Главная
Тема 25. Леонард
Эйлер. Работы первого петербургского периода. «Механики» и «Морская наука»
Леонард Эйлер (1707-1783) – один из выдающихся ученых, оказавший
большое влияние на развитие физико-математических наук в XVIII в. В его творчестве
поражает проникновенность исследовательской мысли, универсальность дарования и
огромный объем оставленного научного наследия.
Леонард Эйлер родился в Базеле (Швейцария), где и
получил высшее образование; его учителями в области математики были Иван
Бернулли и Яков Германн, оба продолжавшие в
математике линию Лейбница. Первоначально Эйлер приглашался в Петербургскую
Академию наук в качестве сотрудника по медико-физиологической части (он даже
написал работу о движении крови в жилах), но вскоре после приезда он занял
должность адьюнкта по кафедре высшей математики.
Конечно, чистой математикой работа Эйлера не ограничивалась; можно даже
сказать, что в первом петербургском периоде деятельности Эйлера механика
занимала одно из важнейших мест.
Мы остановимся лишь на
некоторых его работах по механике. Уже в первые годы научной деятельности в
Петербурге (Эйлер приехал в Россию в 1727 г.) он составил программу
грандиозного и всеобъемлющего
цикла работ в области механики. Эта программа изложена в его двухтомном труде
«Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» (1736).
Издатель его произведений по механике П. Штекель подсчитал, что из 28 статей, напечатанных в мемуарах
Петербургской Академии наук за 1727—1734 гг., девять непосредственно относятся
к механике, а одиннадцать работ тесно связаны с решением механических задач. Из
этих работ вырос план большого курса механики, изложенной общим аналитическим
методом.
Согласно этому плану предполагалось написать три
части: механику точки, механику твердого тела и механику жидкостей. Первая
часть — «Механика, или учение о движении в аналитическом изложении» была
закончена в 1732 г. и вышла в двух больших томах Несколько
позднее в Петербурге. Вторая часть — «Теория движения тел твердых или жидких»
была закончена значительно позже и наг Печатана в 1765
г. в Берлине; вместо третьей части — механики жидких тел — имеется лишь четыре
обширные заботы, напечатанные в мемуарах Петербургской Академии наук в течение
1769—1772 гг.
К механике относятся также «Морская наука» («Scientia Navalis»), работы по
высшей баллистике и ряд трактатов, посвященных небесной механике: «Теория
движения Луны, «Теория движения планет и комет» и др. По математике он написал
«Арифметику для начальных училищ», «Алгебру», по образцу которой писались
русские учебники для среднего образования вплоть до начала XX в., «Введение в
анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление». Из четырех
наук — астрономии, оптики, математики и механики, которыми занимались ученые
XVII в., — даже оптика не осталась вне круга ведения Эйлера; более того, на
этой почве он «дал сражение» великому Ньютону и остался победителем.
Дело в том, что в оптике Ньютона хроматическая
аберрация считалась неустранимой. Как показывают недавние исследования Н. И.
Невской, Эйлер в самый начальный период своей работы в Петербурге обратил
внимание на то, что глаз высших животных и человека обладает ахроматизмом, а
если так, то вполне возможно построить ахроматическую систему линз. Однако
авторитет Ньютона был столь высок, что на первые работы Эйлера никто не обратил
внимания, и только позже в своей переписке с Доллондом
он указал принципы, на основании которых тот построил первую ахроматическую
систему линз.
«Механику», или науку о движении, изложенную
аналитически, вышедшую в 1736 г., Л. Эйлер посвятил динамике точки. Это
сочинение Лагранж квалифицировал как «первое большое произведение», в котором
анализ был применен к науке о движении. В предисловии к этому сочинению Эйлер
писал:
«Если анализ где-либо и необходим, так это особенно
относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных
предложений» но он не полу чает достаточно ясного и точного их понимания, так
что, если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии
разрешить их самостоятельно, если не прибегнет к анализу и те же предложения не
разрешит аналитическим методом. Это как раз случилось со мной, когда я начал
знакомиться с «Началами» Ньютона и «Форономией» Германна; хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял
решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не
мог. И вот тогда-то я попытался, насколько умел, выделить анализ из этого
синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проработать
аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса. Затем
таким же образом я исследовал и другие работы, относящиеся к этой науке,
разбросанные по многим местам, и лично для себя я изложил их планомерным и
однообразным методом и привел в удобный порядок. При этих занятиях я не только
встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно не разрешенных, которые я
удачно разрешил, но и нашел много новых методов, благодаря которым не только
механика, но и самый анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился».
«Механика» Эйлера содержала
основы динамики точки – под Механикой Эйлер
разумел науку о движении, в отличие от науки о равновесии сил, или статики.
Отличительной чертой «Механики» Эйлера явилось широкое использование нового
математического аппарата – дифференциального и интегрального исчисления. Это
отражено уже в названии книги и особо подчеркнуто в предисловии. Кратко
охарактеризовав основные труды по механике, появившиеся на рубеже XVII-XVIII вв., Эйлер отмечал синтетико-геометрический
стиль всего изложения, чрезвычайно затрудняющий читателей. Именно в такой
манере написана работа Ньютона «Математические начала натуральной философии»
(1687) и более поздняя «Форономия» (1716) Я. Германа.
Аналитический склад ума Эйлера был причиной того, что
наименьшее внимание он обратил на ту часть механики, которая в его время уже
получила свое оформление и разрабатывалась чисто геометрическим методом, а
именно — на статику. Больших работ, посвященных этой дисциплине, Эйлер так и не
написал; только в недавнее время в швейцарском Полном собрании сочинений Эйлера
напечатан впервые его труд, посвященный статике, но он ни по объему, ни по
содержанию не может быть поставлен в один ряд с классическими произведениями
Эйлера, посвященными динамике.
В дальнейшем Эйлер ввел понятие о материальной точке:
«Движение тел конечной величины не может быть объяснено, пока не будет
тщательно исследовано движение тела, имеющего конечную величину, не определив
сначала, какое движение имеет каждая его маленькая частичка или точка». Эту материальную точку Эйлер понимал не как геометрическую: эти
точки могут быть и больше, и меньше, находиться друг с другом в определенном
отношении, даже могут разделяться на части, которые следует считать «равными
между собой, но не в том смысле, что они равно малы, а в том, что на них одна и
та же сила производит равное действие» («Механика» § 139).
Исследованием движения материальной точки Эйлер
занимался не только в «Механике», изданной в 1736 г.; он посвятил этой теме
также шесть первых глав «Теории движения твердых тел», вышедшей в 1765 г.;
таким образом, можно проследить эволюцию идей Эйлера за 30 лет.
Основными понятиями динамики у него, по существу,
являются ньютоновы, но в деталях можно найти довольно
большие отличия. Он различает абсолютное и относительное пространство;
абсолютное он представляет по Ньютону как бесконечно большое пустое
пространство, в котором находятся рассматриваемые тела. В связи с этим он
различает абсолютное и относительное движения; термина «переносное движение» у
него еще нет, так как теория движения твердого тела еще находилась в состоянии
создания.
В «Теории движения твердых тел» он утверждает (§ 79),
что если бы существовало одно-единственное тело, то пришлось бы считать, что
оно либо находится в покое, либо движется, так как нельзя предположить, чтобы
одновременно было и то и другое или чтобы не было ни того, ни другого. Отсюда
можно сделать выводу что движение и покой не представляют собой чего-либо чисто
идеального, возникающего только из сравнения, так что в самих телах не
заключается ничего соответствующего им.
Вместе с тем Эйлер отмечает, что отыскание тела,
находящегося в абсолютном покое, представляет большие трудности. Он
подчеркивает («Теория движения», § 102), что для определения относительного
движения недостаточно принять в качестве неподвижной одну-единственную точку
(например, центр Солнца или центр тяжести Солнечной системы), так как с помощью
одной точки можно определить лишь расстояние, но не направление; для этого
необходимо иметь три или даже четыре неподвижные точки. В качестве таких
неподвижных точек в мировом пространстве обыкновенно принимаются неподвижные
звезды. Если правильно предположение о неподвижности звезд, то все тела,
которые по отношению к ним находятся в покое или движении, сохраняли бы в силу
инерции это свое состояние. Однако и у самих звезд замечены небольшие
неправильности, которые следует принимать во внимание при
подобного рода суждениях.
Затем Эйлер определяет равномерное движение точки. В
«Механике» утверждается, что скорость измеряется тем расстоянием, которое тело,
двигаясь равномерно, проходит в данное время (§ 21). В «Теории движения» Эйлер
указывает (§31), что скорость измеряется частным от деления пути на время. Сейчас
это представляется само собой очевидным, но в античной математике можно было
рассматривать отношения только значений одной и той же величины, а влияние
Евклида в XVIII в. было еще очень большим.
Можно считать, что только Эйлер начал утверждать, что скорость
становится уже не качеством, а самостоятельной величиной, как длина или
площадь.
Однако в математике Эйлер шел не по пути Ньютона с
производными, а скорее следовал Лейбницу с его бесконечно малыми: при каком
угодно неравномерном движении можно допустить, что самые маленькие элементы
пути проходятся равномерным движением («Механика», § 33).
После определения равномерного движения Эйлер детально
разбирает закон инерции; здесь он настолько строго следует Ньютону, что даже
определяет силу инерции. Сила инерции — это присущая всем телам (вложенная во
все тела) способность или пребывать в покое, или же равномерно продолжать
движение по прямому направлению («Механика», № 74).
Однако в «Предисловии» к «Механике» Эйлер отмечает,
что причине этого сохранения состояния не очень удачно дано имя силы, так как
она неоднородна с другими так называемыми силами, как,
например, сила тяжести, и не может с ними сравниваться. Это, однако, не мешает
ему утверждать («Механика», § 142), что сила инерции каждого тела пропорциональна
количеству материй, из которой оно состоит.
От таких представлений он избавился только во время
работы над теорией движения твердых тел, в которой он писал: иногда пользуются
выражением «сила инерции», так как сила есть нечто противодействующее изменению
состояния. Но если под силой понимать какую-то причину, изменяющую состояние
тела, то здесь ее нужно понимать совсем не в этом смысле: проявление инерции в высшей степени отлично от того, которое свойственно
обычным силам. Поэтому для избежания какой-либо
путаницы слово «сила» не будем употреблять и будем рассматриваемое свойство тел
называть инерцией.
Отметим, что это уже было сделано в 1743 г. Д'Аламбером.
Для обозначения силы в собственном смысле Эйлер
пользуется в «Механике» двумя терминами: Лейбницевым
«potentia», восходящим еще к Аристотелю, и Ньютоновым «vis». Термин Ньютона,
однако, он употребляет чаще, а в «Теории движения твердых тел» даже
исключительно. Переход от первого термина ко второму виден даже в определении
силы, которое дается в «Механике» (§ 99). Сила (potentia)
есть то усилие (vis), которое переводит тело из
состояния покоя в состояние движения или видоизменяет это движение.
Направлением силы он называет прямую, по которой она
стремится двигать тело («Механика», § 103).
Что касается величины силы, то в «Механике» указано,
что сравнение и измерение различных сил надо заимствовать из статики, где
исследуются только те случаи, в которых несколько сил взаимно уничтожаются,
тело же, на которое они действуют, остается в покое. В механике надо объяснить,
каким образом действующие на тело силы вызывают движение в теле, находившемся в
состоянии покоя, а в теле движущемся изменяют движение.
Это, очевидно, следует понимать так: в статике без
понятия равнодействующей можно обойтись — оно является необходимым только в
динамике. И все же закона параллелограмма сил Эйлер не формулирует. Если на
точку действует несколько сил, то она получает от них то же движение (motus), как если бы на нее действовала одна-единственная
сила, эквивалентная им всем («Механика», § 107). Иными словами, в динамике
складываются не силы, а количества движения, производимые этими силами.
Возможно, что в это время Эйлер ознакомился с
опубликованной в 1728 г. в «Комментариях» Петербургской Академии работой
Даниила Бернулли (1700—1782) «Исследование принципов механики и геометрическое
доказательство сложения и разложения сил». Это была критика Вариньонова
доказательства закона параллелограмма сил в его «Новой механике», где основной
закон выводится путем сложения по правилу параллелограмма тех двух движений,
которые эти силы, действуя порознь, сообщают точке их приложения.
Д. Бернулли писал, что не может согласиться с двумя
предположениями Вариньона, а именно что величина силы пропорциональна величине
скорости, сообщаемой ею телу, и что сообщаемые телу отдельными силами движения
независимы между собой. Считая, что понятие силы является основным для всей
механики, Д. Бернулли дал независимое от сложения движений чисто геометрическое
доказательство параллелограмма сил.
Эйлер в «Механике» (§ 125) раскрывает содержание
второго закона Ньютона. Он показывает, что действие силы на тело является
двояким; сила изменяет величину скорости, а также и ее направление; затем это
сообщаемое силой приращение скорости пропорционально времени ее действия;
соответствующие промежутки времени естественно предполагаются настолько малыми,
что сила не успевает заметно изменить «величину» точки или её массу: чтобы
сообщить большей точке ту же скорость, что и меньшей, нужна большая сила, и при
этом во столько раз, во сколько одна
точка больше другой.
Показано, что массу тела нужно выводить из его веса и
количество материи принимается пропорциональным его
весу. В пустоте все тела падают одинаково, поэтому все они благодаря силе
тяжести ускоряются одинаковым образом. Отсюда следует, что сила тяжести,
действующая на отдельные тела, пропорциональна их количеству материи. Вес же
тела указывает силу тяжести, которая на это тело действует. Так как она
пропорциональна количеству материи, то при помощи взвешивания можно узнать это
количество материи в том смысле, который придается материи («Механика», §141).
В «Теории движения твердых тел» это замечание
развертывается в целую главу XV «Об абсолютных мерах, выведенных из падения
тел». В ней устанавливаются пять видов величин, определяющих полностью всякое
движение: пройденный путь, время, скорость, сила и масса. Однако, понимая все
различия между силой и массой, способы их измерения Эйлер устанавливает, по
существу, одинаковые. Действующие силы всегда выражаем через равные им веса.
Массу того или иного тела выражаем через вес, какой оно имело бы вблизи Земли.
Подобное измерение основывается на том, что веса тел
пропорциональны их массам, в силу чего можно считать, что вес каждого тела дает
точную меру его массы.
Подобным путем как силы, так
и массы сводятся к однородным величинам. Частное от деления какой-либо силы на
массу всегда выражается отвлеченным числом.
Не следует считать, что это отношение будет хотя бы
численно равняться ускорению g.
Высота, проходимая в течение, одной секунды свободно падающим телом, обозначена
также g Эта
высота естественно должна измеряться в единицах длины. Во времена Эйлера, как
видно, учение о размерностях находилось в самом зачатке.
Рассмотрим теперь, как Эйлер делал вывод основных
дифференциальных уравнений движения. Сначала показывается («Механика», § 147),
что расстояния, на которые одинаковые точки передвигаются какими-либо силами в
равные промежутки времени, пропорциональны этим силам. Затем выводится формула,
которую можно принять за выраженную в дифференциальной форме теорему количеств движений («Механика», § 150): приращение скорости,
которое получит точка за время dt прохождения отрезка ds, пропорционально произведению
действующей силы F на промежуток
времени dt.
Если коэффициент пропорциональности обозначить k, то получим формулу
Отсюда, поскольку 
, получается равенство, представляющее в элементарной
форме теорему кинетической энергии
Величина Fds представляет собой то, что сейчас называют в случае
прямолинейного движения элементарной работой.
Комбинируя все предшествующие результаты, вводя массу т и полагая коэффициент
пропорциональности равным единице, получаем:
Получена форма дифференциального уравнения прямолинейного
движения точки.
В случае криволинейного движения действующая сила
раскладывается на две составляющие: Т
— по направлению касательной и N — по
направлению нормали. Если ρ — радиус
кривизны траектории, то дифференциальные уравнения криволинейного движения
точки примут вид:
Получены
так называемые естественные уравнения движения.
В 1742 г. вышел в свет «Трактат о флюксиях» Коллина Маклорена — профессора Эдинбургского университета и непосредственного продолжателя
идей Ньютона. В этой работе он воспользовался предложенным еще Валлисом
разложением силы по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Эйлер употребил
это для составления дифференциальных уравнений в общем случае пространственного
движения материальной точки.
Если X, У, Z
— проекции силы на три взаимно перпендикулярные оси координат, то
соответствующие дифференциальные уравнения Движения примут вид
Отметим, что о третьем законе Ньютона Эйлер не
упоминает; это совершенно естественно, так как для определения движения одной
материальной точки он является излишним. Третий закон Ньютона существенно необходим для изучения движения механической
системы тел.
Рассмотрим теперь математическую сторону работы Эйлера области решения механических задач. В 1734 г.
в «Механике» он делил силы на абсолютные и
относительные. Абсолютными названы силы, которые в равной мере действуют как на
движущиеся, так и на находящиеся в покое тела; относительными — те силы,
которые иначе действуют на тело, находящееся в покое, чем на тело движущееся.
Иными словами, абсолютные и относительные силы
отличаются друг от друга тем, что величина и направление абсолютной силы зависит
только от массы тела, на которое она действует; величина же и направление
относительной силы зависят, кроме того, от скорости тела, на которое она
действует.
В 1765 г. во вводных главах «Теории движения твердых
тел» Эйлер отказался от такого деления. Теперь абсолютным являются силы,
зависящие только от положения точки, а относительными — те силы, которые
изображаются некоторыми функциями скорости.
В третьей главе «Механика» Эйлер решал задачи на
интегрирование уравнения прямолинейного движения точки под действием сил,
зависящих лишь от расстояния х от
начала координат; естественно, что эти задачи решаются при помощи интеграла
живых сил.
В четвертой главе Эйлер занялся рассмотрением
прямолинейного движения точки в среде, сопротивление которой пропорционально
первой, второй или вообще n-й степени скорости.
Эйлер не рассматривал случай, когда сила является
функцией времени, может быть вследствие простоты решения таких задач, а может
быть и вследствие того, что в его время еще не существовало механических
двигателей, для которых надо было учитывать обстоятельства их разгона или
торможения.
В двух последних главах первого тома «Механики» Эйлер
занимался исследованием криволинейного движения материальных точек в пустоте, а
также при наличии сопротивления среды.
Второй том «Механики» посвящен несвободному движению
точек; соответствующие задачи решались главным образом с применением
естественных уравнений движения. Следует указать, что при определении реакций
связей Эйлер рассматривал центробежную силу так же, как и Гюйгенс, а именно как
реальную силу, приложенную к связям.
Следующим шагом, намеченным Эйлером, было создание
динамики твердого тела. Эйлер совершенно справедливо считается основоположником
этой отрасли механики, и потому естественно возникает вопрос, при каких
обстоятельствах Эйлеру пришлось заняться этой задачей.
По поручению Петербургской академии наук
Эйлер занимался исследованиями по теории корабля. Уезжая из России в 1743 г., Эйлер взял на себя
обязательство представить Академии наук труд о теории корабля. Это
обязательство было им выполнено, и в 1749 г. в Петербурге вышла его двухтомная
«Scientia Navalis»
(«Морская наука») в двух томах. В первом томе
излагается общая теория равновесия и устойчивости плавающих тел, во втором –
теория применяется к анализу вопросов, связанных с конструкцией и нагрузкой
кораблей. Это сочинение занимает видное место как в развитии теории
устойчивости и теории малых колебаний, так и в кораблестроении.
Историю этого вопроса освещает Эйлер во вступительной
статье. Около 1736 г. в Петербургскую Академию наук было прислано сочинение
некоего француза Делакруа о движении плавающих тел. Эта сочинение была дано на
рецензию Эйлеру, который признал его неудовлетворительным и сам начал работать
над этой задачей по приказанию Академии наук. Россия, лишь очень недавно
приступившая к кораблестроению, не имела того громадного эмпирического
материала, который накопили западноевропейские страны, и поэтому настоятельно
нуждалась в теоретической ]разработке этого вопроса.
Первая часть этой работы была закончена до отъезда
Эйлера из Петербурга; в ней, а именно во второй главе первого тома «Морской
науки», были заложены основы динамики твердого тела.
Эйлер писал, что результат наклона корабля зависит не
столько от величины наклоняющей силы, сколько от момента ее по отношению к оси,
вокруг которой производится наклон, или по отношению к параллельной ей оси,
проходящей через центр тяжести корабля. Теорема о движении центра тяжести
механической системы уже формулировалась Гюйгенсом и была вполне доказана
Ньютоном.
Рассматривая движение корабля вообще, Эйлер разлагал
его на поступательное движение со скоростью центра тяжести и на вращательное
вокруг оси, проходящей через этот центр. Это вращательное движение Эйлер в свою
очередь разлагал на два других, соответствующих продольным и поперечным
колебаниям (килевая и боковая качка); для этих вращений Эйлер устанавливал
дифференциальное уравнение вращательного движения и ввел понятие о моменте
инерции. Он определил величины моментов инерции некоторых тел и фигур и доказал
теорему о параллельных осях приблизительно тем же самым способом, какой и
теперь еще приводится в учебниках механики.
Эллипсоида инерции Эйлер еще не знал, но понятие о
главных центральных осях инерции и об их роли в качестве свободных осей, для
которых уравновешиваются центробежные силы, ему уже было известно. Он пытался
определить положение оси вращения под действием заданного момента и считал ее
всегда перпендикулярной к плоскости вращающего момента, что, конечно, в общем случае
неверно, но для главных осей, вокруг которых Эйлер рассматривал колебательное
движение корабля, безусловно, правильно.
Дальнейшее развитие этих идей содержится в «Теории
движения твердых тел», над которой Эйлер работал уже во время своего пребывания
в Берлине (1741—1765).
Эйлер создал принципиально
новые методы исследования проблем механики, разработал ее математический
аппарат и с блеском применил его ко множеству трудных
задач. Благодаря ему инструментом механики стали дифференциальная геометрия,
дифференциальные уравнения, вариационное исчисление. Синтетико-геометрический
метод не обладал общностью, а требовал, как правило, индивидуальных построений,
приспособленных к каждой задаче в отдельности. Метод Эйлера, развитый также его
преемниками, был единообразным и адекватным предмету.
Через восемь лет после выхода
«Механики» Эйлер обогатил науку первым точным выражением принципа наименьшего
действия. Идея этого принципа зародилась в оптике: П. Ферма (1601-1665) в 1662
г. вывел закон преломления света, исходя из принципа кратчайшего времени. Затем
эта идея была воспринята И. Бернулли (1667-1748), а в 1744 г. ее развил
применительно к механике П. Мопертюи (1698-1759). Принцип Мопертюи
гласит: когда в природе происходит некоторое изменение, количество действия,
необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным. Свой принцип Мопертюи обосновывал с помощью метафизических и
теологических доводов.
Формулировка Мопертюи принципа наименьшего действия была еще весьма
несовершенна. Первая научная формулировка принципа была дана Эйлером в том же
1744 г. в сочинении «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами
максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи». Он
сформулировал свой принцип следующим образом: интеграл 
имеет наименьшее значение для
действительной траектории, рассматривая последнюю в
группе возможных траекторий, имеющих общие начальное и конечное положения и
осуществляющихся с одним и тем же значением энергии. Эйлер дает своему принципу
точное математическое выражение и строгое обоснование для одной материальной
точки, подчиненной действию центральных сил. На протяжении 1746-1749 гг. Эйлер
написал несколько работ о фигурах равновесия гибкой нити, где принцип
наименьшего действия получил применение к задачам, в которых действуют упругие
силы. Дальнейшее продвижение здесь было достигнуто трудами Ж. Лагранжа.
Своему труду по динамике
твердого тела - «Теории движения твердых тел» (1765) Эйлер предпослал большое
введение из шести глав, в котором вновь изложена динамика точки. Это позволяет
читателю не обращаться к «Механике», вышедшей почти тридцатью годами раньше. В
изложение внесены некоторые улучшения: в частности, здесь пишутся уравнения
движения точки с помощью проектирования на оси неподвижных прямоугольных координат
(а не на касательную, главную нормаль и нормаль, т. е. оси подвижного
естественного трехгранника, связанного с точками траектории, как в «Механике»).
Следующий за введением «Трактат о движении твердых тел» состоит из 19 глав. В
основу положен принцип Даламбера, высказанный французским математиком в
«Трактате о динамике» 1743 г. Коротко остановившись на поступательном движении
твердого тела и введя понятие центра инерции, Эйлер рассматривает вращения
вокруг неподвижной оси и вокруг неподвижной точки. Здесь даны формулы для
проекций мгновенной угловой скорости, углового ускорения на оси координат,
используются так называемые углы Эйлера (впервые введенные им в 1748 г.) и т.
д. Далее изучены свойства момента инерции, после чего Эйлер переходит к самой
динамике твердого тела. Он выводит дифференциальные уравнения вращения тяжелого
тела вокруг его неподвижного центра тяжести при отсутствии внешних сил и решает
их для простейшего частного случая. Так возникла знаменитая и столь важная в
теории гироскопа задача о вращении твердого тела около неподвижной точки; это
исследование было продолжено вскоре Лагранжем, а затем С. В. Ковалевской и
целым рядом других русских и зарубежных ученых.
В 40-е годы Эйлеру пришлось
не раз сталкиваться с вопросами гидро- и аэромеханики.
Такие вопросы вставали, в частности, в области баллистики. Впервые Эйлер
занялся баллистикой в 1727-1728 гг. в связи с опытами Д. Бернулли, изучавшего
движение сферического снаряда, выпущенного в вертикальном направлении. Затем
Эйлер рассмотрел в своей «Механике» вопрос о движении тела в среде,
сопротивление которого пропорционально той или иной степени скорости. В свою
бытность в Берлине Эйлер перевел с английского на немецкий язык вышедшие в 1742
г. «Новые принципы артиллерии» Б. Робинса
(1707-1751), которые дополнил собственными исследованиями по внешней и
внутренней баллистике. Примечательно, что дополнения Эйлера и по значению и по
объему намного превосходят труд Робинса.
С задачами механики жидкостей
Эйлер вновь встретился в 1749 г.
при консультировании работ по проведению канала между Гавелем
и Одером, а затем после изобретения И.А. Сегнером
(1704-1777) гидравлической машины,
известной теперь каждому школьнику под именем «сегнерова
колеса».
В первоначальный вариант
«машины Сегнера» Эйлер внес большие
усовершенствования, и именно в таком виде эта машина явилась прообразом
реактивных гидравлических турбин, строить которые начали три четверти века
спустя. В работе «Более полная теория машин, приводимых в движение реакцией
воды», изданной в Берлине в 1754 г., Эйлер положил начало теории и методам
расчета гидравлических турбин.
В 50-е годы Эйлер подготовил
несколько больших работ по гидромеханике. Первая из них - «Начала движения жидкостей» - была напечатана в трудах
Петербургской академии наук за 1756-1757 гг. В ней излагались общие начала гидро-и аэростатики, выводилось уравнение неразрывности для
жидкости с постоянной плотностью.
Три других мемуара Эйлера - «Общие начала состояния равновесия
жидкостей», «Общие начала движения жидкостей» и «Продолжение исследований по
теории движения жидкостей», вышедшие в записках Берлинской академии наук
(1755-1757), составили основополагающий трактат по гидродинамике; во втором из
них, в частности, выведены
дифференциальные уравнения в частных производных движения несжимаемой жидкости,
а в третьем рассмотрены некоторые вопросы движения жидкостей и газов в узких
трубках произвольной формы. Со всем этим была связана разработка Эйлером
приемов решения уравнений в частных производных. Одно из таких уравнений
встречается теперь в задачах о движении газа с околозвуковыми и сверхзвуковыми
скоростями.
Эйлеру принадлежат также
выдающиеся работы по небесной механике. Мы не будем останавливаться на анализе
этих работ, а скажем несколько слов о роли Эйлера в утверждении закона всемирного
тяготения Ньютона. Одной из трудностей, которые должна была преодолеть механика
Ньютона, была проблема фигуры Земли. Не меньшие трудности возникали при
изучении движения тел Солнечной системы и прежде всего Луны. Основанные на
законе тяготения расчеты Клеро (1713-1765) и Даламбера, произведенные в 1745
г., дали для апогея лунной орбиты период обращения в 18 лет, величину, вдвое
превосходившую данные наблюдений. Многие ученые полагали, что закон тяготения
Ньютона нуждается в поправке; так думали, в частности, Клеро и Эйлер. Некоторое
время спустя, однако, Клеро пришел к заключению, что причиной расхождения
теории с наблюдениями является не ошибочность закона Ньютона, а недостаточная
точность применявшегося метода вычислений, при которых ограничивались первым
приближением. Второе приближение уже давало результаты, согласные с наблюденными. В 1749 г. Клеро сообщил об этом Эйлеру. Для
окончательного решения вопроса Эйлер, в то время живший в Берлине, рекомендовал Петербургской академии наук объявить конкурс на тему:
«Согласуются или же нет все неравенства, наблюдаемые в
движении Луны, с теорией Ньютона?» Предложение Эйлера было принято, и он вошел
в состав жюри. В 1751 г. премия, на основании отзыва Эйлера, вполне убежденного
вычислениями Клеро, была присуждена этому французскому ученому Его «Теория
Луны, выведенная из одного только принципа притяжения, обратно
пропорционального квадратам расстояний» была издана на французском языке
Петербургской академией наук (1752).
Для проверки теории Клеро
Эйлер исследовал тот же вопрос посредством своего собственного, иного метода
вычислений. Так возникла его «Теория Луны, выявляющая все ее неравенства»
(Берлин, 1753).
Книги Клеро и Эйлера восстановили поколебленную было уверенность в теории тяготения
Ньютона. Применяя метод вычисления Эйлера, немецкий астроном И.Т. Майер
(1723-1762) рассчитал таблицы видимого движения Луны, которые некоторое время
спустя были использованы в морских справочниках для определения долготы корабля
в открытом море по угловым расстояниям Луны от ярких небесных светил. Такой
способ определения Долготы практически употреблялся более ста лет наряду с
применением изобретенного в 1761 г. Т. Гаррисоном (1693-1776) хронометра.
Английский парламент выдал большие денежные премии Гаррисону и наследникам
скончавшегося Майера; 300 фунтов стерлингов получил Эйлер, формулы которого
употреблялись Майером при составлении лунных таблиц.
Почти через
двадцать лет Эйлер разработал другой, совершенно отличный от прежних и еще
более совершенный метод определения движения Луны, изложенный в его «Теории движения Луны,
трактованной новым методом» (Петербург, 1772). Все значение этого нового метода было правильно
оценено только через сто лет в результате работ американского астронома Д.У. Хилла (1838-1914), непосредственно
развивавшего идеи Эйлера, и примыкающих исследований Э.У. Брауна (1866-1938),
завершившихся созданием современных чрезвычайно точных лунных таблиц (1919).
Эти и другие астрономические труды Эйлера содержат также важные результаты по
общей механике; часть их вошла в его трактат о движении твердых тол, изданный в
1765 г.
Труды Эйлера по механике и в
наши дни не утратили своего значения как первоисточник дальнейших многочисленных исследований.
Велики его заслуги в развитии
науки в России. «Вместе с Петром I и Ломоносовым, - писал академик С. И. Вавилов, - Эйлер стал
добрым гением нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее
продуктивность».
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
