.

Рис.12.1

 

Решение.

1. Движение рассматривается относительно Земли, которую считаем инерциальной системой отсчета.

2. В задаче рассматривается поступательное движение твердого тела.

3. На санки действует Земля с силой тяжести mg, веревка с силой F и горизонтальная поверхность с силами нормального давления N и силой трения скольжения Fтр, модуль которой равен

4. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

5. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось х была направлена по вектору ускорения.

6. Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

8. В эти три уравнения входят три неизвестных: Fтр, N и а, то есть система уравнений является полной. Разрешим эту систему. Из (3) находим N=mg-Fsinα, из (1) Fтр=μ(mg-Fsinα). Подставляя в (2), получаем

9. Обратим внимание, что сила нормального давления N по величине меньше силы тяжести mg, т.к. вертикальной составляющей силы F санки приподнимаются, а следовательно уменьшается их взаимодействие с горизонтальной поверхностью.

 

Пример 7. Тело лежит на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α=5° (рис.13). При каком предельном коэффициенте трения μпр тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением будет двигаться тело, если коэффициент трения μ=0,02? Какое время  t понадобиться для прохождения при этих условиях пути s=10 м. Какую скорость тело будет иметь в конце наклонной плоскости?

Рис.13

 

Решение. Запишем  II закон Ньютона для данного тела

Выбрав оси х и y, спроецируем на них силы и ускорение:

1) Для первого случая, когда μ=μпр и  a=0, имеем

откуда

2) Во втором случае μ<μпр, поэтому тело будет скользить по наклонной плоскости с ускорением

Поскольку тело движется равноускоренно из состояния покоя, то время прохождения им расстояния s=10 м  и скорости в конце этого пути можно найти из уравнений кинематики

Положив v0=0. Получим:

 

Пример 8. Брусок массы m втаскивают за нить вверх по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом (рис.13.1). Сила натяжения нити равна F, угол между нитью и наклонной плоскостью β, коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен μ. Найти ускорение бруска.

Рис.13.1

 

Решение.

1) В задаче описано поступательное движение бруска относительно Земли, которую считаем инерциальной системой отсчета.

2) На брусок действуют:

- Земля с силой тяжести mg;

- нить с силой F;

- наклонная плоскость с силами нормального давления N и трения Fтр, причем,

                                           

3) По второму закону Ньютона

4) Направим ось х вверх вдоль наклонной плоскости (по ускорению в соответствии с условием задачи).

5) Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

6) Получена система трех уравнений с тремя неизвестными. Из (3) находим величину силы нормального давления , из (1) - величину силы трения  . Подставляя полученное выражение в (2), находим искомое ускорение

 

Пример 9. Под действием силы F = 10 Н тело движется прямолинейно так, что  зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S=A-Bt+Ct2, где С = 1 м/с2. Найти массу m тела.

Решение. 1) Известно, что зависимость пути от времени выражается формулой:

Отсюда имеем:

2) По условию: C=1 м/с2 следовательно: a=2C=2 м/с2

3) Из второго закона Ньютона: F=ma отсюда: m=F/a=10/2=5 кг.

 

Пример 10. Точка массы т движется в плоскости Оху согласно уравнениям х=аsinωt; у=bcosωt (рис.13.2). Найти силу, действующую на точку.

 

Рис.13.2

 

Решение.  Найдем траекторию точки. Исключив время t из уравнений ее движения. Получим

Траекторией точки М является эллипс с полуосями а и в.

При t = 0: х0 = 0 и у= b. Точка движется по эллипсу по часовой стрелке.

Проекции приложенной к точке силы , а оси координат:

Проекции радиус-вектора   точки М на оси координат и длина этого вектора

Далее получаем

Сила  направлена к точке О и ее величина пропорциональна расстоянию от начала координат до точки приложения этой силы.

 

Пример 11. Груз М массы m = 0,102 кг, подвешенный на нити длиной ОМ = 1 = 0,3 м в точке О, представляет собой конический маятник, т.е. описывает окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с вертикалью угол α = 60° (рис.13.3).

Определить скорость v груза и натяжение T нити.

Рис.13.3

 

Решение. Будем считать груз материальной точкой. Приложим к точке М силу тяжести mg и натяжение нити Т.

Построим подвижную естественную систему координат M𝜏nb.

Суммы проекций приложенных к точке сил на указанные оси

Составим дифференциальные уравнения движения точки в подвижной естественной системе координат

Из системы уравнений находим

С учетом исходных данных получаем

 

Пример 12. Ледяная горка составляет с горизонтом угол α (рис.14). По ней пускают вверх камень, который после подъема съезжает вниз. Дано: t2/t1=n.

Чему равен коэффициент трения μ, если время спуска в n раз больше времени подъема.

Рис.14

 

Решение. Уравнение движения камня     

При движении вверх - движение равнозамедленное. В проекциях на оси ОХ и OY:  ma1=Fтр+mgsinα;     N-mgcosα=0,   

откуда N= mgcosα.  Тогда сила трения Fтр =μN=μmgcosα, и окончательно уравнение движения

При движении вниз:  

Проведя аналогичные преобразования, получим уравнение движения в этом случае:

Из (1) и (2):  

При движении вверх камень проходит путь ; скорость в конце подъема v=0,  следовательно vo= a1t1, тогда

При движении вниз камень проходит путь   

Из (3) и (4) получим    

Используя (1) и (2):

отсюда

 

Пример 13. На рис.14.1,а изображен качающийся маятник, на рисунке 14.1,б - конический маятник. Верно ли представлено соотношение сил mg и Т на рисунках 14.1,а и 14.1,б?

Рис.14.1

 

Решение. В обоих случаях материальная точка движется по окружности. Вектор полного ускорения складывается из нормального ускорения an, направленного к центру окружности, и тангенциального aτ, направленного по касательной к окружности. По второму закону Ньютона ускорение определяется равнодействующей силой, то есть ma=mg+T. Направления равнодействующей силы и ускорения совпадают.

В случае 14.1,а равнодействующая сила ориентирована вертикально, поэтому aτ =0 и полное ускорение равно нормальному ускорению, a = an. Оно направлено к центру окружности, то есть вверх. Поэтому сила натяжения нити по величине должна быть больше силы тяжести. Соотношения между силами представлены неверно.

В случае 14.1,б материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью. Ускорение при таком движении направлено к центру окружности. Во втором законе Ньютона ma=mg+T силы являются сторонами параллелограмма, а ma - его диагональю. Произведя на рисунке сложение векторов, можно сделать вид, что соотношения между силами представлены правильно.

 

Пример 14. Для материальной точки, движущейся по окружности, дан график зависимости скорости от времени v(t) (рис.15). Указать направление результирующей силы, действующей на материальную точку в положении М.

Рис.15

 

Решение. Скорость направлена по касательной к траектории. Из графика видно, что в момент времени tM величина скорости уменьшается, поэтому тангенциальное ускорение a𝛕 противоположно вектору скорости. Нормальное ускорение an направлено к центру окружности.

Рис.15.1

 

Изобразим вектор полного ускорения a=an+aτ (рис.15.1). Направление равнодействующей силы совпадает с вектором полного ускорения.

 

Пример 15. Два маленьких шарика, массы которых равны m1 и m2, привязаны к нити один за другим и вращаются в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω (рис.16). Расстояния от шариков до оси вращения l1 и l2. Определить силы натяжения нитей.

Рис.16

 

Решение. Поскольку силой тяжести в данной задаче можно пренебречь, (по условию шарики вращаются в горизонтальной плоскости), будем считать, что на шарики действуют только нити: на шарик 1 одна нить с силой T1, на шарик 2 - две нити с силами T1 и T2.

Запишем второй закон Ньютона сразу в проекциях на рaдиальное направление.

Для шарика 1: m1a1=T1,              (1)   

для шарика 2: m2a2=T2-T1.         (2)   

Существенным условием данной задачи  является равномерное движение материальных точек по окружности. При таком движении линейные скорости шариков не меняются по величине, а следовательно, тангенциальное ускорение равно нулю. Вектор полного ускорения направлен к центру окружности, а его величина связана с угловой скоростью ω и радиусом окружности r соотношением

Таким образом, величина ускорения каждого шарика соответственно равна  и . С учетом этих соотношений уравнения динамики (1) и (2) примут вид