История теоретической механики

 

 

Главная

Тема 29. Принцип наименьшего действия

Сущность динамики точки заложена во втором законе Ньютона. Дана точка, имеющая массу т и подверженная силе F; требуется определить движение этой точки.

Если известно начальное положение точки, а также ее скорость, то при помощи уравнения Ньютона можно определить ускорение, а следовательно, и приращение скорости, которое точка получит в течение бесконечно малого времени dt. Если в начальный момент t0 положение точки определяется радиусом-вектором , величина скорости , а определенное из уравнения Ньютона ускорение для начального момента. , то для момента  положение точки и ее скорость определятся формулами

Момент t1 можно рассматривать как начальный. Определив для него величину ускорения ,  для момента  получим

Переходя таким образом от одного момента к следующему за ним через бесконечно малый промежуток dt, для ряда моментов имеем

   ;   ;   ….,

т. е. ряд величин, определяющих соответственно положение и скорости движущейся точки для этих моментов:

и таким образом можно определить движение точки за любой заданный конечный промежуток времени.

Математический анализ позволяет сразу определить величины  и  для любого момента времени, если можно проинтегрировать уравнение Ньютона

если же это уравнение нельзя проинтегрировать в элементарных функциях, то получаем интеграл приближенно при помощи операции, описанной выше.

Метод, который использован выше, основан на принципе, формулируемом вторым законом Ньютона; такие принципы, выражаемые при помощи дифференциального уравнения, носят название дифференциальных. При их применении общий процесс разбивается на ряд последовательных бесконечно малых процессов и устанавливаются способы перехода от одного момента времени к следующему.

Не следует считать, что дифференциальные принципы обязательно связаны только с делением времени на бесконечно малые промежутки dt Можно воспользоваться тем же методом при определении формы равновесия гибкой нити, находящейся под действием заданной системы сил; можно разбить длину этой нити на бесконечно малые элементы ds. Зная положение начала  первого элемента ds, соответствующее натяжение  и действующую на этот элемент силу можем получить соответствующее приращение натяжения , составляя уравнение равновесия для этого момента: если F — сила, приходящаяся на единицу длины элемента ds, то уравнение равновесия этого элемента имеет вид

оно позволит найти натяжение  в конце этого элемента и начале следующего.

Операция, аналогичная вышеописанной, позволит определить величину натяжения Т в функции длины s нити от начальной точки; поскольку же направление натяжения совпадает с направлением касательной к кривой, представляющей форму нити, то при помощи вторичного интегрирования можно определить положение концов последовательных участков ds, а следовательно, и форму нити.

Предположим, что нить является однородной и находится под действием силы тяжести. Известно, что положение устойчивого равновесия системы тяжелых материальных точек получается, если центр тяжести этой системы занимает наинизшее положение. Исходя из этого принципа, можно, получить уравнение искомой кривой, так называемой цепной линии, потребовав, чтобы интеграл  имел наименьшую величину (ϱ — масса, приходящаяся на единицу длины нити, а у — координата точки рассматриваемой кривой). Такие принципы носят название интегральных или вариационных; для решения соответствующих задач в середине XVIII в. Эйлер изобрел вариационное исчисление. Теперь уже не требуется последовательное построение нужной кривой (или вообще функции, определяющей течение рассматриваемого процесса), а она выбирается из общего числа возможных при помощи условия, чтобы функция, дающая ответ на поставленную задачу, определялась из условия максимума или минимума некоторого интеграла.

В динамике интегральные принципы появились только во второй половине XVIII в., но в теории распространения света они были известны уже очень давно. Так, в эллинистическую эпоху было известно, что закон равенства углов падения и отражения светового луча мог быть получен из требования, чтобы при отражении луч света проходил из начального положения в. конечное в кратчайшее время. В XVII в. математик Пьер Ферма (1601—1665), познакомившись с опубликованным Декартом законом преломления света (этот закон был найден голландцем Снеллием), усомнился в этом законе. Каково было его удивление, когда он, предположив, что при преломлении луч переходит из начального положения в конечное, вывел для преломления те же самые законы, которым не хотел доверять.

В дальнейшем подобные задачи стали встречаться чаще. В 1696 г. Иван Бернулли опубликовал знаменитую задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего ската. Это кривая, по которой должно спускаться, тяжелое тело, чтобы пройти в кратчайшее время из начального положения в конечное, не лежащее на одной вертикали с началом. Задача была решена рядом математиков, причем оказалось, что. искомая кривая должна быть циклоидой.

В 1697 г. И. Бернулли поставил задачу — провести кратчайшую линию, между двумя точками, лежащими на произвольной поверхности. Он показал, что в любой точке кратчайшей линии главная нормаль перпендикулярна к касательной плоскости, т. е. искомая кривая является геодезической линией этой поверхности. И. Бернулли не опубликовал полученного результата, но предложил заняться этим вопросом своему ученику Эйлеру. Эйлер напечатал в 1728 г. (ему было тогда всего 21 год) решение поставленной перед ним задачи. Продолжая заниматься этим вопросом, он в 1744 г. показал, что для траекторий точек, описываемых под действием центральных сил, интеграл  равен максимуму или Минимуму. Специального названия этому выражению он, однако, не дал.

В области динамики первый интегральный принцип был введен в 1747 г. французским ученым Пьером-Луи Мопертюи (1690—1759). В истории науки Мопертюи известен прежде всего своим участием в экспедиции, отправленной в 1736 г. в Лапландию для измерения длины градуса земного меридиана. Это было сделано для проверки теоретических работ Гюйгенса и Ньютона, утверждавших, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения.

Основатель династии французских астрономов Джованни-Доменико Кассини держался мнения, что Земля представляет вытянутый эллипсоид вращения; это же мнение разделяли его сын Жак и внук Франсуа, при которых во Франции начали производить точные геодезические измерения. Чтобы разрешить вопрос об истинной форме Земли, французская Академия наук в 1735—1736 гг. снарядила две экспедиции — одну под руководством Мопертюи и Клеро в Лапландию, а другую под начальством Буге и Ла-Кондамина в Перу.

Результаты обоих градусных измерений показали, что Земля представляет сплюснутый эллипсоид вращения; таким образом, победа оказалась на стороне ньютоновцев, к которым принадлежал и Мопертюи. Попутно заметим, что лапландская экспедиция отражена и в философском романе Вольтера «Микромегас», где житель Сириуса Микромегас беседует с членами лапландской экспедиции. Вольтер очень высоко ставил Мопертюи, прославлял его  деятельность в стихах и прозе, составил надпись для его портрета и в письменных обращениях к нему называл его «mon cher applatisseur des mondes et des Cassinis» («мой дорогой, приплюснувший миры и Кассини»).

Мопертюи в 1741 г. уехал в Берлин, где Фридрих II назначил его президентом Берлинской Академии. В 1747 г. он выпускает первый набросок своего «принципа наименьшего действия». Этому принципу знаменитый Эйлер оказал честь его защитой; одновременно он объяснил автору всю ширину и надлежащее употребление его принципа. Однако этот принцип вызвал большое количество возражений.

Одним из возражающих был член Берлинской Академии Кениг, библиотекарь принцессы Оранского дома и профессор общего права в университете Гааги, который тоже занимался математикой. Будучи сторонником Лейбница и теории живой силы, он доказал носящую его имя теорему о кинетической энергии в плоском движении твердого тела. Кениг не только опроверг этот принцип, но даже утверждал, что он не является новым, и цитировав отрывок из письма Лейбница, в котором содержалось указание на этот принцип.

Защищая Кенига, Вольтер написал остроумную «Диатрибу доктора Акакия», которая имела во Франции колоссальный успех. Репутация Мопертюи была уничтожена, ему пришлось уехать из Берлина во Францию, где он и умер в 1759 г. Как пишет Вольтер, вся литературная Европа ополчилась против него, кроме Эйлера и Мериана, которые приняли участие в этом процессе.

Решающим в этом вопросе является мнение Эйлера. Математическая формулировка принципа Мопертюи была бы таковой: интеграл  имеет минимальное значение. Эйлер воспользовался равенством  и написал этот интеграл в виде

Принцип наименьшего действия в форме Эйлера состоит в том, что при всяком действительном движении вышеприведенный интеграл должен иметь наименьшую величину. Постараемся выяснить, что это означает.

Как уже выяснено, при измерении движения в XVIII в. существенным было не само движение, а его изменение. Если независимым переменным является время, то движение нужно выражать формулой  если же независимым переменным будет пройденный путь или перемещение, то для движения нужно взять выражение . Затем, как было известно еще Галилею, не всегда движение в кратчайшее время совпадает с движением по кратчайшему пути.

Предположим, что из точки С (рис. 38) надо опустить тяжелое тело на наклонную плоскость АВ, образующую с горизонтом угол α. Если сделать это по кратчайшему пути, то должны пустить тело по прямой CD, перпендикулярной к плоскости АВ; эта прямая образует с вертикалью угол, равный α. Если же выполнить этот переход в кратчайшее время, то должны пустить тело по более крутой прямой CF, образующей с вертикалью угол, равный лишь половине а. Решая эту задачу, можно выразить в зависимости от угла наклона φ прямой расстояние s от начальной точки С до плоскости АВ или время t, которое потребовалось бы для движения по этой прямой согласно законам равноускоренного движения.

38

Рис. 38

Получив зависимости  и , дифференцируем эти уравнения и из всех возможных значений угла φ выбираем нужные:

  и 

при этом обе зависимости  и  вполне определенные.

В задаче о цепной линии постановка является совершенно другой. Имеется начальная и конечная точки прикрепления нити  и . Требуется найти такое выражение , при котором высота h центра тяжести нити была бы наименьшей возможной. Для этого необходимо, чтобы интеграл

имел наименьшую величину. Если решать эту задачу подбором, то Нужно взять ряд кривых ,  и т. д., вычислить для них значение указанного интеграла и взять ту функцию, для которой величина интеграла окажется наименьшей. При этом пришлось бы рассматривать семейство линий, проходящих через точки А и В, причем для одного и того же значения х получим различные значения у; разности δу этих значений и представляют так называемые вариации. Только в точках А и В, где ординаты сохраняют постоянное значение, получаем, что вариация будет равна нулю.

Такая переменность встречалась при рассмотрении принципа возможных перемещений, где возможные перемещения, обозначавшиеся δ, были, по существу, вариациями.

Таким образом, при отыскании минимума интеграла (основная задача вариационного исчисления) надо рассматривать уже не отдельные точки, а семейства кривых или изображаемых ими функций. Это семейство определяется уравнением , где ε — переменный параметр, позволяющий выделять различные кривые семейства.

Подобно тому как возможные перемещения подчинялись определенным условиям (удовлетворяли уравнениям связей), так и вариации тоже должны удовлетворять некоторым условиям. Например, при движении точки по линии или вообще при переходе системы из начального положения в конечное можно потребовать, чтобы все возможные переходы совершались в один и тот же промежуток времени: это будут так называемые изохронные вариации. В случае Эйлера требуемое условие заключалось в том, чтобы удовлетворялся закон сохранения механической энергии. Такое же требование было поставлено и Лагранжем, обобщившим принцип наименьшего действия на случай нескольких точек.

Применение принципа наименьшего действия в механике осложнялось тем, что нельзя сразу указать, какая величина должна иметь максимум или минимум, а от выбора этой величины зависели и условия, каким должны были удовлетворять вариации. Этим объясняется то, что в дальнейшем приходилось уточнять название применяемого принципа; кроме закона наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в XIX в., как изложено ниже, появился принцип наименьшего действия по Гамильтону.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов