Лекции по динамике

Главная

Лекция 13. Дифференциальные уравнения и методы их решения

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Основные понятия и определения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

3. Линейные уравнения второго порядка.

Изучение данных вопросов необходимо для изучения динамики точки, твердого тела и системы.

Основные понятия и определения.

Дифференциальным называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Обыкновенным называется такое дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция зависит от одного аргумента, например,

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в него (уравнение (1) – уравнение второго порядка). Решением дифференциального уравнения называется функция, при подстановке которой в это уравнение последнее обращается в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется любое из возможных его решений. Например, подстановкой в уравнение (1) значения x = А легко убедиться, что оно обращается в тождество при x = А = В/k². Это и есть одно из его частных решений.

Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность всех его частных решений. Если уравнение второго порядка является интегрируемым, т.е. его общее решение можно записать в известных функциях, то оно будет иметь вид: , где С₁ и С₂ – некоторые постоянные, x – искомая функция аргумента t. Разные значения С₁ и С₂ дают разные частные решения. В механике обычно требуется найти частное решение дифференциального уравнения, у которого при .С этой целью данные подставляются в общее решение. В результате для определения постоянных С₁ и С₂ получается два уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Если дифференциальное уравнение может быть представлено в виде Р(x)dx = Q(t)dt, где функция Р(x) зависит только от x, а функция Q(t) зависит только от t, то говорят, что переменные разделяются. В этом случае имеем

Пример 1. Точка движется прямолинейно со скоростью V = gt (V в м/c, t в c). Найти закон ее движения, если при t = 0 x₀ = 1 м.

Решение. Так как

и движение точки описывается дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными: dx = gtdt. В результате интегрирования получаем: x = gt²/2 + C. Подставив в это уравнение начальное условие x₀ = 1 м при t = 0, получим: С = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид: x = (gt²/2 + 1) м.

Пример 2. Точка движется прямолинейно со скоростью V = 5x (м/c). Найти закон движения точки, если при t = 0 x₀ = e (м).

Решение. Так как

В результате интегрирования получаем: ln x = 5t + C. Используя начальные данные, находим постоянную: С = ln e = 1 м. Следовательно, закон движения точки имеет вид x = e⁵^t⁺¹ (м).

Линейные уравнения второго порядка.

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(2)

Если правая часть в этом уравнении равна нулю, т.е. R(t) = 0, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Общее решение неоднородного уравнения (2) x(t) складывается из общего решения x₁(t) соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения x₂(t) неоднородного уравнения (2)

x(t) = x₁(t) + x₂(t). (3)

Для выполнения индивидуальных заданий необходимо уметь решать дифференциальное уравнение вида

которое является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения дифференциального уравнения (4) необходимо знать общее решение однородного линейного уравнения

x''(t) + 2bx'(t) + k²x(t) = 0, (5)

которое ищется в виде . В результате его подстановки в уравнение (5) получается характеристическое уравнение

. (6)

При решении данного уравнения возможны три случая:

1) k < b, когда характеристическое уравнение (6) имеет два неравных действительных корня . В этом случае имеется два линейно независимых решения и общее решение уравнения (5) является их линейной комбинацией

; (7)

2) k = b, когда характеристическое уравнение (6) имеет два равных корня . Общее решение тогда имеет вид

x₁; (8)

3) k > b, когда характеристическое уравнение (5) имеет два комплексных корня . Общее решение уравнения (5) снова является линейной комбинацией соответствующих частных

. (9)

Далее, используя формулу Эйлера, , можно показать, что решение (9) сводится к следующему

, (9а)

где D₁, D₂ – некоторые постоянные.

В частном случае, когда b = 0 и , общее решение уравнения (5) принимает вид

. (10)

Для нахождения общего решения неоднородного дифференциального уравнения (4) необходимо еще найти какое-либо его частное решение. В индивидуальных заданиях встречаются варианты, в которых R(t)=A=const и R(t)=Acos(pt+). В первом случае частное решение уравнения (4) можно искать в виде . Действительно, подставив это выражение в уравнение (4), убеждаемся, что при B=A/k² оно удовлетворяется при любом t.

В случае, когда R(t)=Acos(pt+) и , частное решение можно искать в виде: , где K и – постоянные. Если же R(t)=Acos(pt+), но p=k, частное решение следует искать в виде .

Пример 3. Решить уравнение . Однородное уравнение здесь имеет решение (см. (10)) . Частное решение при ищем в виде: . Подставляя это выражение в уравнение и учитывая, что , находим: . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид