Главная
Лекция 3. Прямолинейные колебания
точки
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Свободные колебания без учета сил сопротивления.
2. Сложение колебаний.
3. Энергия гармонических колебаний.
4. Понятие о фазовой плоскости.
5. Свободные колебания в поле постоянной силы.
6. Параллельное включение упругих элементов.
7. Последовательное включение упругих элементов.
8. Вынужденные колебания. Резонанс.
9. Свободные колебания с вязким сопротивлением.
10. Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.
Изучение данных вопросов необходимо для динамики
колебательного движения механических систем, теории удара, для решения задач в
дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Детали машин».
Свободные колебания без учета сил
сопротивления.
Движения, обладающие той или иной степенью
повторяемости, называются колебаниями.
Колебания
свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, с высокой
степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы, в земной ионосфере
и атмосфере циркулируют потоки заряженных частиц, ветры возбуждают колебания воды на поверхности водоемов. Внутри
любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично
повторяющиеся процессы, например, с удивительной надежностью бьется сердце,
даже психика людей подвержена колебаниям. В виде сложнейшей совокупности
колебаний частиц и полей можно представить «устройство» микромира.
В технике колебания либо выполняют определенные функциональные
обязанности (маятник, колебательный контур, генератор), либо возникают как
неизбежное проявление физических свойств (вибрация машин и сооружений,
неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах).
В физике выделяются колебания механические,
электромагнитные и их комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью,
которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах,
характерных для жизнедеятельности человека. С помощью распространяющихся
механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как
звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей,
воспринимаемых нами как свет, мы получаем бóльшую часть прямой информации об окружающем нас
мире.
По мере изучения колебаний различной
физической природы возникло убеждение о возможности общего, «внепредметного» подхода к ним, основанного на свойствах и
закономерностях колебательных процессов вообще. В результате появилась теория
колебаний и волн. Основным математическим аппаратом теории колебаний являются
дифференциальные уравнения.
Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях,
например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по
своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях
остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является
важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в
технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических
колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных
явлений в других областях.
Если значения физических величин, изменяющихся в
процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое
движение называется периодическим. Примерами периодического движения могут служить
движение планет вокруг Солнца, движение поршня в цилиндре двигателя внутреннего
сгорания и др. В зависимости от физической природы колебательного процесса и
«механизма» его возбуждения различают механические и электромагнитные
колебания. Колебательную систему вне зависимости от ее физической природы
называют осциллятором. Примером осциллятора может служить колеблющийся
груз, подвешенный на пружине или нити.
Полным колебанием называют
один законченный цикл колебательного движения, после которого оно повторяется в
том же порядке.
По способу возбуждения
колебания делят на: свободные (собственные),
происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия
после какого-либо первоначального воздействия;
вынужденные – происходящие при периодическом внешнем
воздействии (например, колебания моста при прохождении по нему поезда или
раскачивание человеком качелей); параметрические – происходящие при изменении какого-либо параметра колебательной
системы; автоколебания – происходящие в системах, самостоятельно
регулирующих поступление внешних воздействий.
Собственные колебания являются не только самыми
распространенными, но и самыми важными с точки зрения теории колебаний, так как
условия возникновения и характер всех других типов колебаний существенно
зависят от характера собственных колебаний.
Начнем с изучения свободных колебаний точки без учета
сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся прямолинейно под
действием одной только восстанавливающей
силы 
, направленной к неподвижному центру
О и пропорциональной расстоянию от этого центра. Проекция силы на ось Ох (рис.1) будет равна
Fx=-cx.
Рис.1
Сила
, как видим, стремится вернуть точку в равновесное
положение О,
где F=0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила.
Примером такой силы является сила упругости. Коэффициент c
пропорциональности называется жесткостью
упругого элемента.
Любая другая сила, неупругая по природе, но
удовлетворяющая соотношению F = – cx, называется квазиупругой.
Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное уравнение движения получим
Деля обе части равенства на т и вводя
обозначение
приведем уравнение к виду
Уравнение представляет собою дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии
сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка ищут в виде x=ent. Полагая
x=ent, получим для определения п так называемое
характеристическое уравнение, имеющее в данном случае вид п2 +
= 0. Поскольку
корни этого характеристического уравнения являются чисто мнимыми (
), то, как известно из теории дифференциальных уравнений,
общее решение имеет вид
X=C1sinω0t+C2cosω0t,
где C1 и С2
- постоянные интегрирования. Если вместо постоянных C1 и С2 ввести постоянные а и 
, такие, что 
, то мы получим 
или 
.
Это другой вид решения, в котором постоянными
интегрирования являются A и . Им удобнее пользоваться для общих исследований.
Скорость точки в рассматриваемом движении равна
.
Несмотря на большое разнообразие колебательных
процессов, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть
сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых
гармоническими.
Колебания, совершаемые точкой по закону косинуса или
синуса 
или 
называются гармоническими колебаниями.
Система, закон движения которой имеет такой вид,
называется одномерным (линейным) классическим гармоническим осциллятором или
сокращенно гармоническим осциллятором.
Скорость и ускорение гармонического осциллятора находят, взяв первую, а
затем вторую производные от смещения x:
Тогда сила
Этот вид колебаний
особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в
технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим; во-вторых,
периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть
представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Всем
характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую
интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся равномерно по окружности радиуса а из положения В0 определяемого углом 
(рис.2).
Пусть
постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна 
. Тогда в
произвольный момент времени t угол 
и проекция М точки В
на диаметр, перпендикулярный к DE, движется по закону
, где х=ОМ, т.е. совершает гармонические
колебания.
Рис.2
Величина A, равная
наибольшему отклонению точки М от центра колебаний, называется амплитудой колебаний.
Величина 
называется фазой колебаний.
Фаза колебания определяет смещение в момент времени t.
Начальная фаза α определяет смещение тела в момент начала отсчета
времени.
Фаза
колебаний представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала
колебаний.
Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой,
называют незатухающими, а
колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.
Величина k, совпадающая с угловой скоростью
вращения радиуса ОВ, показанного на рис.2 называется круговой (круговой) частотой колебаний.
Циклической или круговой частотой периодических
колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2π с:
Промежуток времени Т
(или 
), в течение которого точка совершает одно полное
колебание, называется периодом
колебаний.
По истечении периода фаза изменяется на 
. Следовательно, должно 
откуда период
Величина 
, обратная периоду и определяющая число колебаний,
совершаемых за одну секунду, называется частотой
колебаний
Отсюда видно, что величина k отличается от Т
только постоянным множителем . В дальнейшем мы обычно для краткости частотой
колебаний будем называть величину k.
Единица частоты колебаний — герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с
–1.
Если положение тела
в любой момент времени может быть описано единственным параметром, то
тело имеет одну степень свободы. Такое колеблющееся тело называют одномерным
осциллятором.
Значения A и определяются по
начальным условиям. Считая при t=0 
получим 
и 
. Отсюда, складывая сначала квадраты этих равенств,
а затем деля их почленно, найдем:
Отметим, что свободные колебания при отсутствии сопротивления
обладают следующими свойствами: 1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2)
частота k, а следовательно,
и период Т колебаний от начальных условий не зависят.
Рис.3
Влияние
постоянной силы на свободные колебания точки. Пусть на точку М, кроме восстанавливающей силы F,
направленной к центру О, действует еще постоянная по модулю и
направлению сила Р (рис.3). Величина силы F по прежнему пропорциональна расстоянию от центра О, т.е. 
.
Очевидно, что в этом случае положением равновесия
точки М будет центр О1
отстоящий от О на расстоянии 
, которое определяется равенством 
или
Величину
назовем статическим отклонением точки.
Примем центр O1 за
начало отсчета и направим координатную ось О1х в сторону действия силы 
. Тогда 
. В результате,
составляя дифференциальное уравнение движения и учитывая, что согласно
равенству , будем иметь:
Отсюда
заключаем, что постоянная сила Р не изменяет характера колебаний, совершаемых точкой под
действием восстанавливающей силы F, а
только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения 
.
Физический
маятник. Представляет собой твердое
тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной
горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (центр тяжести) тела
(рис.4).
Рис.4
Колебания маятника, как и в случае
математического маятника, совершаются под действием силы тяжести:
mgsinφ≈mgφ
Если маятник отклонить на некоторый угол j от положения равновесия, то на него будет действовать
момент силы:
M=mgsinφl
(или для малых углов M=mgφl), возвращающий его в исходное положение, где l – расстояние от точки подвеса О до центра тяжести маятника – С.
Воспользовавшись основным уравнением динамики
вращательного движения 
, запишем уравнение колебаний физического маятника:
Решением этого уравнения является выражение
вида
где 
- частота собственных
колебаний маятника.
Таким образом, маятник будет совершать
гармонические колебания, период которых определяется выражением
Приведенная
длина физического маятника (lпр)
– это длина такого математического
маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного
физического маятника:
Математический маятник. Это модель, в
которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой
и недеформируемой нити по дуге окружности в вертикальной плоскости под
действием силы тяжести (рис. 5).
Рис.5
Момент силы, действующей на маятник равен,
M= -mglsinφ.
Знак « – » указывает, что момент силы
противоположен направлению поворота. Так как угол φ мал, то sinφ≈φ и M= -mglφ.
Основное уравнение динамики для
вращающегося тела имеет вид
,
Для математического маятника момент инерции
J=ml2, а
угловое ускорение 
Тогда как
уравнение движения математического маятника запишется
Перепишем это уравнение в следующем виде:
Мы получили дифференциальное уравнение
второго порядка, решением которого является
где частота собственных колебаний маятника 
, т.е. период собственных колебаний равен
Выражение определено только для малых углов
φ.
Пружинный маятник. Это система, состоящая из груза массы m, прикрепленного к пружине, массой которой можно пренебречь по
сравнению с массой груза.
Рис.6
При малом смещении шарика вправо относительно
положения равновесия (рис.6) на него действует возвращающая сила F – сила упругости, пропорциональная смещению х и направленная к положению равновесия:
F=-kx,
где k – коэффициент упругости [Н/м].
Уравнение движения пружинного маятника
определяется вторым законом Ньютона:
F=ma.
Так как 
то уравнение
движения шарика примет вид
Преобразуем это уравнение:
или
где 
ω0 -
круговая частота собственных колебаний.
Следовательно, период собственных колебаний
пружинного маятника будет определяться выражением
Запишем общий
вид дифференциального уравнения гармонических колебаний:
Решением этого уравнения является функция x=Acos(ω0t+φ0), что можно проверить подстановкой. График x(t) приведен
на рисунке 6.1.
Рис.6.1
Свойствами маятников широко пользуются в
различных приборах (в часах, в приборах для определения ускорения свободного
падения, ускорений движущихся тел, колебаний земной коры, в гироскопических
устройствах, в приборах для экспериментального определения момента инерции
тел).
Сложение колебаний
Векторная диаграмма колебаний. Решение многих вопросов, в том числе сложение нескольких колебаний
одного и того же направления, значительно облегчается и становится наглядным,
если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости (рис.7).
Рис.7
Если привести этот вектор во вращение с
угловой скоростью w, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от +А до –А,
причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:
x=Acos(ωt+φ0).
Следовательно, гармоническое колебание может
быть задано с помощью вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде
колебания, а направление вектора образует с осью х угол φ, равный начальной фазе колебания. Вращение вектора х может быть задано уравнением
φ(t)=φ0+ωt.
Сложение колебаний одного
направления. Биения. Возможны случаи, когда тело
участвует одновременно в нескольких колебательных процессах, происходящих вдоль
одного и того же направления. Например, шарик, подвешенный на пружине к потолку
вагона, качающегося на рессорах, участвует в собственных колебаниях
относительно вагона и в колебаниях вагона относительно Земли. Рассмотрим
сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой
частоты, но с различными начальными фазами и амплитудами:
x1=A1cos(ωt+φ1),
x2=A2cos(ωt+φ2). (1)
Представим оба колебания на векторной
диаграмме и построим по правилам сложения векторов результирующий вектор 
(рис. 7.1).
Рис.7.1
Так как проекция на ось х равна сумме проекций слагаемых
векторов, следовательно, вектор представляет
собой результирующее гармоническое колебание той же частоты ω, с амплитудой А и начальной фазой φ.
Из построения видно, что по теореме косинусов можно записать:
или
и
Итак, при
сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, направленных по одной и той же прямой, результирующее движение
– также гармоническое колебание с той же частотой ω и с амплитудой А, лежащей в пределах
(A1-A2)≤A≤(A1+A2). (4)
Если фазы
обоих колебаний одинаковы φ2=φ1, то амплитуды колебаний просто складываются A=A1+A2.
Если φ2-φ1=π, то колебания находятся в противофазе, и A=|A1-A2|, в частности, если A1=A2, то A=0, т.е. оба колебания взаимно уничтожаются.
Биениями называют периодические изменения
амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с
близкими частотами (рис.7.2) (T – период биения).
Рис. 7.2
Биение возникает вследствие того, что
разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами все время
изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе,
через некоторое время – в противофазе, затем снова в фазе и т.д. Если А1 и
А2 – амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах
колебаний амплитуда достигает наибольшего значения A=A1+A2, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда
падает до наименьшего значения A1-A2. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний
равны, их сумма достигает значения 2А
при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по
фазе.
Результат наложения колебаний можно
записать в виде
где ω1 и ω2 -
циклические частоты двух накладывающихся
гармонических колебаний.
Если ω1 и ω2 мало
различаются, то величину 
в уравнении (5)
можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду (огибающую) колебания,
происходящего по закону
Частота Ω=ω1-ω2
называется циклической частотой биений.
- период
биений.
По мере сближения частот ω1 и ω2 частота
биения Ω уменьшается, исчезая при ω1 → ω2 («нулевые» биения). Определение частоты биения между
измеряемым и эталонным колебаниями – один из наиболее точных методов измерения
частоты, широко применяемый на практике. Метод биений применяют для измерения
емкости, индуктивности, для настройки музыкальных инструментов, при анализе
слухового восприятия и т.д.
Сложение взаимно перпендикулярных
колебаний. Рассмотрим систему, обладающую
двумя степенями свободы, т.е. такую систему, для задания положения которой
нужны две координаты.
На рисунке 8 тяжелый шарик, подвешенный на
легкой длинной пружине, совершает маятникообразные колебания в одной плоскости.
Если растянуть и отпустить пружину, то шарик будет двигаться по некоторой
сложной траектории, участвуя в двух колебаниях.
На рисунке 8.1 показан тяжелый шарик,
подвешенный на длинной тонкой нити. Этот шарик может совершать одновременно
колебания во взаимноперпендикулярных направлениях,
причем частоты колебаний одинаковы, в этом случае вид колебаний будет зависеть
от разности фаз обоих колебаний.
Рис.8
Рис.8.1
Рассмотрим результат сложения взаимно
перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты w, совершающихся вдоль координатных осей х и у.
Уравнения этих колебаний запишутся следующим образом:
где φ
– разность фаз колебаний.
Чтобы получить уравнение траектории точки,
нужно исключить из этих уравнений параметр t. Из первого уравнения следует, что
тогда с учетом, что sin2ωt+cos2ωt=1, можно записать
Преобразуем второе уравнение (6):
Подставим sinωt
и cosωt (7) и
(8) и избавимся от корня:
Возведем обе части равенства в квадрат:
После преобразования имеем
Как известно из
аналитической геометрии, полученное уравнение является уравнением эллипса,
ориентация и значение полуосей которого относительно осей х и у зависит от амплитуд А и В и разности фаз φ. Исследуем форму траектории в некоторых частных
случаях.
1. φ=0.
В этом случае уравнение примет вид
Это уравнение прямой,
следовательно, в этом случае точка движется по прямой (рис. 8.2).
Рис.8.2
2. φ=±π. Уравнение траектории примет вид
т.е. в этом случае точка гармонически
колеблется вдоль прямой (рис.8.3).
Рис.8.3
3. При φ=±
уравнение
траектории примет вид
Это уравнение эллипса, полуоси которого
равны соответствующим амплитудам колебаний. Если А = В, эллипс вырождается в окружность; при 
движение
происходит по часовой стрелке, при 
точка движется
по эллипсу против часовой стрелки (рис. 8.4).
Рис.8.4
Фигуры Лиссажу. Если
частоты двух взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория
результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу
(таблица 1).
Метод фигур Лиссажу
– широко распространенный способ сравнения (измерения) частот двух складываемых
колебаний, т.к. отношение частот обратно пропорционально количеству точек
касания кривой с соответствующей осью:
Таблица 1
|
Отношение nx/ny |
φ = 0 |
π/4 |
π/2 |
3π/4 |
π |
|
1:1 |
|
|
|
|
|
|
1:2 |
|
|
|
|
|
|
1:3 |
|
|
|
|
|
|
2:3 |
|
|
|
|
|
|
3:4 |
|
|
|
|
|
Энергия
гармонических колебаний
Колебания любых физических величин почти
всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию
другого вида.
Так, при отклонении маятника от положения
равновесия увеличивается потенциальная энергия груза, запасенная им в поле
тяжести; если груз отпустить, он падает, вращаясь около точки подвеса как около
центра; в нижнем положении потенциальная энергия превращается в кинетическую, и
груз проскакивает это положение равновесия, увеличивая снова потенциальную
энергию. Далее процесс перекачки энергии повторяется, пока рассеяние (диссипация) энергии, обусловленное, например,
трением, не приводит к полному прекращению колебаний (рис. 9).
Рис.9
Характерной чертой гармонического осциллятора является
то, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора равны
друг другу и каждое из них составляет половину полной энергии. Покажем это.
Кинетическую энергия колеблющегося тела можно определить, если в выражение для
кинетической энергии 
подставить
скорость 
Потенциальная энергия, обусловленная упругой силой,
определяется как эквивалент работы, необходимой для смещения тела на расстояние
x от положения равновесия, и равна:
Учитывая, что k=ω2x, получим:
Полная механическая энергия осциллятора равна:
E=EK+EP.
Из выражений (1) и (2) видно, что кинетическая и
потенциальная энергии изменяются со временем, причем, когда кинетическая
энергия максимальна, потенциальная энергия обращается в нуль, и наоборот
(рис.9.1).
Рис.9.1
Период
колебания кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний
системы. Полная механическая энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна
квадрату амплитуды и квадрату частоты. Постоянство полной механической энергии
обусловлено отсутствием потерь энергии на совершение работы против сил
сопротивления.
Свободные
затухающие колебания.
Реально свободные колебания под действием сил
сопротивления всегда затухают.
Объясняется это действием сил, тормозящих движение, например, сил трения в
месте подвеса при колебаниях маятника, или силой сопротивления среды. В этом
случае энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против
этих сил. Поэтому свободные колебания под действием сил сопротивления всегда
затухают. Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не
являются периодическим процессом (рис.10).
Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание
в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды зависит от
скорости и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых скоростях:
где r – постоянная величина, называемая коэффициентом
сопротивления среды.
Уравнение колебаний:
Введем обозначения: 
тогда
дифференциальное уравнение затухающего колебания:
где β –
коэффициент затухания, ω0 – собственная
частота колебания. При отсутствии трения β=0,
уравнение примет вид уравнения для
свободных незатухающих колебаний. В результате решения уравнения (1) получим
зависимость смещения х от времени, то есть уравнение затухающего колебательного
движения:
Выражение 
называется
амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается по экспоненциальному
характеру с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания.
Огибающая на графике зависит от β. Чем она больше, тем круче
огибающая, то есть колебания быстрее затухают (рис.10.1).
Рис.10
Рис.10.1
Путем подстановки функции (2) и ее производных по
времени в уравнение (1), можно найти значение
угловой частоты: 
Период затухающих колебаний равен:
С увеличением трения период колебаний
возрастает, а при β=ω0
период T⇒∞. При дальнейшем увеличении b период становится мнимым, а движение точки апериодическим
– выведенная из положения равновесия система возвращается в положение
равновесия, не совершая колебаний (рис. 10.2).
Рис.10.2
Критическое затухание («успокоение») имеет
большое значение в измерительных приборах, таких как баллистические
гальванометры, которые испытывают резкие импульсивные воздействия в положении
нулевого смещения.
Наглядной характеристикой затухания является отношение
значений двух амплитуд, соответствующих промежутку времени в один период. Это
отношение называют декрементом затухания θ:
Его натуральный логарифм есть безразмерная величина,
называемая логарифмическим декрементом затухания:
Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний N, по истечении
которых амплитуда колебаний уменьшается в е
раз.
Промежуток времени 
, в течение которого амплитуда затухающего колебания
убывает в е раз, называют временем
релаксации.
Тогда выражение для логарифмического декремента
затухания примет вид: 
или 
Добротность колебательной
системы:
Понятие о фазовой плоскости
Обычное описание движения системы с одной степенью
свободы в виде зависимости координаты от времени x=x(t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно
при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами
обладает представление движения на фазовой плоскости.
Состояние системы в любой фиксированный момент времени
t определяется
парой соответствующих значений x и 
и может быть представлено изображающей (фазовой) точкой в
плоской декартовой системе координат x, v, если откладывать по оси абсцисс координату x, а по оси ординат – скорость v. Такая
плоскость называется фазовой.
В процессе движения рассматриваемой системы величины x и v изменяются и,
соответственно, меняется положение изображающей точки на фазовой плоскости. Геометрическое
место изображающих точек для данного движения называется фазовой траекторией.
Для построения фазовой траектории при заданном законе движения x=x(t) нужно путем
дифференцирования образовать выражение скорости
v=x(t), а затем исключить время из двух уравнений: x=x(t), 
.
Функция v=v(x) и описывает
фазовую траекторию данного движения.
Фазовая плоскость особенно удобна для представления
колебательных процессов, когда координата и скорость не выходят за известные
пределы; поэтому вся картина движения даже в течение неограниченного времени
занимает ограниченную часть фазовой плоскости.
Совокупность фазовых траекторий, которая описывает все возможные движения
данной системы, называется фазовой
диаграммой (фазовым портретом) данной системы.
Для свободных гармонических колебаний 
, а 
. Исключая из этих выражений время t получаем
Это уравнение эллипса (рис.11). Его полуоси зависят от
амплитуды и круговой частоты.
Рис.11
Свободные колебания в поле постоянной силы.
На материальную точку кроме упругой силы, действует
сила постоянная по величине и направлению.
Рис.12
Обозначим ее Fст (рис.12),
тогда дифференциальное уравнение движения точки примет вид:
Начальные условия имеют вид:
при t=0: 
Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его
решение складывается из решения однородного дифференциального уравнения и
частного решения неоднородного дифференциального уравнения 
Решение имеет вид:
,
,
Если начало отсчета координаты сдвинуть на 
(рис.13), тогда
в новой системе отсчета решение будет иметь вид:
- амплитуда колебаний;
Рис.13
Параллельное включение упругих элементов.
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов
расположенных параллельно (рис.14).
Рис.14
Сместим массу на расстояние x.
.
Результирующая жесткость упругих элементов
расположенных параллельно равна сумме жесткостей этих элементов.
Последовательное включение упругих элементов.
Масса закреплена с помощью двух упругих элементов
расположенных последовательно (рис.15).
Рис.15
Сместим массу на расстояние x. В упругих
элементах возникает восстанавливающая (упругая) сила F, одинаковая для обоих элементов (рис.15).
Первый упругий элемент изменит длину на x1, второй
- на x2.
Обратная величина результирующей жесткости упругих
элементов расположенных последовательно равна сумме обратных величин жесткостей
этих элементов.
Обратная величина жесткости упругого элемента
называется податливостью этого элемента.
Результирующая податливость упругих элементов
расположенных последовательно равна сумме податливостей этих элементов.
Вынужденные
колебания. Резонанс.
Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда
на точку, кроме восстанавливающей силы 
, действует еще периодически изменяющаяся со временем
сила 
, проекция которой на ось Ох
равна
Q=Q0sinpt.
Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при
действии такой силы, называются вынужденными.
Величина Р
является частотой возмущающей силы.
Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со
временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Qx определяется
указанным равенством. Такая возмущающая сила называется гармонической.
Рассмотрим движение точки, на которую, кроме восстанавливающей
силы , действует только возмущающая сила . Дифференциальное
уравнение движения в этом случае
Разделим обе части этого уравнения на т и
положим
Тогда, учитывая обозначение, приведем
уравнение движения к виду
Уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний точки при
отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории
дифференциальных уравнений, будет 
, где 
- общее решение
уравнения без правой части, а 
- какое-нибудь
частное решение полного уравнения.
Полагая, что p =
k, будем
искать решение в виде
где А - постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы
равенство обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй
производной в уравнение будем иметь:
Это равенство будет выполняться при любом t, если A(k2-p2)=P0 или
Таким образом, искомое частное решение будет
Так как , а общее решение
имеет окончательно вид
где A и - постоянные
интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что
колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой A (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых
собственными колебаниями,
и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р,
которые называются вынужденными
колебаниями
График вынужденных
колебаний показан на рис.16.
Рис.16
Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей
силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на k2, можно
представить в виде:
где 
, т. е. 
есть величина
статического отклонения точки под действием силы Q0. Как
видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к частоте
ω0 собственных
колебаний.
Подбирая различные соотношения между р и ω0, можно
получить вынужденные колебания с разными амплитудами. При p=0 амплитуда равна (или близка к
этой величине). Если величина р близка к ω0, амплитуда A
становится очень большой. Когда p>> ω0, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю).
Резонанс. При вынужденных колебаниях в случае, когда p= ω0, т.е. когда частота возмущающей силы равна частоте собственных
колебаний, имеет место так называемое явление
резонанса (резкое возрастание амплитуды колебаний системы). Размахи вынужденных
колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как
показано на рис.16.1. При резонансе наступают наиболее благоприятные условия
для поступления энергии в колеблющуюся систему от источника внешней силы.
Увеличение амплитуды происходит до тех пор, пока вся работа внешней силы не
сравняется с энергией потерь. В реальных условиях всегда существуют факторы,
ограничивающие амплитуду колебаний и определяющие возможность существования
резонанса. Это, прежде всего, рассеивание (диссипация) энергии в системе и
неточное совпадение частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы.
Амплитуда
при резонансе
а резонансная
частота
Рис.16.1
Резонанс играет большую роль в природе,
науке и технике. Резонанс сооружений и машин при периодических внешних
воздействиях может являться причиной катастроф. Чтобы избежать резонансного
воздействия, подбирают соответствующим образом свойства системы или используют
успокоители колебаний, основанные на явлении антирезонанса.
В радиотехнике благодаря резонансу можно отделить сигналы одной (нужной) радио- или телестанции от всех других.
Свободные колебания с вязким сопротивлением.
Существуют устройства (демпферы), которые создают силу
пропорциональную относительной скорости 
(рис.17).
Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или
коэффициентом вязкого сопротивления.
Рис.17
Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере
имеет вид:
Начальные условия имеют вид: t=0,
Характеристическое уравнение имеет вид: 
.
Корни характеристического уравнения равны: 
Рассмотрим возможные решения:
1-й случай 
Решение имеет вид:
- условная амплитуда затухающих колебаний;
Рис.18
- круговая или циклическая частота затухающих
колебаний. Измеряется в рад/сек.
- фазовый угол (или просто фаза).
- период
затухающих колебаний (рис.18).
- частота
колебаний (1 колеб/cек=1
Гц)
- логарифмический декремент колебаний.
Материальная точка совершает гармонические колебания с
частотой и амплитудой, величина которой все время
убывает.
Движение изображающей точки на фазовой плоскости
показано на рис. 19.
Рис.19
2-й случай 
Решение имеет вид:
Материальная точка совершает затухающее
неколебательное движение (рис.39).
Рис.20
3-й случай 
(два одинаковых
корня)
Решение имеет вид:
Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение (рис.20).
Вынужденные колебания с вязким
сопротивлением.
Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна
восстанавливающая сила, вторая - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления),
а третья зависит от времени. 
- гармоническая возмущающая сила.
F0 -
амплитуда возмущающей силы.
- круговая частота возмущающей силы.
Рис.21
Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере
(рис.21), под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:
Задавая решение уравнения в виде: 
и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое
уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.
Разделим его на массу и обозначим 
тогда 
и окончательно
- амплитуда
вынужденных колебаний.
- частота
собственных колебаний
Материальная точка колеблется с амплитудой 
и частотой
возмущающей силы .
Построим
зависимость модуля амплитуды 
от частоты возмущающей
силы (рис.22).
Рис.22
Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от 
(при 
) до некоторой величины, а затем убывает до нуля (при 
).
Примеры решения задач
Пример 1. Колебания материальной точки происходят относительно
положения равновесия по закону х=А∙sinωt с периодом T=12 с.
Определить, за какой наименьший промежуток времени t1 точка удалится
от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды x=A/2. За какой
промежуток времени t2 она пройдет оставшуюся часть пути до
максимального отклонения.
Найти: t1-? t2-?
Решение. В момент времени t1 cмещение
равно А/2: А/2=А∙sinωt1, sinωt1=1/2, т.е. ωt1=π/6, или (2π/Т)t1=π/6.
Отсюда t1=T/12=1 c.
Расстояние от точки равновесия до точки максимального
отклонения материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t2=T/4-
T/12= 2 c.
Пример 2. За какую часть периода точка, совершающая
гармонические колебания по закону косинуса, сместится на половину амплитуды,
если в начальный момент она находилась в положении равновесия?
Решение. Колебания точки описываются уравнением x=Acos(ω0t+α).
Поскольку при t = 0 смещение х = 0, то начальная фаза φ должна равняться π/2, т.е. уравнение имеет вид:
По условию смещение x=A/2,
следовательно, 
(знак «минус»
не учитываем, т.к. нас интересует первое попадание колеблющейся частицы в
данное положение).
Отсюда 
и 
Пример 3. Точка совершает колебания по закону x=5cosω0t (м),
где ω0= 2 с–1.
Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 м/с.
Решение. Зависимости скорости и ускорения колеблющейся точки от
времени задаются уравнениями
и при α=0
Следовательно, 
. Тогда 
и с учетом
того, что α=0, получаем 
Пример 4. Максимальная скорость точки, совершающей гармонические
колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно 100 см/с2. Найти циклическую частоту колебаний, их период
и амплитуду.
Решение. Из формул
x=Acos(ω0t+α),
v=-Acos(ω0t+α)=-vmaxsin(ω0t+α),
a=-A
cos(ω0t+α)=- amaxcos(ω0t+α),
видно, что xmax=A; vmax=Aω;
amax=Aω2.
Откуда ω0=10 с–1.
Период 
Амплитуда 
Пример 5. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А =
Решение. Из 
можно
выразить 
Тогда, используя выражение F=-kx, получим
Искомое смещение
Пример 6. В качестве физического маятника используется стержень,
подвешенный за один из его концов. Чему равен период колебаний при длине
стержня
Решение. Для того, чтобы
воспользоваться формулой 
, необходимо по теореме Штейнера посчитать момент
инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса:
Тогда, учитывая, что x=l/2,
Пример 7. Два одинаково направленных гармонических колебания
заданы уравнениями x1=A1∙sinω0t и x2=A2∙cosω0t, где А1 =
Решение. Преобразуем первое уравнение, заданное в условии
задачи, к виду x=A∙cos(ω0t+α) и получим
Тогда по формуле 
амплитуда
результирующего колебания:
=1+4+2∙2∙cos0,5π=5
см2.
Частота результирующего колебания равна частоте
складывающихся колебаний
Начальную фазу находим по формуле:
Начальная фаза α=arctg(-0,5)=-26,6°=-0,46
рад.
Уравнение результирующего колебания имеет вид x=2,24∙10-2cos(t-0,46) м.
Пример 8. Складываются два колебания одинакового направления
(рис.23), выражаемых уравнениями x1=A1cosω(t+τ1) и x2=A2cosω(t+τ2), где А1=1 см; А2=2 см; τ1=1/6 с; τ2=1/2 с; ω=π рад/с.
Определить начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную фазу φ
результирующего колебания.
Рис.23
Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:
х=А∙cos(ωt+φ) (1)
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к
такому же виду:
x1=A1cos(ωt+ωτ1) и x2=A2cos(ωt+ωτ2) (2)
Из сравнения выражений (2) с (1) находим начальные
фазы первого и второго колебаний: φ1=ωτ1=π/6 рад и φ2= ωτ2=π/2 рад.
Для определения амплитуды А
результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой,
представленной на рис.23.
Согласно теореме косинусов, получим:
φ2-φ1=π/3 рад.
Подставим значения А1,
А2 и φ2-φ1 в (3), извлечем корень и получим: А=2,65 см.
Тангенс начальной фазы результирующего колебания
определим непосредственно из рисунка 41.1:
Тогда φ=arctg(5/
)=70,9°=0,394π рад.
Так как циклические частоты складываемых колебаний
одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω.
Это позволяет написать уравнение результирующего
колебания в виде х=А∙cos(ωt+φ),
где А=2,65 см, ω=π рад/с, φ=0,394π рад.
Пример 9. Шарик массой m=10-2 кг=10 г совершает
гармонические колебания с амплитудой А=0,2 м и
периодом Т=4 с. В начальный момент времени t=0: х=А. Найти кинетическую и потенциальную энергию в
момент времени t= 1 с.
Найти: Ек-? Еп-?
Решение: Запишем уравнение гармонических колебаний
х=Аcos(ωt+φ0),
где ω=2π/Т.
Т.к. при t=0
х=А, то можно определить начальную фазу Асоs(ω∙0+φ0)=A, соsφ0=1, φ0=0.
Таким образом, х=0,2cos[(2π/4)t]= 0,2cos[(π/2)t]
(м).
Кинетическая энергия шарика определяется по формуле: Ек=mv2/2, где v=dx/dt=-Aω∙sinωt.
Ек=[mA2ω2∙sin2ωt]/2=5∙10-3 Дж.
Потенциальная энергия шарика равна:
Еп=kx2/2=[kА2cos2ωt]/2=[kА2cos2(π/2)]/2,
Еп=0.
Пример 10. Физический маятник представляет собой стержень длиной
l=1 м и массой mc=3m1 с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметром d=l/2 и массой mо=m1.
Горизонтальная ось ОZ проходит через середину стержня
перпендикулярно ему (рис. 24). Определить период колебаний такого маятника T - ?.
Рис.24
Решение. Период колебаний физического маятника определяется по
формуле
где J - момент инерции маятника относительно оси
колебаний, m - его масса, lc - расстояние от центра масс маятника до оси
колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J1
и обруча J2:
J=J1+J2. (2)
Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по
формуле J1=mcl2/12, т.е. J1=m1l2/4.
Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись
теоремой Штейнера J=Jo+ma2.
Применив эту формулу к обручу, получим
J2=m1(l/4)2+ m1(3l/4)2 = (5/8)m1l2.
Подставив выражения J1 и J2 в
формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:
J= m1l2/4+(5/8)m1l2=(7/8)m1l2.
Расстояние lc от оси маятника до его центра масс равно
lc=(Σmixi)/Σmi=(3m1∙0 + m1(3l/4))/(3m1+m1)=(3/16)l.
Подставив в формулу (1) выражения J, Jc и
массы маятника (m=3m1+m1=4m1), найдем период
его колебаний:
После вычисления по этой формуле получим Т=2,17 с.
Пример 11. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях (рис.25), выражаемых уравнениями x=2cosω0t (см) и y=sinω0t (см).
Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения,
если ω0=π/3 (с–1).
Рис.25
Решение. Преобразуем второе уравнение к виду y=Аcos(ω0t+α) и
получим:
Как видно, разность фаз складывающихся колебаний α= -π/2 и это
соответствует частному случаю, когда уравнение траектории имеет вид: 
. Траекторией движения в этом случае является эллипс,
приведенный к главным осям, уравнение которого 
.
Для того, чтобы указать направление движения точки, необходимо
проследить, как меняется ее положение с течением времени. Для этого найдем
координаты точки для двух ближайших моментов времени. Период результирующих
колебаний 
Поэтому моменты
времени, отличающиеся на одну секунду, можно считать достаточно близкими.
При t=0: x1=2cos0=2; y1=1cos(-π/2)=0;
При t=1 c: x2=2cos(π/3)=1; y2=1cos(π/3-π/2)=1cos(-π/6)=0,86.
Следовательно, точка 1 имеет координаты (2; 0), а точка 2 – (1; 0,86). Это означает,
что движение происходит против часовой стрелке.
Пример 12. Амплитуда колебаний математического маятника длиной
Решение. Период и
частоту колебаний математического маятника найдем из выражения:
Запишем отношение амплитуд (начальной A0=5 см и
через время t = 10 мин = 600 с):
следовательно, βt=ln2, отсюда
Количество колебаний N, совершенных за время t
, найдем из того, что t=NT, а, значит, βNT=ln2, и
тогда
Логарифмический декремент затухания определим по:
δ=βT=2∙10-3.
Выбор гармонической функции для написания уравнения
колебаний проведем на основании того, что в начальный момент смещение точки от положения
равновесия равно амплитуде, а этому условию удовлетворяет функция косинус.
Тогда уравнение данных затухающих колебаний имеет вид: x=5∙10-2e-0,001tcosπt (м).
Пример 13. Пружинный маятник, (жесткость пружины которого равна k = 10
Н/м, а масса груза m =
Решение. Коэффициент
затухания:
Собственная частота:
Тогда
резонансная частота:
Пример 14. Тело D массы
mD = 10 кг расположено на гладкой
плоскости, наклоненной под углом = 30° к горизонту, и прикреплено к концу A пружины, коэффициент жесткости которой
с = 36.1 Н/см
(рис. 26). В некоторый момент к грузу D
присоединяют груз Е массы mЕ = 15 кг. В тот же момент времени верхний конец пружины B начинает двигаться вдоль наклонной
плоскости по закону 
см, причем точка O1
совпадает со средним положением точки B
(при 
). Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, 
, где 
= 100 (Нс)/м – коэффициент сопротивления. Найти уравнение движения грузов D и E.
Рис.26
Решение.
Направим оси Ox и 
вдоль наклонной
плоскости вниз, в сторону растяжения пружины (рис. 27). Начало O координатной оси Ox совместим с
положением покоя грузов D и E, соответствующим статической
деформации пружины, при условии, что точка B занимает свое среднее положение (). В этом положении пружина растянута на величину 
, где 
и 
– статические
деформации пружины под действием груза D
и E.
Рис.27
Изобразим грузы в промежуточном положении, отстоящем от
начала координат на величину x (точка M). Если бы верхний
конец пружины был неподвижен, то в этом положении пружина была бы растянута на
величину (
). Но при смещении вниз верхнего конца пружины на некоторую
величину 
удлинение пружины окажется меньшим на эту
величину , т.е. 
. Следовательно, проекция силы упругости пружины на
ось x в точке M
будет определяться выражением: 
. Проекция силы сопротивления 
. Таким образом, дифференциальное
уравнение движения грузов в
проекции на ось x имеет вид
,
где 
. Учитывая, что в состоянии статического равновесия
грузов 
, получим
,
или
,
(1)
где
Начальные условия для уравнения (1) определяются
соотношениями
Как известно, решение линейного дифференциального
уравнения (1) складывается из общего решения соответствующего
однородного уравнения
(2)
и частного решения x2 неоднородного уравнения (1)
.
(3)
Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид
.
(4)
Частное решение неоднородного уравнения (3) будем
искать в виде
.
(5)
Определив производные 
подставив их в
уравнение (3), получим
Чтобы полученное равенство выполнялось в любой момент
времени, необходимо равенство нулю выражений в квадратных скобках. Таким
образом, для определения коэффициентов A1 и A2 имеем
систему из двух линейных уравнений
решение которой записывается так
или после подстановки численных данных
А1 = –0.7472 см, А2 = –0.0034 см.
Рис. 7
Следовательно, решение
уравнения (1) принимает вид
причем скорость точки равна
Постоянные интегрирования C1 и C2 определим из начальных условий: С1 = –1.2928 см, С2 = –0.2181 см. В результате уравнение движения груза имеет вид
Вопросы для самопроверки
- Под действием какой силы совершаются свободные
колебания материальной точки?
- Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных
колебаний материальной точки?
- От каких факторов зависят частота, период, амплитуда
и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?
- Напишите формулы, выражающие частоту, период, амплитуду и начальную фазу свободных колебаний материальной точки.
- Под действием каких сил совершаются затухающие колебания материальной точки?
- Напишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний материальной точки?
- Напишите решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. От чего зависит вид решения?
- Что называется декрементом колебаний? Логарифмическим декрементом?
- В каких случаях движение материальной точки будет апериодическим?
- Под действием каких сил совершаются вынужденные колебания материальной точки?
- Каков вид графиков свободных и затухающих колебаний,
а также апериодического движения материальной точки?
- Какой вид имеет дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний материальной точки и каково его общее решение?
- Напишите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний материальной точки.
- Из каких составляющих движений складывается движение
материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей
сил?
- Каковы частота и период вынужденных колебаний
материальной точки?
- Какие вынужденные колебания называются колебаниями
малой частоты и какие – колебаниями большой частоты? Чем характеризуется тот и
другой вид колебаний?
- От каких факторов зависит амплитуда вынужденных
колебаний материальной точки?
- Что называют коэффициентом динамичности и каков
график его зависимости от отношения p/k?
- При каком условии возникает явление биений? Каков
график биений?
- При каких условиях возникает резонанс и каковы
уравнения и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?
- Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости,
на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?
- Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний материальной точки?
- Как используется в технике явление резонанса? Всегда ли является резонанс полезным эффектом?
- Как определить максимальное значение амплитуды
вынужденных колебаний при данном значении коэффициента затухания n?
- При каком значении коэффициента затухания максимум
амплитуды вынужденных колебаний не существует?
- Какова зависимость сдвига фазы колебаний ε от частоты
изменения возмущающей силы p и от
коэффициента затухания n?
- Частота колебаний математического маятника равна
1)
2)
3)
4) 
5)
- Гармонические колебания происходят по
закону:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
- Математический маятник это:
1) тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити
2) тело, подвешенное на нити
3) тело, подвешенное на невесомой нити
4) материальная точка, подвешенное на нити
5) материальная точка, подвешенное на невесомой и
нерастяжимой нити
- Гармонические колебания происходят в случае
1)
математического маятника
2) физического маятника
3) наличия сил сопротивления
4) действия внешней силы
5)
малых
отклонений от равновесия
-
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
1)
2)
3)
4)
5)
- Дифференциальное уравнение
затухающих колебаний:
1)
2)
3)
4)
5)
-
Период колебаний физического маятника:
1)
2)
3)
4)
5)
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
