Главная

Лекция 5. Количество движения системы (импульс системы).

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Количество движения системы (импульс системы).

2. Теорема об изменении количества движения (импульса).

3. Закон сохранения количества движения (импульса).

4. Главный момент количеств движения (импульса) системы.

5. Теорема моментов.

6. Закон сохранения главного момента количеств движения (импульса).

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

В предыдущих лекциях излагались методы определения движения материальной системы, которые сводились к составлению дифференциальных уравнений, как правило, второго порядка. И решение их оказывалось не всегда простым.

Если ввести новые обобщенные понятия, характеризующие свойства и движение системы в целом, то эти трудности нередко можно обойти. К ним относятся понятия о центре масс и кинетической энергии, которые уже нам знакомы, понятия о количестве движения материальной системы и моменте количества движения.

Теоремы, определяющие изменение этих характеристик, позволяют получить более полное представление о движении материальной системы.

Количество движения системы (импульс системы).

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела (рис. 1):

Где - импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Рис.1

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , замкнется. Следовательно, по величине нельзя полностью судить о характере движения системы.

Рис.2

Найдем формулу, с помощью которой значительно легче вычислять величину , а также уяснить ее смысл.

Из равенства

следует, что

Беря от обеих частей производную по времени, получим

Отсюда находим, что

т.е. количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.

Если же движение тела является сложным, то величина не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С.

Таким образом, количество движения характеризует только поступательное движение системы. При сложном же движении величина характеризует только поступательную часть движения системы вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения (импульса).

Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения (импульса) системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения (импульса) системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будем иметь:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент t=0 количество движения системы равно , а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства на dt и интегрируя, получим:

или

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что , мы получим .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса).

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q==const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное количество движения системы ракета - продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Пример 1. На рельсах стоит платформа массой m₁=10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃=100 кг; его начальная скорость относительно орудия v₀=500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно (v = 0); 2) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, утверждающим, что импульс замкнутой системы остается постоянным.

Запишем импульс системы, состоящей из пушки, орудия и снаряда, до выстрела () и после него (), в результате которого этот импульс меняется. Напомним, что суммарный импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов тел, входящих в систему.

1) Импульс системы до выстрела

т.к. вначале платформа с орудием покоилась (v=0).

После выстрела импульс системы

По закону сохранения импульса , следовательно,

Спроецируем это уравнение на выбранную ось х (рис.3):

Рис.3

Обратим внимание на следующий факт. Из опыта мы знаем, что в результате выстрела платформа с орудием откатится в сторону, противоположную выстрелу, поэтому при проецировании мы сразу можем учесть это, поставив знак «минус» перед скоростью u платформы. Тогда мы получим

откуда

В ряде случаев, когда заранее нет ясности в том, в какую сторону будет двигаться объект, считаем, что скорость направлена вдоль оси х. В этом случае положительное значение полученного результата вычислений подтвердит наше предположение, а отрицательное – укажет на то, что движение происходит в направлении, противоположном выбранному.

2) Закон сохранения импульса в случае, когда платформа движется со скоростью v=18 км/ч = 5 м/с, имеет вид

В проекциях на ось х (рис.4):

Рис.4

Отсюда

Обратим внимание на то, что, посчитав, как в предыдущем случае, что платформа после выстрела начнет двигаться в обратную сторону, мы ошиблись, на что указывает знак «минус» в полученном ответе. Значит, направление движения платформы осталось прежним, но скорость ее уменьшилась.

3) Закон сохранения импульса в третьем случае имеет вид, аналогичным тому, что был записан для второго случая, т.е.

с той лишь разницей, что при проецировании на ось х (рис.5), получим другие знаки для скоростей:

Рис.5

Это даст

Таким образом, платформа будет двигаться в том же направлении со скоростью большей, чем первоначальная.

Пример 2. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью v, укреплено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы под углом α к горизонту (рис.5.1). Орудие произвело выстрел, в результате чего скорость платформы с орудием уменьшилась в три раза. Найти скорость снаряда относительно орудия при вылете из ствола. Масса снаряда m₁, масса платформы с орудием m₂.

Рис.5.1

Решение. На систему тел “платформа с орудием + снаряд” действуют внешние силы - тяжести и нормального давления со стороны рельсов, направленные вертикально (горизонтальные силы трения можно считать пренебрежимо малыми) и внутренняя сила - давления газов, образующихся при выстреле. Следует учесть, что при выстреле сила нормального давления превышает силу тяжести, их равнодействующая не равна нулю. Следовательно, при выстреле вертикальная составляющая импульса системы не сохраняется, горизонтальная составляющая импульса останется неизменной:

p_Ix=p_IIx. (1)

В состоянии I (до выстрела) проекция импульса системы на ось х:

p_Ix=(m₁+m₂)v. (2)

Рассмотрим состояние II (после выстрела). Обозначим через v₀ скорость снаряда относительно платформы, u₁ - скорость снаряда относительно Земли, u₂ - скорость движения платформы с орудием. Импульс системы

p_IIx=m₁u₁_x-m₂u₂.

Проекция скорости движения снаряда относительно Земли u₁_x будет меньше, чем относительно орудия v₀_x=v₀∙cosα на u₂:

u₁_x=v₀∙cosα-u₂.

Следовательно,

Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что по условию u₂=v/3, получаем уравнение

откуда выразим искомую скорость:

Пример 3. Человек массой m₁=60 кг, бегущий со скоростью v₁=2 м/с, впрыгивает на тележку массой m₂=80 кг, движущуюся со скоростью v₂=1 м/с. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком на ней, если: 1) человек догоняет тележку; 2) тележка и человек двигаются навстречу друг другу?

Решение. Закон сохранения импульса в данном случае имеет вид

1) Когда человек догоняет тележку, то их скорости направлены в одну сторону, следовательно, при проецировании на горизонтальную ось имеем

откуда

2) Когда человек и тележка движутся навстречу друг другу, то их скорости имеют разные знаки. Тогда уравнение в проекциях на ось х имеет вид

откуда

Тележка с человеком на ней будет двигаться в сторону, противоположную тому, куда двигалась тележка без человека.

Пример 4. Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v= 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k=0,02?

Решение. Импульс системы «конькобежец-камень» сохраняется, поэтому

С учетом того, что v₀=0, получим в уравнение в проекциях на горизонтальную ось

Mu=mv,

откуда скорость конькобежца u=mv/M. Из закона сохранения энергии кинетическая энергия конькобежца расходуется им на работу против силы трения, поэтому A_тр=∆W_кин.

т.к. cosα=-1 (сила трения направлена в сторону, противоположную скорости).

Приращение кинетической энергии

Тогда

Расстояние

Главный момент количеств движения (импульса) системы.

Главным моментом количеств движения (или кинетическом моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра.

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно координатных осей:

При этом представляют собою одновременно проекции вектора на координатные оси.

Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой ее поступательного движения, главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения системы.

Рис.6

Чтобы уяснить механический смысл величины L₀ и иметь необходимые формулы для решения задач, вычислим кинетический момент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис.6). При этом, как обычно, определение вектора сводится к определению его проекций .

Найдем сначала наиболее важную для приложений формулу, определяющую величину L_z, т.е. кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения.

Для любой точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии , скорость . Следовательно, для этой точки . Тогда для всего тела, вынося общий множитель ω за скобку, получим

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Окончательно находим

Таким образом, кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то, очевидно, будет

Легко видеть аналогию между формулами и : количество движения равно произведению массы (величина, характеризующая инертность тела при поступательном движении) на скорость; кинетический момент равен произведению момента инерции (величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении) на угловую скорость.

Пример 5. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением ε = 0,5 рад/с² и через время t₁ = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L₁ = 70 кг∙м²/с. Найти кинетическую энергию W колеса и его момент импульса L₂ через время t₂ = 20 с после начала движения.

Решение. Угловая скорость махового колеса через время t₁ после начала вращения ω₁=εt₁. Поскольку момента импульса колеса L₁=Iω₁, то его момент инерции

Угловая скорость через время t₂ после начала вращения ω₂=εt₂.

Кинетическая энергия через время t₂ после начала вращения колеса равна

Момент импульса колеса через время t₂ после начала его вращения

Пример 6. Из ружья массой m₁ = 5 кг вылетает пуля массой m₂ = 5 г со скоростью v₂ = 600 м/с. Найти скорость v₁отдачи ружья.

Решение.

1) По закону сохранения импульса:

при этом то:

Ответ: Скорость отдачи ружья составляет 0,6 м/с.

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы (теорема моментов).

Теорема моментов для одной материальной точки будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой , имеющую скорость , то для нее будет

где и - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим:

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда найдем окончательно:

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра, равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Охуz , получим:

Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов.

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позволяет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Закон сохранения главного момента количеств движения (импульса).

Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.

1) Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом . Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный, момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом L_z = const. Таким образом, если сумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величиной постоянной.

Эти результаты выражают собою закон сохранения главного момента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

Закон сохранения момента количеств движения (импульса) лежит в основе работы гироскопа – устройства, широко применяющегося в навигационных приборах для автоматического управления движением тел – «автопилот», и во многих других устройствах навигации и управления.

Случай вращающейся системы.

Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси Оz. Тогда . Если в этом случае , то

Отсюда приходим к следующим выводам.

а) Если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то и, следовательно, , т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью.

б) Если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вызывает увеличение I_Z, или приближаться к оси, что приведет к уменьшению I_Z. Но поскольку , то при увеличении момента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при уменьшении момента инерции - увеличиваться. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость вращения системы, так как постоянство К_zне означает вообще постоянства .

Рассмотрим некоторые примеры:

а) Опыты с платформой Жуковского. Для демонстрации закона сохранения момента количеств движения удобно пользоваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных подшипниках, которая может с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси z. Для человека, стоящего на такой платформе,

и, следовательно, . Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе толчком вращение вокруг вертикальной оси, а затем опустит руки, то величина I_Z уменьшится и, следовательно, угловая скорость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости вращения широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (К_z=0), может повернуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противоположном направлении. Угловая скорость вращения человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина К_z системы осталась равной нулю.

б) Раскачивание качелей. Давлением ног (сила внутренняя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следующим образом. Когда качели находятся в левом верхнем положении A₀, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. Тогда массы приближаются к оси вращения z, величина I_Z уменьшается, и угловая скорость скачком возрастает. Это увеличение приводит в конечном счете к тому, что качели поднимутся выше начального уровня A₀. В правом верхнем положении, когда , человек опять приседает (на величине это, очевидно, не скажется); при прохождении через вертикаль он снова выпрямляется и т.д. В результате размахи качелей будут возрастать.

в) Реактивный момент винта. Воздушный винт, установленный на вертолете, не только отбрасывает воздух вниз, но и сообщает отбрасываемой массе вращение. Суммарный момент количеств движения отбрасываемой массы воздуха и вертолета должен при этом остаться равным нулю, так как система вначале была неподвижна, а силы взаимодействия между винтом и средой внутренние. Поэтому вертолет начинает вращаться в сторону, противоположную направлению вращения винта. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом.

Чтобы предотвратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соответствующий рулевой винт. У многовинтового вертолета винты делают вращающимися в разные стороны.

Пример 7. Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n₁= 10 об/мин. Человек массой m₀=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n₂ начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Решение. Воспользуемся для решения задачи законом сохранения момента импульса для замкнутой системы «человек-платформа»:

В первом состоянии момент импульса системы состоял из момента импульса платформы и момента импульса, человека, стоящего на краю платформы, т.е.

Во втором состоянии момент импульса системы изменился за счет того, что момент импульса человека стал равным нулю, т.к. он перешел в центр платформы, где его момент инерции как материальной точки равен нулю, поскольку ось вращения проходит через него. Поэтому

Отсюда

Частота вращения платформы станет

Пример 8. Муха ползает по ободу колесика (рис.6.1), которое может вращаться с пренебрежимо малым трением вокруг неподвижной оси. Сохраняется ли момент импульса системы относительно оси вращения, если ось колесика закреплена: а) горизонтально, б) вертикально?

Рис.6.1

Решение. Направим координатную ось z вдоль оси вращения. Изменение момента импульса относительно этой оси определяется суммарным моментом всех внешних сил, действующих на систему тел:

Внешними по отношению к системе “колесо + муха” являются сила тяжести колеса m₁g, сила тяжести мухи m₂g, а также сила реакции N вала, на который насажено колесо.

В первом случае (рис.6.2), когда ось z расположена горизонтально, все силы находятся в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Моменты сил m₁g и N равны нулю, т.к. линии, вдоль которых они действуют, проходят через ось вращения. Момент же силы m₂g в общем случае отличен от нуля (за исключением ситуаций, когда муха находится в верхней или нижней точке обода колеса) и равен m₂gd, где d - плечо силы. Поэтому при горизонтальном положении оси колеса момент импульса системы не сохраняется, поскольку правая часть уравнения (1) не обращается в нуль.

Рис.6.2

При вертикальном положении оси колеса (рис.6.3) все внешние силы оказываются параллельными оси вращения. Моменты сил относительно оси z в этом случае равны нулю, M_z=0. Из уравнения (1) видно, что

Следовательно, момент импульса системы относительно вертикальной оси сохраняется.

Рис.6.3

Пример 9. Человек, стоящий на вращающейся скамье Жуковского, держит в вытянутых руках гири (рис.6.4). Рассмотрим две ситуации.

1) человек опускает руки с гирями; 2) в некоторый момент человек выпускает гири из рук. Как изменилась в обоих случаях угловая скорость скамьи?

Варианты ответа: 1) уменьшилась, 2) увеличилась, 3) не изменилась.

Рис.6.4

Решение. Внешние силы, действующие на систему тел “скамья + человек + гири”, - силы тяжести со стороны Земли и сила реакции оси (трением пренебрегаем) не создают вращающих моментов относительно оси вращения, т.к. они параллельны оси. Следовательно, момент импульса данной системы тел не изменяется.

Рассмотрим первый случай. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции всех тел, входящих в систему J=J₁+J₂+J₃. Момент инерции скамьи J₁ не изменяется. Когда человек опускает гири, его момент инерции уменьшается (за счет рук - они располагаются ближе к оси вращения), момент инерции гирь также уменьшается. Поскольку величина момента импульса определяется выражением L=Jω, то из (1) следует, что J_Iω_I=J_IIω_II, т.е. при уменьшении момента инерции (J_II<J_I) угловая скорость должна возрастать (ω_II>ω_I).

Во втором случае расстояние от всех тел системы до оси вращения остается постоянным, момент инерции системы не изменяется. Следовательно, все тела системы продолжают вращаться с той же угловой скоростью. Но поскольку человек отпускает гири, они, кроме вращательного движения, падают вниз с ускорением свободного падения, пока не упадут на пол.

Пример 10. Снаряд, летевший горизонтально со скоростью v, разрывается на две равные части. Первый осколок начинает падать вертикально вниз со скоростью v₁=v/2. Определить величину и направление скорости второго осколка сразу после взрыва.

Рис.6.5

Решение. В задаче рассматривается процесс взрыва снаряда. Рассмотрим состояния I - до взрыва и II - сразу после взрыва. Два осколка, образующие до взрыва снаряд, составляют систему тел. На нее действуют внешние силы тяжести m₁g и m₂g (силами Архимеда и сопротивления воздуха ввиду их малости пренебрегаем), а также внутренние сила давления газов, образующихся при взрыве. Импульс внешних сил тяжести очень мал, т.к. взрыв протекает быстро и время взрыва ∆t невелико. Кроме того, силы тяжести значительно меньше внутренних сил, возникающих при взрыве. Поэтому в течение времени взрыва действием внешних сил можно пренебречь. Систему тел следует считать замкнутой, для которой выполняется закон сохранения импульса p_I=p_II.

В состоянии I p_I=mv, в состоянии II p_II=m₁v₁+m₂v₂, поэтому

mv=m₁v₁+m₂v₂. (1)

Закон сохранения импульса - векторное уравнение и решать его можно различными способами.

Геометрический способ.

Учитывая, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма, то, в соответствии с формулой (1), импульсы осколков являются сторонами параллелограмма, а импульс снаряда - его диагональю. По условию задачи известны направления импульсов снаряда (горизонтальное) и первого осколка (вертикальное).

Из рисунка видно, что для нахождения скорости второго осколка можно применить теорему Пифагора:

Откуда

Учитывая, что m₁=m₂=m/2 и v₁=v/2, приходим к окончательному результату:

Из рис.6.5 легко определяется направление вектора скорости:

т.е. второй осколок движется под углом α = 14° к горизонту.

Метод проектирования на оси координат.

Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

Σx=0: mv=m₂∙v₂_x,

Σy=0: 0=-m₁v₁+m₂∙v₂_y.

откуда выразим проекции скорости второго осколка:

По теореме Пифагора находим скорость

тангенс угла наклона вектора скорости к оси х

Пример 11. Человек массой m₁ находится на неподвижной платформе массой m₂. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом r вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы равна v₀. Радиус платформы R. Считать платформу однородным диском, а человека - материальной точкой.

Рис.6.6

Решение. В начальном состоянии (состояние I) система тел “человек + платформа” неподвижна. При движении человека со скоростью v₀ относительно платформы против часовой стрелки платформа начинает вращаться по часовой стрелке (состояние II) с угловой скоростью ω.

На систему действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, направленные вертикально (трением в оси пренебрегаем), их момент равен нулю. Поэтому можно применит закон сохранения момента импульса.

В состоянии I момент импульса системы равен нулю:

L_I=0.

В состоянии II момент импульса человека (материальной точки) равен по модулю L₁=m₁v₁r, где v₁ - скорость человека относительно Земли, и направлен вертикально вверх. Момент импульса платформы (сплошного диска) равен по модулю L₂=J₂∙ω и направлен вертикально вниз. Суммарный момент импульса в проекции на ось, направленную вертикально вверх, равен:

L_II=L₁-L₂=m₁v₁r-J₂∙ω.

Здесь J₂ - момент инерции сплошного диска,

По закону сохранения момента импульса L_I=L_II имеем:

m₁v₁r-J₂∙ω=0. (1)

Выразим скорость v₁ человека относительно Земли через скорость v₀ человека относительно платформы. Поскольку линейная скорость точек платформы, находящихся на расстоянии r от оси вращения равна v=ωr, то v₁=v₀-ωr.

Перепишем (1) в виде

откуда получим выражение для угловой скорости:

Пример 12. Два резиновых диска с шероховатой поверхностью вращаются вокруг осей, лежащих на одной вертикали, причем поверхности дисков параллельны. Первый диск обладает моментом инерции J₁ и угловой скоростью ω₁, второй - J₂ и ω₂. Определить угловую скорость дисков при падении верхнего диска и соединении его с нижним, а также изменение их суммарной кинетической энергии.

Решение. Два диска образуют систему взаимодействующих тел. На них действуют внешние силы тяжести и реакции со стороны оси, а также внутренняя сила трения. Поскольку моменты внешних сил относительно оси вращения равны нулю, можно применить закон сохранения момента импульса.

В начальном состоянии момент импульса системы равен

L_I=J₁ω₁±J₂ω₂.

Знак “плюс” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “минус” - в противоположных направлениях.

При соединении вследствие силы трения угловая скорость дисков становится одинаковой, а момент импульса системы принимает значение:

L_II=(J₁+J₂)ω.

По закону сохранения импульса L_I=L_II получаем выражение

J₁ω₁±J₂ω₂=(J₁+J₂)ω,

откуда угловая скорость после соединения оказывается равной

Кинетическая энергия дисков в начальном состоянии составляет

в конечном состоянии –

Изменение суммарной кинетической энергии системы, равное количеству выделившегося тепла, составит

∆W=W_I-W_II.

Подставляя в последнее выражение формулы (2) и (3) и учитывая (1), окончательно получим:

Знак “минус” применяется в случае, когда диски вращаются в одном направлении, знак “плюс” - в противоположных направлениях.

Пример 13. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по законам: а) б) . Как изменяется момент сил, действующих на тело, в каждом случае?

Решение. Основное уравнение динамики вращательного движения кроме формы M=Jε может иметь вид Поэтому для ответа на заданный вопрос можно продифференцировать выражения момента импульса, заданные в условии задачи. В случае “а” поэтому с течением времени вращающий момент уменьшается. В случае “б” , с течением времени вращающий момент возрастает.

Пример 14. Барабан 1 веса P начинает раскручиваться из состояния покоя под действием груза 2 веса Q (рис. 7). Определить зависимость угловой скорости вращения барабана от времени. Весом нити и трением барабана об ось пренебречь, барабан считать однородным диском радиуса r.

Рис.7

Решение. В качестве системы возьмем совокупность тел барабан + нить + груз (см. рис.37). Тогда внешними силами, действующими на выбранную систему, являются: силы тяжести барабана P и груза Q, а также реакция оси N. Направим ось Oz вдоль оси вращения барабана и запишем теорему об изменении момента импульса L_Z системы в проекции на эту ось

Моменты сил P и N относительно выбранной оси равны нулю, так как линии их действия проходят через ось, а момент силы Q есть M_z(Q) = –Qr. Момент импульса системы складывается из моментов импульса барабана 1 (L_z₁) и груза 2 (L_z₂) относительно данной оси: L_z = L_z₁ + L_z₂, где , а Подставляя все эти выражения в (1), приходим к уравнению

интегрируя которое с учетом начального условия , получаем искомый закон изменения угловой скорости

Вопросы для самопроверки

- Что называется количеством движения механической системы?

- Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?

- Что такое главный вектор количеств движения системы?

- Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.

- Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

- Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

- Чему равен импульс равнодействующей?

- Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

- Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

- Как выражается количество движения системы через массу системы и скорость центра масс?

- Сформулируйте теорему о движении центра масс механической системы.

- Сформулируйте закон сохранения центра масс механической системы.

- Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих четырех теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.

- При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

- Почему происходит откат орудия при выстреле?

- Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

- Что называют телом переменной массы?

- Кем созданы основы механики тел переменной массы?

- Какой вид имеет основное уравнение динамики точки переменной массы? В каком случае оно имеет вид основного уравнения динамики точки постоянной массы?

- От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?

- Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?

- Что называется главным моментом количеств движения или кинетическим моментом механической системы? Какова его размерность?

- Чему равен кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения?

- Как выражается производная по времени от кинетического момента системы относительно точки?

- В каких случаях кинетический момент системы относительно точки и относительно оси остается постоянным?

- Что называют кинетическим моментом механической системы относительно центра или оси?

- Сформулируйте теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и относительно оси?

- При каких условиях остается постоянным кинетический момент механической системы относительно центра и при каких – кинетический момент относительно оси?

- Какова кинетическая интерпретация теоремы об изменении кинетического момента механической системы относительно центра?

- Почему трудно прыгнуть на берег с легкой лодки, а такой же прыжок с парохода легко осуществить?

- Покоящийся шар получает центральный удар от другого такого же шара. Когда первый шар приобретает большую скорость - при упругом или неупругом ударе?

- Система является замкнутой если

1) сумма всех внутренних сил равна нулю

2) сумма всех внешних сил и моментов сил рана нулю

3) сумма всех внешних сил

4) сумма всех моментов внешних сил рана нулю

5) при действии консервативных сил.

- Закон сохранения импульса выполняется, если

1) сумма всех внутренних сил равна нулю

2) сумма всех скоростей рана нулю

3) сумма всех внешних сил равна нулю

4) сумма всех моментов внешних сил рана нулю

5) при действии консервативных сил.