История теоретической механики

 

 

Главная

Тема 34. Луи Пуансо. Геометрическая статика

Наиболее ярким представителем новой французской механики был Луи Пуансо. Основным его произведением является книга «Начала статики», выпущенная в 1802 г. и переиздававшаяся  многократно (10-е издание вышло в 1861 г.). В статике это произведение сыграло ту же роль, что «Начала» Ньютона в динамике.

«Начала статики» Пуансо начинаются с «Введения». Здесь указывается на основное понятие, которое имеется о телах, — это то, что для существования в них не предполагается необходимости движения. И если возможно, что во Вселенной не найдется ни одной молекулы, которая находилась бы в абсолютном покое даже в очень короткий промежуток времени, тем не менее совершенно, ясно, что тело может существовать, находясь в покое.

Но если это тело будет в покое хотя бы одно мгновение, то оно всегда таким и останется, если только какая-нибудь посторонняя причина не выведет его из этого состояния. Эту причину, какой бы она ни была и которая известна только по ее действиям, называют силой, или мощностью.

Итак, сила есть какая-то причина движения.

Пуансо указывает, что сила обладает точкой приложения, величиной и направлением, и формулирует основные задачи механики: найти движение, которое какая-либо механическая система получает под действием заданных сил, и обратно: найти соотношения сил, действующих на систему, чтобы она получила заданное движение.

Но для решения этой общей задачи нужно начать с частного случая — решить, какими должны быть соотношения . сил, приложенных к системе, чтобы она получила движение, равное нулю, иными словами, находилась бы в равновесии. Если эта задача будет решена, то к ней легко будет привести и другую; вот почему обычно изучение механики начинают со статики, которую определяют как науку о равновесии сил.

После этого наступает черед другой науки, которая рассматривает все вопросы, касающиеся движения тел; она называется динамикой, или наукой о движении.

Основное отличие статики от динамики заключается в том, что в решении статических задач достаточно знать только величины и направления приложенных сил, тогда как в динамике требуется» кроме того, знание и некоторых дополнительных данных. В то время кинематика еще не существовала как самостоятельная наука» и Пуансо считает возможным установить различие между равновесием и покоем в том, что на покоящееся тело не действуют никакие силы, тогда как в равновесии на тело действуют взаимоуничтожающиеся силы. Он не считает это различие существенно важным, что дозволяет ему установить следующую аксиому: состояние тела, находящегося в покое или подверженного действию некоторых сил, не изменится, если предположить, что к этому телу приложены какие угодно новые силы, которые взаимно уравновешиваются между собой.

Когда рассматривается равновесие свободного твердого тела, то достаточно знать лишь координаты точек приложения сил, величины сил и направляющие косинусы линий их действия; объем и форма рассматриваемого тела уже значения не имеют. Если это тело не является свободным, то его всегда можно сделать таковым, отбросив сопротивления и заменив их подходящими силами. Таким образом, Пуансо вводит в науку понятие о реакции связей и так называемую аксиому связей. В этом заключается отличие статики Пуансо от статики Лагранжа.

Если на тело действует система сил, находящихся взаимно в равновесии, то можно считать, что одна из них Р уравновешивает все остальные, вместе взятые. Если приложить к телу одну силу Р/ равную и прямо противоположную Р, то силы Р и Р' взаимно уравновесятся. Поскольку же Р уравновешивается со всей системой приложенных сил, то сила Р' и совокупность всех остальных сил являются эквивалентными друг другу.

Таким образом, можно поставить общий признак эквивалентности двух систем сил: они эквивалентны, если каждая из них в отдельности может быть уравновешена одной и той же третьей системой сил. Пуансо рассматривает только частный случай эквивалентности, когда эта третья система представляет единственную силу. Таким образом, Пуансо вводит понятие о равнодействующей данной системы сил и об операциях сложения и разложения сил.

Книга «Начала статики» разделяется на четыре главы. Первая глава посвящена основам статики. Прежде всего рассматриваются сложение и разложение сил. В качестве основных аксиом устанавливается, что две равные и прямо противоположные силы находятся в равновесии, будут ли они приложены к одной точке или к одному телу в точках, лежащих на одной прямой, совпадающей с линией Действия этих сил. Отсюда получается возможность перенесения точки приложения силы по линии ее действия. В качестве основной аксиомы принимается, что две силы Р и Q, действующие по одной прямой и в одном направлении, в результате сложения дают равнодействующую, равную Р + Q, направленную по той же прямой; отсюда выводится правило сложения сил, действующих по одной прямой.

Затем приводятся доказательства сначала для сложения параллельных сил, а потом для сходящихся сил (параллелограмм и параллелепипед сил). После этого Пуансо рассматривает пары сил, правила их перенесения и сложения.

Таким образом, Пуансо дает графическое изображение момента силы, который до него представлялся в виде алгебраической ветчины. Он представляет момент пары в виде вектора, имеющего величину и направление и. перпендикулярного к плоскости соответствующей пары. Эта глава заканчивается общим случаем сложений любой пространственной системы, т. е. изложением так называемого метода Пуансо — приведения системы к силе и к паре, плоскость которой перпендикулярна к силе, а также понятием о центральной оси. В качестве частных случаев разбираются условия равновесия заданной системы сил, а также условия, при соблюдении которых данная система сил, не находящаяся в равновесии, может быть заменена одной равнодействующей силой.

Вторая глава «Об условиях равновесия» начинается с условий равновесия параллельных сил, лежащих в одной плоскости, а затем расположенных и в пространстве. Условия равновесия приводятся в таком виде:

Последние два уравнения выражают условия равенства нулю моментов пар, разложенных по направлению осей Ох и Оу (предполагается, что направление сил совпадает с направлением оси Oz). Затем рассматриваются условия равновесия плоской системы сил, причем уравнение моментов дается в формуле

=0.

В аналогичной форме даются уравнения моментов и в случае пространственной системы сил, где составляющие моменты пар по координатным осям получают общепринятые обозначения L, М, N, а также условие существования равнодействующей в известной форме

Глава заканчивается разделом, в котором дается определение условий равновесия тела, имеющего одну и две точки опоры или опирающегося на неподвижную плоскость. Новым элементом является определение опорных реакций в этих трех случаях, или, если пользоваться терминологией Пуансо, давлений в опорных точках, причем подробно дискутируется случай статической неопределимости для тела, имеющего две неподвижные точки опоры.

Третья глава посвящена теории центров тяжести. Вес тела рассматривается тоже как некоторая сила, обладающая величиной и направлением; центр тяжести рассматривается не как особая точка приложения веса тела, а как центр параллельных сил — точка, через которую проходит направление силы веса тела (равнодействующей весов частиц тела), при любых положениях тела по отношению к горизонтальной плоскости. Далее даются общие формулы для нахождения центра тяжести тел и определяются центры тяжести фигур и тел для случаев, когда можно обойтись без интегрального исчисления.

Последняя глава называется «О машинах». Пуансо дает сначала обычное в его время определение машины как инструмента, предназначенного для передачи действия сил, и затем заменяет его более точным с его точки зрения: машины представляют не что иное, как тела или системы тел, стесненные в своих движениях какими-нибудь препятствиями.

В зависимости от этих препятствий он классифицирует машины: рычаг (одна точка опоры), ворот (наличие неподвижной прямой) и наклонную плоскость (наличие неподвижной опорной плоскости); классификация тесно связана с рассматриваемыми во второй главе случаями равновесия несвободного тела. При этом он отбрасывает полностью силы трения, а также жесткость веревок, рассматривая их как гибкие и нерастяжимые нити. Он дает основные положения для определения условий равновесия системы тел, которые сводятся к двум:

1. Если какая-либо система точек находится в равновесии, то должна находиться в равновесии каждая точка этой системы под действием как непосредственно приложенных к ней сил, так и тех реакций, которые она испытывает со стороны других точек этой системы.

2. Две точки могут действовать одна на другую только по направлению прямой, соединяющей эти точки, причем действие всегда является равным и противоположным противодействию.

Определение условий равновесия сводится к определению сопротивлений (реакций), получающихся при взаимодействии отдельных точек системы; если эти сопротивления известны, то остается лишь комбинировать эти силы взаимодействия с теми, которые непосредственно даются условиями задачи (внешними силами), применяя к каждому телу условия равновесия, если бы оно было совершенно свободным.

Такой подход к определению машины объясняется непосредственно следующим в тексте Пуансо примером. Он разбирает так называемую веревочную машину (веревочный многоугольник). Сначала исследуется случай, когда на узел веревки действует некоторая сила и определяются по правилу силового треугольника натяжения обеих частей веревки.; затем берется случай, когда действующая сила приложена не к самой веревке, а к гладкому кольцу, могущему перемещаться по веревке, так что натяжение обеих частей веревки оказывается одинаковым. После этого разбирается случай веревочного многоугольника, ABCD, на вершины которого действуют заданные силы; когда стороны АВ, ВС, CD становятся бесконечно малыми, то получается, находящаяся под непрерывно распределенной нагрузкой гибкая нить, форма равновесия которой и возникающие натяжения и определяются.

Уравнения цепной линии в окончательной форме Пуансо не дает: он определяет ее тем свойством, что тангенс ее наклона к горизонтали возрастает пропорционально длине дуги, отсчитываемой от ее наинизшей точки.

Нужно отметить, что, хотя Пуансо дал геометрическое изображение момента силы, векторного определения момента он не дает. Это было сделано Августином Коши (1789—1867), который определил линейный момент силы относительно точки как удвоенную величину площади треугольника, образованного центром момента силой; вектор, изображающий величину этой площади, откладывался перпендикулярно к плоскости треугольника в ту сторону, с которой периметр его представлялся обходящимся в положительном направлении вращения. Эта величина физического значения не имеет, но ее проекция на любую ось имеет физическое значение, представляя момент рассматриваемой силы относительно этой оси. Этот момент Пуансо определяет при помощи проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси: проекция множится на длину перпендикуляра, опущенного на нее из точки пересечения оси с плоскостью.

Книга заканчивается кратким перечислением наиболее употребительных машин, условия равновесия в которых устанавливаются отношением движущей силы (puissance) к побеждаемому ею сопротивлению (resistance), — методика, представляющая известную еще в древности начальную форму принципа возможных перемещений.

При помощи пар Пуансо дает объяснение «парадокса Роберваля», который не получил в то время истинного объяснения. Этот «парадокс» представляет хорошо известные в настоящее время весы Роберваля. В XVIII в. его пытались разрешить при помощи некоторого разложения сил; свое объяснение Пуансо считает «быть может единственным правильным из всех, которые до сих пор давались»; принцип возможных перемещений дает наиболее простое объяснение без всяких вычислений, если разобрать кинематически перемещения всех деталей механизма.

Основное понятие статики Пуансо, а именно изображение момента силы в виде пары, было перенесено и в область динамики. Момент некоторой силы относительно центра О можно изобразить удвоенной площадью треугольника, вершина которого находится в точке О, а основанием является рассматриваемая сила. Это построение Пуансо сопоставляет с другим, рассматриваемым в теории движения точки под действием центральных сил, где определяется секторная скорость  точки; ее производная по времени, умноженная на массу точки, дает величину момента тангенциальных сил, приложенных к точке, движущейся вокруг полюса O. Сопоставив эти выражения, Пуансо обращает внимание на введенную Лапласом «неизменяемую плоскость» Солнечной системы, к которой должен быть перпендикулярен общий момент количеств движения всех планет системы. Пуансо указывает, что в своих расчетах Лаплас не обратил внимания на моменты количеств движения от вращения планет вокруг собственной оси — моменты, величину которых Пуансо определяет как произведение момента инерции планеты во вращении вокруг своей оси на угловую скорость этого вращения. В настоящее время эти моменты получили название кинетических моментов и стали выражаться формулой . Название «кинетический момент» Пуансо не употребляет, но приведенное выражение он раскладывает по главным осям инерции Ар, Bq, Сг. У Эйлера встречаются только эти разложения; общего выражения он не знает: существенная разница между аналитиком Эйлером и геометром Пуансо.

Кинетическим моментом Солнечной системы Пуансо начал заниматься с 1828 г.; в его мемуаре «Новая теория вращения тел» (1834) он прибегает исключительно к геометрическим методам и вводит понятия об эллипсоиде инерции. Движущееся тело он заменяет эллипсоидом, центр которого находится в центре тяжести тела, а мгновенные угловые скорости по величине и направлению изображаются прямыми, соединяющими центр эллипсоида с точками на его поверхности; плоскость действующей пары совпадает с касательной плоскостью к эллипсоиду, проведенной через конец радиуса, изображающего соответствующую угловую скорость. Мемуар Пуансо не содержит ни формул, ни чертежей; изложение разобранного в нем случая Эйлера — Пуансо (движение тела с одной закрепленной точкой без действия сил) приведем в современном виде, пользуясь обозначениями Эйлера.

Пусть А, В, С и р, q, r — соответственно моменты инерции относительно главных центральных осей и проекции на них мгновенной угловой скорости тела.

Динамические уравнения Эйлера имеют вид

где Qx, Qy, Qz — проекции на подвижные координаты оси момента внешних сил.

Уравнения Эйлера можно вывести непосредственно при помощи теоремы Резаля из выражения для полной произвольной по времени от кинетического момента .

Рассмотрим случай, когда моменты внешних сил равны нулю (так называемый случай Эйлера — Пуансо). При отсутствии действующих сил кинетическая энергия тела сохраняет постоянное значение:

Точно так же остается постоянным по величине и направлению кинетический момент  относительно начала координатных осей — неподвижной точки. Его величина определяется выражением

Принимаем, что кинетический момент приложен в неподвижной точке О; его направление все время остается постоянным. От той же точки О откладываем и векторы угловой скорости со. Выражение для кинетической энергии можно рассматривать как скалярное произведение векторов кинетического момента и угловой скорости. Так как величина кинетического момента постоянна, то это значит, что проекция вектора угловой скорости на направление кинетического момента — постоянная величина. Отложим эту величину от точки О по направлению кинетического момента и через конец этого отрезка проведем плоскость, перпендикулярную к направлению кинетического момента: получаем, что конец вектора угловой скорости, отложенного от точки О, всегда находится на этой плоскости.

Теперь можно найти и другую поверхность, на которой должен находиться конец вектора угловой скорости. Уравнение эллипсоида инерции для точки О имеет вид

Так как эту поверхность можно построить в каком угодно масштабе, то его следует выбрать так, чтобы х = p, у = q и z = r. На этой поверхности находится конец вектора угловой скорости. Но направление вектора, имеющего начало в неподвижной точке, определяется двумя координатами и для его определения получены два условия. Так как конец этого вектора находится на двух поверхностях и задача его нахождения должна для каждого момента времени иметь однозначное решение, то это значит, что конец рассматриваемого вектора находится в точке касания обеих построенных поверхностей — плоскости и эллипсоида.

Это обстоятельство позволяет дать геометрическое истолкование рассматриваемому движению; его можно воспроизвести, заставив соединенный с телом эллипсоид инерции катиться без скольжения по плоскости, перпендикулярной к направлению кинетического момента. Поскольку кинетический момент остается постоянным по величине и направлению, то это качение по плоскости вокруг неподвижной точки О происходит все время в одном направлении, но не обязательно с одинаковой скоростью. Точка касания эллипсоида с плоскостью перемещается как по плоскости, так и по поверхности эллипсоида; кривую, описанную на плоскости, Пуансо назвал герполодией (от греческого herpein — ползать), а кривую на поверхности эллипсоида — полодией.

Таким образом, сформулирована теорема: движение твердого тела с неподвижной точкой, происходящее без действия сил, можно воспроизвести при помощи качения без скольжения соединенной с телом кривой — полодии — по неподвижной кривой на плоскости — герполодии.

Рассмотрим еще один частный случай. Предположим, что эллипсоид инерции движущегося тела является симметричным вокруг оси Oz'. Тогда моменты инерции А и В должны быть равны, и третье из уравнений Эйлера

принимает вид

откуда Cr =const. Это значит, что проекция кинетического момента на ось симметрии тела Oz' является величиной постоянной (так же, как и угловая скорость г). Так как направление неподвижных осей координат можно выбирать совершенно произвольно, то пусть неподвижная ось Oz совпадает с направлением тоже постоянного кинетического момента.* Но угол между подвижной и неподвижной осями Oz и Oz' есть угол нутации; это показывает, что угол нутации остается во время движения постоянным и угловая скорость  = 0. В таком случае первые два кинематических уравнения Эйлера принимают вид

откуда

При А = В интеграл кинетической энергии принимает вид

откуда , следовательно, угловая скорость  прецессии постоянна. В таком случае третье кинематическое уравнение Эйлера  в показывает, что и скорость  собственного вращения тела является постоянной. Получающееся движение тела носит название регулярной прецессии.

Свободное твердое тело может вращаться без закрепления, если ось вращения — так называемая свободная ось — совпадает с одной из главных центральных осей эллипсоида инерции. Определим, является ли такое вращение устойчивым, т. е. будет ли оно удерживаться, если на движущееся тело действуют небольшие случайные возмущения.

Для этого рассмотрим движение тела, совершающееся вокруг центра тяжести, который в таком случае можно считать закрепленной неподвижной точкой. При заданном режиме движения полодию можно рассматривать как геометрическое место последовательных положений конца вектора угловой скорости на эллипсоиде инерции, которым можно заменить вращающееся тело. Назовем этот конец полюсом; при качении полодии по герполодии этот полюс перемещается по поверхности эллипсоида: следовательно, изменяется и его вращение. Расстояние от центра эллипсоида инерции (закрепленной точки тела) до неподвижной плоскости, по которой происходит качение, будет равно проекции угловой скорости на направление кинетического момента. Изменяя эти расстояния, получаем и различные траектории полюса, а следовательно, и различные полодии. Находить их можно и аналитически, определяя линию пересечения конуса угловых скоростей с поверхностью эллипсоид; но их можно определять и непосредственно из опыта, заставляя эллипсоид катиться по неподвижной плоскости, аналогично тому, как происходит в кинематике плоского движения, непосредственно вычерчивая подвижную и неподвижную центроиды. Такой «опытный» путь построения полодий позволяет качественно определить характер описываемого движения.

Начнем с простейшего случая, когда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. В таком случае пределы изменения высоты центра эллипсоида над неподвижной плоскостью определяются длинами полуосей эллипсоида. Предположим для конкретности, что эллипсоид является вытянутым. Тогда, если высота центра равна большей полуоси, то и полодия, и герполодия обратятся в точку. Если опускать центр эллипсоида, то полодии представят окружности, радиусы которых постепенно увеличиваются от нуля до величины, равной длине оставшейся полуоси.

В общем случае рассмотрим эллипсоид так, чтобы самая большая ось была направлена вниз, самая малая — горизонтальна, а средняя — перпендикулярна к плоскости чертежа. Поставим сначала эллипсоид на большую полуось; соответствующая полодия является точкой. При опускании центра эллипсоида полодии уже не будут окружностями, но наивысшая точка все больше и больше приближена к концу средней полуоси и полодия превращается в совокупность двух пересекающихся линий, которые переходят и в верхнюю часть поверхности эллипсоида. Эти две линии представляют предельные положения полодий, которые мы получили бы, если бы начали их строить начиная с концов оставшихся большой и малой полуосей.

Но полодия представляет линию, по которой полюс перемещается свободно и без действия каких-либо посторонних случайных воздействий. Таким образом, видно, что устойчивое движение получается при вращении вокруг наибольшей и наименьшей из главных осей, ибо для них полодия обращается в точку; вращение же вокруг средней оси не может быть устойчиво, так как полюс может двигаться по любой ветви полодии, выходящей из точки, совпадающей с концом средней полуоси. Что касается случая, когда эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, то устойчивое вращение может происходить только вокруг одной оси — оси симметрии рассматриваемого эллипсоида, независимо от того, является ли она наибольшей или наименьшей.

Второй случай, когда уравнения движения твердого тела можно проинтегрировать, был установлен Лагранжем. Это случай симметричного тяжелого тела, ось симметрии которого проходит через неподвижную точку. Он получил большое практическое применение и рассматривается в специальной отрасли механики — так называемой гироскопии.

Пусть ось z неподвижной системы координат вертикальна, ось z/ подвижной системы — ось симметрии тела, a h — расстояние от центра тяжести до неподвижной точки. В таком случае можно получить три первых интеграла.

1. Момент внешних сил (тяжести) равен нулю относительно оси симметрии гироскопа; соответствующий интеграл рассмотрен выше: он сводится к тому, что составляющая угловой скорости т вокруг оси Оz/ остается постоянной:

2. Второй интеграл получаем, приняв, что проекция кинетического момента на вертикальную ось z постоянна; нужно заметить, что здесь постоянен не кинетический момент, как в случае Пуансо — Эйлера, а только его проекция на вертикаль:

3. Третий интеграл получаем из теоремы кинетической энергии:

Интеграцию можно довести до конца, но только в так называемых эллиптических функциях.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов