История теоретической механики

 

 

Главная

Тема 35. Выделение кинематики в самостоятельную науку

Кинематические задачи с успехом решались еще Евдоксом в IV в. до н. э. (и это были совсем не простые задачи), астрономы во времена Птолемея решали задачи о сложении вращательных движений и знали, что так называемая «пара вращений» эквивалентна круговому поступательному движению. Просматривая «О вращениях небесных сфер», можно найти целый ряд искусных кинематических построений, которые применял Коперник для воспроизведения механизма планетных движений. Однако все эти построения были забыты, и даже такой коперниканец, как Галилей, не представлял себе разницы между круговым поступательным движением и настоящим вращением вокруг подвижной или неподвижной оси.

В XVIII в. решались задачи, которые в настоящее время помечаются в начале курса кинематики; при решении задач на кинематику точки для нахождения траекторий, скоростей и ускорений движущихся точек нужно составлять уравнения, дифференцировать их, исключать неизвестные и т. д.; при переходе, казалось бы, к более сложному отделу — кинематике твердого тела — весь предшествующий математический аппарат исчезает: дифференцировать уже больше не нужно, а скорости и ускорения определяются чисто геометрическим методом.

Эта двойственность объясняется тем, что первая часть кинематики — изучение движения точки — разрабатывалась Эйлером в его «Механике точки», когда динамика еще только создавалась и в кинематике как самостоятельной науке еще не было надобности. Когда же Эйлеру пришлось заниматься динамикой твердого тела, то положение изменилось. В мемуаре 1775 г., непосредственно продолжающем его «Теорию о движении абсолютно твердых тел», он писал так.

Если нужно определить движение какого-либо твердого тела, то все исследование удобно разделять на две части — геометрическую и механическую. В первой части нужно рассматривать только перемещение тела из данного положения в другое, не обращая внимания на основные законы движения, представляя это перемещение при помощи аналитических формул, могущих определить положение отдельных точек после перемещения их из начального положения. Таким образом это исследование относится единственно к области геометрии, или, скорее, стереометрии.

Легко понять, что если это исследование отделить от второй части, которая собственно и относится к механике, то само определение движения при помощи основных его законов можно выполнить значительно легче, чем в том случае, когда обе части этого исследования производятся совместно.

Такие же мысли были и у Д'Аламбера, который думал о полезности изучения движения, отвлекаясь от его причин. С точки зрения техники тот же вопрос выдвигал и Монж, который даже ставил задачу о классификации механизмов, а также Карно.

В 1818 г. эту же идею высказал польский математик и философ Гёне (Ноеnе) Вронский, который даже назвал новую науку «Форономия». Термин «кинематика» был дан Ампером в его «Опыте классификации человеческих знаний» (1834), но он понимал ее, однако, только как исследование соотношений между скоростями различных частей машины. То обстоятельство, что Ампер ничего не говорит об ускорениях, объясняется тем, что в то время этого термина еще не существовало.

Первая книга по кинематике вышла в 1862 г. Ее автор Анри Резаль — горный инженер и доктор наук (1828—1896) —во введении писал о том, что механика естественно делится на две части: одна — рациональная и чисто геометрическая, в которой изучают движение само по себе, а другая — физическая, покоящаяся на понятиях силы и массы, и поэтому логично сначала изложить геометрические свойства движения, чтобы от нщ перейти к силам, т. е. к самой причине движения.

Резаль излагает также историческую сторону вопроса. Ньютон» по-видимому, видел это подразделение; Эйлер сделал дальнейший шаг в геометрической механике, изучая перемещение сферической фигуры по ее сфере, чтобы получить мгновенную ось вращение твердого тела вокруг неподвижной точки; потом Бобилье, Шаль и Гашетт (Hachette) с чисто геометрической точки зрения занялись проведением касательных и нормалей к кривым при помощи мгновенного центра вращения фигур, могущих перемещаться в своей плоскости.

До них Декарт исследовал частный случай рулетт, или мгновенный центр поворота плоской кривой, катящейся по другой кривой» увлекая вместе с собой все точки своей собственной плоскости. Пуансо и Шаль доказали геометрически существование мгновенной оси вращения — скольжения твердых тел в пространстве, тела можно привести к движению поверхности, которая катится и скользит по другой поверхности, неподвижной в пространстве, с которой она имеет общую касательную.

В своих лекциях на парижском факультете наук (1838—1840) Понселе попытался осуществить философские концепции Ампера, применяя их к геометрической теории основных механизмов передачи движения и к теории непрерывных индикаторов, или самописцев, предназначенных для экспериментального изучения законов абсолютных и относительных движений, и т. д.

В 1841 г. профессор Кембриджского университета Виллис опубликовал «Трактат о кинематике», в котором изложена геометрическая теория и даны чертежи большого количества механизмов.

В 1841 г. Понселе, расширяя круг геометрических представлений о криволинейных движениях, ввел в науку фундаментальное понятие о геометрических ускорениях. Таким образом ему удалось окончательно заложить основы науки, для которой название было придумано Ампером, рассматривавшим, однако, исключительно ее практические приложения.

Поэтому годом создания кинематики как самостоятельной науки следует считать 1841 год, когда было установлено понятие об ускорении.

Кратко рассмотрим содержание книги Резаля «Трактат чистой кинематики».

В первой главе устанавливаются понятия о скорости точки и о сложении скоростей. Изложение правил начинается с объяснения, каким образом точка может одновременно иметь два различных движения. Приведенный пример показывает, что абсолютная скорость складывается из относительной и переносной, хотя последнее название в тексте отсутствует, по-видимому, вследствие того, что объяснение переносного движения требует предварительного определения скоростей различных точек твердого тела, являющегося переносной системой отсчета.

Вторая глава посвящена ускорению, которое вводится в два приема: сначала определяется геометрическое приращение скорости—так называемое элементарное ускорение dv, а затем изменение скорости, отнесенное к единице времени, т. е. , которое и получает название «ускорение». Сложение ускорений производится тем же приемом, что и сложение скоростей; рассматриваются полные изменения скоростей обоих складываемых движений, оставляя в стороне взаимное влияние обоих движений.

Кинематике неизменяемых систем посвящены третья и четверня главы. Первая из них посвящена скоростям в плоском и пространственном движениях твердого тела (в частности, для плоского движения изложена теория огибающих).

Теория огибающих применялась уже в XVIII в., когда нужно было определять форму зубьев в зацеплениях зубчатых колес (у часовщиков); в то время были разработаны циклоидальные и эвольвентные зацепления, употребляющиеся до сих пор.

Рассмотрим движение некоторой кривой, начерченной на плоскости движущейся фигуры. Для определения ее движения относительно заданной неподвижной плоскости нужно вычертить на этой плоскости огибающую последовательных положений движущейся кривой (эта огибающая для кривой играла роль траектории в движении точки) и, кроме того, задать в функции времени угол поворота, или угловую скорость вращающейся фигуры. Обе кривые — огибающую и огибаемую — надо выбирать так, чтобы при обращении движения они взаимно менялись ролями; необходимо было условие, чтобы общая нормаль огибаемой и огибающей проходила через мгновенный центр скоростей движущейся фигуры; расстояние от этого центра до точки касания обеих кривых, помноженное на угловую скорость фигуры, позволяло определить величину скорости скольжения огибаемой кривой по огибающей.

Посвященная ускорениям пятая глава давала понятие о центре ускорения в случае плоского движения и, кроме того, теорему об ускорениях точки в движении тела, имеющего одну неподвижную точку. Эта теорема была опубликована Ривальсом в 1851 г. в  «Журнале Политехнической школы».

Шестая глава посвящена собственным работам автора «О сверхускорениях (suraccelerations)» — об ускорениях высших порядков, а в пятой главе излагалась хорошо известная теорема, носящая имя Кориолиса и опубликованная им в работе под названием «Исследования о приложении принципа живых сил в относительных движениях системы тел» (1831). Как видно из названия, эта, работа не относилась к области кинематики, но Резаль дал ее кинематическую формулировку, теперь известную.

У Кориолиса формулировка была такова: движение материальной точки относительно движущихся осей можно рассматривать как абсолютное движение относительно неподвижных осей, если только считать движущуюся точку находящейся под действием двух фиктивных сил, кроме той силы, которая в действительности приложена к точке. Первая из этих фиктивных сил равна и прямо противоположна силе, способной осуществить переносное движение, которое точка выполняла бы, если бы она была связана неизменным образом с подвижными осями.

Эти фиктивные силы в настоящее время называются Кориолисовыми силами инерции в отличие от Д'Аламберовых сил. Упомянутая выше сила называется переносной силой инерции; вторая сила измеряющая взаимное влияние обоих складываемых движений, настоящее время изображается так:

Она равна удвоенной массе, помноженной на векторное произведение относительной скорости на угловую скорость переносного вращения, и называется поворотной (или Кориолисовой в узком смысле этого слова) силой инерции.

В настоящее время теорема Кориолиса читается так: абсолютное ускорение в сложном движении точки равняется геометрической сумме ускорений переносного, относительного и поворотного.

                                                                                                  (1)

Пусть т — масса движущейся точки, a F — действующая на нее реальная сила. Если* нужно найти абсолютное движение этой точки, то основное уравнение динамики надо написать так:

                                                                                                                                 (2)

и никаких Кориолисовых сил не прикладывать. Но уравнение относительного движения точки нельзя выразить в виде

так как второй закон Ньютона предполагает инерциальную систему отсчета. Поэтому приведенное уравнение представим так:

                                                                                        (3)

или

                                                                                                      (3/)

Этот результат получаем по приведенной выше формулировке Кориолиса.

Рассмотрим, будут ли Кориолисовы силы реальными или фиктивными?

Если рассматривать движение в неподвижной системе отсчета, то уравнение движения надо выражать в виде (2); Кориолисовы силы не являются даже фиктивными: они просто не существуют.

Для движущейся системы отсчета уравнение движения представляют в виде (3/). Так как, согласно принципу относительности, все системы отсчета равноправны между собой, то уравнение (3') является справедливым и обе Кориолисовы силы реальны, так как они производят вполне реальные действия. Они отличаются от действительно реальных сил  только тем, что силы  являются реальными в обеих системах — ив неподвижной и в движущейся, а Кориолисовы силы реальны только в подвижной системе, а в неподвижной они не существуют.

Однако может быть и другая точка зрения. Согласно третьему Закону Ньютона силу следует рассматривать как действие одного материального тела на другое, сопровождаемое противодействием второго тела, приложенным к первому. Но Кориолисовы силы  противодействия не имеют (вернее, нельзя указать тела, к которому можно приложить противодействие). Таким образом, Кориолисовы силы инерции, согласно третьему закону Ньютона, не имеют права на название «сила».


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов