История теоретической механики

 

Главная

Тема 30. Сила как вектор

Разбирая второй закон Ньютона и возникшую по его поводу дискуссию, употребляли два возможных определения силы (в прямолинейном движении):

   и  

Оба эти закона вполне справедливы и равноправны, но все же представляют довольно существенные различия между собой. Первое определение, основанное на дифференцировании количества движения, легко можно распространить и на общий случай пространственного движения точки; достаточно лишь выразить это равенство в векторной форме:

Что касается второго определения, то, поскольку кинетическая энергия не является векторной величиной, выразить его так сразу нельзя; придется создать специальный математический аппарат.

Таким образом, имеется два различных возможных направления развития: векторное и скалярное. Родоначальником скалярного направления является Лагранж, в механике которого кинетическая и потенциальная энергии имеют большое значение.

Во втором направлении развития — школе количества движения, или геометрической школе, — основным понятием является изображение силы в виде вектора.

В настоящее время понятие Силы-вектора настолько применимо, что трудно даже представить иной термин. В действительности, конечно, дело было совсем не так просто. В древности понятие силы как мощности вообще исключало идею о направлении; в средние века можно было различать «тяжесть в зависимости от положения» (gravitas secundum situs), но это было лишь зародышем идеи о направлении.

Направление силы вполне определилось, когда силу стали выражать через количество движения, но и вектор, изображающий, силу, по существу, определял даже не скорость, а геометрический отрезок прямой линии, представлявший путь, пройденный телом за определенный промежуток времени, большей частью принятый за его единицу. Оба элемента силы — величина и направление — мыслились совершенно независимо одна от другой.

Чтобы убедиться в этом, проследим, каким образом рассматривал это Лагранж. Определяя направление силы, он рассматривал точку приложения силы, затем на прямой, по которой действовала сила, он брал точку, называемую центром действия (идея эта, вероятно, восходит к Ньютону и к его центростремительным силам); к этой точке была направлена приложенная сила. Расстояние от точки приложения силы до центра ее действия представлялось скалярной величиной, уменьшавшейся во время действия силы; поэтому виртуальные моменты Лагранжа и получались отрицательными. Таким образом, величина силы Р и определявший ее направление отрезок существовали вполне независимо и соединялись только при образовании виртуального момента.

Современное изображение силы отрезком, который одновременно давал и величину силы, и ее направление, появилось, позже а притом еще без стрелки — направление определялось последовательностью букв при начале и конце отрезка.

Какие же принципы были определяющими для такого представления силы? Прежде всего это требование наглядности, необходимой для массового распространения механических знаний среди новой инженерной профессии, начало которой положил Монж в начертательной геометрии. Но, кроме того, были и другие причины.

В XVIII в. в математике большое распространение получила идея о применении мнимого числа. В XVII в. можно было не применять мнимые числа, так как при решении алгебраических уравнений существенное значение имели лишь действительные числа; но так называемый неприводимый случай (casus irreductibilis) в решении кубического уравнения с тремя действительными корнями требовал особого рассмотрения. В течение же XVIII в., когда после работ Эйлера выяснилось, что показательные и тригонометрические функции восходят к общему корню и различаются лишь теми значениями, действительными или мнимыми, которые принимает аргумент, положение существенно изменилось. Мнимые числа уже начали становиться (тоже в какой-то степени) такими же реальными, как и действительные. Встал вопрос о каком-то реальном их изображении.

Отметим, что постановка и правильное решение этого вопроса были сделаны не специалистом-математиком; это был норвежец Гаспар Вессель (1745—1818), геодезист по специальности, работа которого «Об аналитическом представлении направлений» («Оm directionens analytiske Betegning») была напечатана в 1799 г. в «Трудах» Датской Академии наук. Он показал, что при помощи комбинаций четырех взаимно перпендикулярных единиц 1, —1, i и —i можно представить любое направление на плоскости; таким образом, комплексное число где х и у — любые положительные или отрицательные числа, а  , может на плоскости представить любой отрезок и по величине, и по направлению.

Хотя работа Весселя, написанная на датском языке и помещенная в малораспространенном издании, была правильно оценена только во второй половине XIX в., но аналогичные представления были развиты и другими математиками; в частности, на это в конце XVIII в. обратил внимание Гаусс. Проводивший измерения на плоскости, Вессель легко выполнял свою работу пользуясь комплексными числами, зависящими только от двух единиц.

В механике при переходе к пространству трех измерений можно было бы добавить еще одну единицу, но, к сожалению, дело вышло не так просто: оказалось невозможным построить систему комплексных чисел на основе трех единиц, не нарушая законов, которым должны удовлетворять правила действия над числами при их дальнейших обобщениях. Особые трудности возникли при определении операции умножения.

Основных законов было пять:

1. Произведение двух чисел должно быть числом того же рода, что и перемножаемые.

Это значит, что произведение двух прямолинейных отрезков должно быть тоже отрезком, а не площадью прямоугольника, построенного на этих отрезках.

2. Переместительный закон: .

3. Сочетательный закон .

4. Распределительный закон .

5. Произведение двух чисел может равняться нулю, если равен нулю один из множителей.

Эти законы выполняются для всех чисел, рассматриваемых в алгебре, включая и обыкновенные комплексные числа с мнимой и действительной единицами. При дальнейшем обобщении нельзя было сохранить все эти законы. Можно было пренебречь переместительным и сочетательным законами, поскольку они требовали лишь определенной последовательности совершения операций. Но остальные законы сохранить было необходимо.

Что касается первого закона, то важность его сохранения поняли еще древние греки, так как в геометрии они должны были ограничиваться перемножением только двух отрезков (площадь) или трех (объем).

Необходимость распределительного закона очевидна: без него была бы невозможной алгебра.

Пятый закон позволяет решать алгебраические уравнения высших степеней путем разложения их на множители и последовательного приравнивания к нулю каждого из множителей.

Покажем, что для комплексных чисел вида

пятый закон не может быть удовлетворен.

Пусть даны два числа

где a, b, c — заданные действительные числа, х, у, z— какие угодно числа, не равные одновременно нулю. Перемножая А и X по правилу умножения многочленов, получаем девять членов с произведениями ii, ij, ik и т. д. Так как произведение должно содержать только три члена и все единичные векторы имеют абсолютную величину, равную единице, то каждое из девяти произведений их должно равняться какому-либо из векторов i, j, k с коэффициентом ± 1.

Рассмотренное произведение имеет вид

где коэффициенты A, В, С — известные числа из ряда а, b, с,  помноженные на ±1. Для равенства нулю этого произведения необходимо, чтобы

Эти уравнения имеют тривиальные решения  или они являются неопределенными, если равен нулю детерминант из коэффициентов

Так как каждый из коэффициентов А, В, С является линейной функцией от а, b, с, то, считая два из них, например b и c, известными и раскрывая детерминант, получаем относительно а уравнение третьей степени, которое всегда имеет один действительный корень — пусть а0. Тогда число

помноженное на любое число , даст в произведении нуль, хотя ни один из множителей не равен нулю. Отсюда следуй что комплексное число с тремя (или вообще с 2n + 1) единицами не удовлетворяет приведенным основным законам. Для этого нужно было бы, чтобы все корни уравнения, полученного из разложения детерминанта, были мнимыми, а это возможно лишь в том случае, если степень этого уравнения будет четной, что легко можно проверить для обыкновенных комплексных чисел вида а + W.

Когда это было установлено, то Гамильтон (1805—1865) попробовал взять комплексное число с четырьмя единицами вида

так называемый кватернион. Первое слагаемое (действительное число) он называл скаляром, а совокупность трех остальных — вектором. Достаточно рассмотреть лишь правило умножения векторных частей:

    ;

Произведения одинаковых единичных векторов Гамильтон положил равными —1:

Для произведения неравных единичных векторов Гамильтон отказался от закона переместительности и вывел известные теперь формулы для векторного произведения:

      

После этого произведение  приняло вид

Получен кватернион, первая часть которого, взятая со знаком минус, получила теперь название скалярного произведения двух векторов:

а вторая, векторная часть получила название векторного произведения .

Нетрудно проверить, что для произведения двух кватернионов пятый основной закон выполняется, так что кватернионы, а следовательно, и их частные случаи — векторы, имеют право на существование в качестве обобщенных комплексных чисел (с некоторыми ограничениями — произведение двух векторов есть кватернион).

То обстоятельство, что вектор можно рассматривать как некоторое обобщенное число, позволяет упростить ряд операций с силами, если доказать, что сила есть вектор.

Типическим вектором — комплексным числом является так называемый радиус-вектор, т. е. отрезок, имеющий размерность длины, проведенный из начала координат к заданной точке, координаты которой х, у, z:

Приращение  этого вектора является тоже вектором. Если разделить его на скалярную величину dt, то векторная природа его не изменится: направление остается таким же и изменяется лишь величина. Это показывает, что

где v — скорость, т. е. вектор.

Аналогично покажем, что ускорение а тоже является вектором. Но по второму закону Ньютона сила равняется произведению вектора ускорения на массу, являющуюся скаляром. Тогда сила  тоже является вектором и подчиняется всем правилам действия над ними, в том числе и сложению. Таким образом, закон параллелограмма сил доказывать не надо; он уже доказан тем, что сила является вектором.

Не надо, однако, считать, что все величины, которые складываются по правилу сложения векторов, тоже являются векторами. Дело в том, что координаты радиуса вектора изменяются при изменении осей координат, хотя вектор как геометрический образ остается неизменным. Таким образом, координаты вектора (проекции силы) при изменении координатных осей (при том же начале) должны изменяться так же, как и координаты точки. Это характерно для проекций силы, но для вектора — момента силы  этого нет.

Отложим от начала координат отрезок, изображающий вектор-момент, и отметим геометрические координаты его конца. Если изменить направление координатных осей на прямо противоположные, то проекции г и F изменят знаки, но проекции выражения  останутся такими же. Это показывает, что вектор-момент есть псевдовектор, а если так, то закон параллелограмма моментов надо доказывать; это и делается в теореме Вариньона.

Обычно векторное изображение применяют только к свободным векторам, но можно обобщить его и для скользящих векторов.

Пусть сила X, У, Z приложена в точке (х, у, z). Имеем шесть различных единиц, но изобразить силу шестимерным вектором не удастся, ибо координаты jc, у, z не складываются алгебраически. Заменим координаты некоторыми их функциями, которые при векторном сложении складывается алгебраически. Это будут моменты относительно координатных осей:

Тогда получим шестимерный вектор

Единичные векторы первой и второй половины имеют разливные размерности: в первой половине — силы, а во второй — момента.

Конечно, решая уравнения  координат х, у, z точки определить нельзя, но этого и не требуется, так как вектор, скользящий и линию его действия получим из уравнений ,  , которые представляют проекции линии действия на координатные плоскости.

Если имеется система скользящих сил, то приведение ее к простейшему виду получается простым сложением таких шестимерных векторов. После сложения в шести столбцах получаем главный вектор, минимальный момент и уравнение линии действия равнодействующей или центральной оси.

Эту методику можно применить и к закрепленным векторам; только в этом_случае вместо векторного произведения  нужно перемножить  и  как кватернионы. Тогда во второй части появится еще один член, так называемый вириал:

.

Геометрически это уравнение изображает плоскость, перпендикулярную к главному вектору. Точка пересечения этой плоскости с линией действия и будет точкой приложения равнодействующего вектора силы, если, конечно, минимальный момент равен нулю:

.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов