История теоретической механики

 

 

Главная

Тема 40. Развитие механики в России во второй половине XIX – начале XX века.

 

Содержание

Основные пути развития российской механики в XIX веке.

Первая женщина-механик С.В.Ковалевская

Механика в высшей школе

Теория механизмов

Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки

Проблема устойчивости движения

Механика тел переменной массы и теория реактивного движения

Неевклидова механика

Баллистика

Теория корабля

Теория упругости и сопротивление материалов

Фигуры равновесия вращающейся жидкости

Гидродинамика и гидравлика

Теоретическая и прикладная аэродинамика

 

Основные пути развития российской механики в XIX веке.

Развитие русской механики значительно отличается от западноевропейской. Основными стимулами развития европейской механики были два: необходимость создания системы небесной механике которое занимает почти 250 лет от Коперника до Лапласа, и (примерно со второй половины XVIII в.) необходимость подготовки опытных инженеров, как военных, так и гражданских.

В России начала XIX в. первый стимул ввиду создания Лапласом небесной механики уже не существовал. Индустриализация России интенсивно началась только в 80-х годах XIX в.; поэтому второй стимул проявлялся в военном деле, которое играло первостепенную роль в первой половине XIX в.

Развитие русской механики, а также и математики, пошло по пути, намеченному французской Политехнической школой. В 1810 г, в Петербурге был основан институт путей сообщения, начальником которого был назначен француз Бетанкур. В течение 1820—1830 гг. в нем работали Ламе (1795—1870) и Клапейрон (1799—1864). Кроме того, в Петербурге, начиная с 1810 г., было основано большое число высших офицерских курсов, которые в дальнейшем были преобразованы в военные академии. Из них особо нужно отметить Михайловскую артиллерийскую академию, воспитанниками которой были Н. В. Майевский (1823—1892), первый ученый, поставивший задачу внешней баллистики продолговатого снаряда и решивший ее в 1872 г., И. А. Вышнеградский (1831—1895), работавший в области теории регулирования хода машин, Д. К. Бобылев (1842—1917), преподававший потом в Петербургском университете и Институте инженеров путей сообщения. Эту академию окончил также В. Л. Кирпичев (1845—1913), работавший затем в Харькове и Киеве; он известен своими трудами по строительной механике, а также прекрасной книгой «Беседы по механике».

 

Первая женщина-механик С.В.Ковалевская

Среди математиков, занимавшихся механикой, первой не только в России, но и в Европе женщиной-математиком была С. В. Ковалевская (1850—1891) (ее Девичья фамилия — Корвин-Круковская). Математику она полюбила еще в детстве; в загородном доме Корвин-Круковских ее комната, на которую не хватило обоев, была оклеена листами из математической книги, в своих воспоминаниях C. В. Ковалевская писала о том, что листы эти, испещренные странными, непонятными формулами, скоро обратили на себя ее внимание. В детстве она проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны были следовать друг за другом.

В дальнейшем с восьмилетнего возраста она стала учиться математике у домашнего учителя семьи Круковских М. И. Малевича, обладавшего способностью заставлять учеников «полюбить науку и устремиться к дальнейшему самоусовершенствованию». Ее математические способности были настолько велики, что четырнадцати лет она смогла вполне самостоятельно разбираться в тригонометрии. После этого родители решили дать ей настоящее математическое образование, и она стала учиться высшей математике.

Когда уже пятнадцатилетней девочкой она брала первый урок дифференциального исчисления у известного преподавателя математики в Петербурге А. Н. Страннолюбского, он удивился, как скоро она схватила и усвоила понятия о пределе и о производной. И дело было в том, что в ту минуту, когда он объяснял эти понятия, ей вдруг припомнилось, что все это стояло на памятных ей листах Остроградского, и само понятие о пределе показалось давно знакомым.

Для возможности продолжать образование (в 60-х годах в России высшее образование для женщин не считалось возможным) С. В. Ковалевская вступила в фиктивный брак с В. О. Ковалевским (1843—1883), который так же как и его старший брат А. О. Ковалевский (1840—1901), был выдающимся ученым в области биологии. Будучи последователем Дарвина, А. О. Ковалевский установил происхождение позвоночных от одной из групп беспозвоночных» историей развития которых он много занимался. В. О. Ковалевский привел в восторг самого Дарвина тем, что восстановил родословную лошади на основании изучения ископаемых останков ее предков; он является основателем так называемой исторической палеонтологии.

Получив свободу, С. В. Ковалевская уехала за границу в 1869 г. рассказывают, что знаменитый берлинский математик Вейерштрасс вернулся однажды после лекции очень недовольным, так как ни один из его студентов не мог решить предложенных им задач. Когда ему сообщили, что его хочет видеть дама, желающая учиться высшей математике (это была С. В. Ковалевская), то он, чтобы «отвязаться от нее», дал ей задачу из тех, которые не могли решить его ученики, и очень был удивлен, когда на следующий день получил вполне правильное и очень красивое решение.

В 1870—1874 г. С. В. Ковалевская большей частью была за границей — в Берлине и Париже. В 1871 г. она вместе с сестрой Анной принимала некоторое участие в революционном движении Парижской Коммуны.

В 1874 г. кончилось ученье С. В. Ковалевской у Вейерштрасса в Геттингенском университете. Давать диплом об окончании университета женщине в то время не было принято, но Вейерштрасс настоял, чтобы С. В. Ковалевской сделали исключение и выдали диплом без экзаменов на основании лишь представленных новых работ. Она представила три работы: одна из них касалась теории уравнений с частными производными, другая — гиперэллиптических интегралов, а третья носила название «Дополнения и замечания о форме колец Сатурна». Лаплас считал эти кольца жидкими, но Ковалевская доказала ошибочность этого предположения, а именно что устойчивое существование колец возможно только в случае, если они состоят из мельчайших материальных частиц; в настоящее время теория Ковалевской является общепринятой. В результате С. В. Ковалевская получила диплом доктора философии Геттингенского университета.

Когда С. В. Ковалевская вернулась в Россию, то дорога перед ней была закрыта: она получила лишь право преподавать арифметику. После возвращения в Петербург в математической жизни С. В. Ковалевской создалась пауза; она занялась общественной жизнью; фиктивный брак с В. О. Ковалевским обратился в фактический и в 1874 г. у них родилась дочь.

Хорошо знавший С. В. Ковалевскую профессор Стокгольмского университета Миттаг-Леффлер в 1884 г. после смерти ее мужа увез С. В. Ковалевскую с дочерью в Стокгольм, где она и стала читать лекции сначала в звании доцента, а потом и профессора. В 1888 г. Она представила в Парижскую Академию сочинение на премию Бордена, которая предназначалась математику, сумевшему продвинуть динамику твердого тела За пределы, достигнутые Эйлером, Лагранжем и Пуансо. Это был третий и, по-видимому, последний случай интегрируемости уравнения Эйлера при любых начальных условиях. Она рассматривала тяжелое тело, эллипсоид инерции которого для неподвижной точки выражался уравнением

=1

при А = 2С, а центр тяжести находился где угодно в плоскости Оху. Так как он мог находиться и не на оси симметрии эллипсоида вращения, то рассматриваемое тело называют иногда 

несимметричным гироскопом.

С. В. Ковалевская выполнила интеграцию при помощи остроумного приема — она приняла время t в качестве комплексной переменной. После получения премии Бордена она продолжала свою работу в области динамики твердого тела, за которую получила в 1889 г. премию Стокгольмской Академии наук. Более того, в том же году по ходатайству П. Л. Чебышева и других академиков она получила звание члена-корреспондента Петербургской Академии наук. Но пользоваться этим успехом ей долго не пришлось: в 1891 г. она умерла в Стокгольме от воспаления легких.

С. В. Ковалевская занималась не только математикой, но и литературной деятельностью. В 1887 г. в сотрудничестве с сестрой профессора Миттаг-Леффлера она написала сочинение под названием «Борьба за счастье». Основная идея этого произведения — «как было и как могло бы быть» математическая. В некотором интервале имеется функция непрерывная и однозначная; в конце этого интервала она раздваивается на две различные ветви, каждая из которых в свою очередь тоже однозначна и непрерывна. В этом произведении изображаются две жизни, из которых одна была, а другая могла бы быть. В жизни С. В. Ковалевской точкой раздвоения можно считать 1870 год; две ветви — это, видимо, направления: одно — направление Вейерштрасса, а другое — Чебышева, если бы С. В. Ковалевская осталась в России.

 

Механика в высшей школе     

В области педагогики трудно отделить работу механиков от математиков. Эта работа велась в университетах, которые были открыты в Дерпте, Вильно, Харькове и Казани. Преподаватели университетов были последователями Эйлера, значение которого для России состоит в создании учебных курсов, в первую очередь по математике, начиная с элементарной алгебры и кончая  трехтомным курсом «Интегральное исчисление»; в области механики таким курсом можно назвать его «Механику точки». Наиболее важными центрами этой работы являются Петербург (академия, университет и военные учебные заведения), затем Казань и Москва.

Первым русским ученым, получившим европейскую известность, был М. В. Остроградский (1801—1862). Он родился в Полтавской губернии. Шестнадцати лет он поступил вольнослушателем в Харьковский университет; математикой он заинтересовался лишь на втором курсе, где на него большое влияние оказали преподаватели Т. Ф. Осиповский и его ученик А. Ф. Павловский. В 1820 г. М. В. Остроградский блестяще окончил курс университета, но был лишен Диплома «за вольномыслие и непосещение лекций по богословию». Свое образование закончил в Париже. Там сложился окончательно его математический облик; его основными руководителями были Коши, Лаплас и Пуассон. В 1826 г. еще в Париже он представил Французской академии свою первую работу «О волнообразном движении жидкости в цилиндрическом сосуде». В 1827 г. М. В. Остроградский вернулся в Россию и стал адъюнктом Академии наук.

Первая работа М. В. Остроградского была продолжением исследований Пуассона по теории упругости — два мемуара, касающиеся малых колебаний упругой среды (неограниченной), а также упругих тел. Прочитанный им в Институте путей сообщения курс небесной механики вместе с предшествовавшими работами по теории упругости были причиной избрания М. В. Остроградского ординарным академиком. Затем он создает ряд работ в области математического анализа и вариационного исчисления.

В 40-х годах М. В. Остроградский занимался баллистической задачей (движение неоднородных сферических снарядов) и аналитической механикой («Об интегралах общих уравнений динамики»), в которой было дано обобщение принципа Гамильтона для нестационарных связей.

В середине XIX в. место М. В. Остроградского в академии занял П. Л. Чебышев (1821—1894) — основатель Петербургской математической школы.

С 30-х годов XIX в. стал быстро повышаться уровень преподавания механики в Московском университете, начала вестись исследовательская работа. В Петербургском университете курс механики с 1819 по 1846 г. читал профессор Д.С. Чижов (1785-1853), лекции которого не отличались ни глубиной, ни яркостью. Положение дел резко изменилось с приходом в Петербургский университет И.И. Сомова и несколько позднее П.Л. Чебышева.

О. И. Сомов (1815 — 1876), получил высшее образование в Московском университете, где он защитил магистерскую диссертацию по высшей математике. С 1847 г. он начал преподавать различные отделы теоретической механики, придерживаясь Лагранжа, Пуассона и Остроградского. В 1862 г. после смерти Остроградского он был избран академиком.

О. И. Сомову (одновременно с Вейерштрассом) принадлежит исправление одной ошибки Лагранжа, который утверждал, что уравнение частот, получающихся в теории колебаний, не может иметь равных корней, так как в этом случае время, возрастающее до бесконечности, уже не будет всегда находиться под знаком синуса или косинуса.

Начало творческого пути И.И. Сомова (1815-1876) связывает его деятельность с московскими университетскими кругами и, в частности, с Н.Д. Брашманом (1796-1866). Вместе с тем позднейшие работы Сомова преемственно связаны с направлением, созданным в механике классическими исследованиями М.В. Остроградского. В Петербургском университете Сомов проработал начиная с 1841 г. тридцать пять лет. Он внес большие изменения в программу курса механики, которые нашли отражение и в его руководстве «Рациональная механика» (СПб., 1872-1874), вышедшем и в немецком переводе (1878). Сомов впервые в России провел разделение механики на кинематику, статику и динамику. Такая структура курса стала затем общепринятой в университетском преподавании (ранее механику делили на две части: статику и динамику). Выделение кинематики имело большое значение для развития теории механизмов.

Идеи Лагранжа, Пуассона, Остроградского развивал также Н. Д. Брашман (1796—1866), приехавший в Россию из Чехии и работавший сначала в Казанском университете, преподавая там математику, механику и астрономию. Он занял кафедру прикладной математики Московского университета, где и читал курс механики. В 1837 г. он выпустил книгу «Теория равновесия тел твердых и жидких или статику и гидростатику», а в 1853 г. — большой курс механики. В истории Московского университета Н. Д. Брашмана помнят как основателя Московского математического, общества. В 1825 г. он был выбран членом-корреспондентом Петербургской Академии наук.

Преемником Сомова стал Д.К. Бобылев – с 1876 г. доцент и с 1878 г. профессор механики Петербургского университета. Д. К. Бобылев (1842-1917) был талантливым педагогом. Среди многих других выдающихся ученых, им воспитанных, особенно выделяются А.М. Ляпунов, И.В. Мещерский и Г.К. Суслов. Из оригинальных работ Бобылева особенно интересны исследования по гидродинамике. Он рассмотрел гидродинамическое давление жидкости (1873), дал с помощью метода Кирхгофа решение «задачи Бобылева» о давлении струйного потока на стенки обтекаемого клина (1881); ему принадлежит оригинальная формулировка теоремы живых сил для вязкой жидкости и обобщение теоремы Кориолиса па случай подвижной среды. В 1896 г. Бобылев был избран членом-корреспондентом Академии наук.

В Московском университете с 1866 г. курс механики в течение 20 лет читал Ф.А. Слудский (1841-1897). На этом курсе сказалось влияние Остроградского, Брашмана и Сомова. В предисловии к «Курсу Теоретической механики» (М., 1881) Слудский сам подчеркивал, что, высоко ценя аналитический метод изложения, он следовал и преподавании примерам Остроградского и Брашмана. Впрочем, Слудский плодил и чисто геометрические представ­ления, признавая некоторую ограниченность аналитического метода. Учеником Слудского был Н.Е. Жуковский, сменивший Слудского па кафедре теоретической механики в 1886 г.

Вскоре затем, с 1894 г., в Московском университете стал преподавать ученик Жуковского – С.А. Чаплыгин.

Многие выдающиеся механики преподавали и в других университетах и высших технических школах России. Перечислить их всех невозможно, назовем для примера нескольких: Г.К. Суслов и П.В. Воронец (Киевский университет), А.М. Ляпунов (Харьковский университет), А. П. Котельников (Казанский университет), Н.Е. Жуковский, который помимо Московского университета, читал курс механики и вел большую научную работу в Московском техническом училище (теперь Московское высшее техническое училище им. Н.Э. Баумана).

 

Теория механизмов

Одновременно с исследованиями по общим основаниям теоретической механики в России было положено начало теории одного из важнейших отделов прикладной механики – теории механизмов.

В XIX в. в связи с ростом: промышленности и усовершенствованием машин эти проблемы явились, начиная с 50-х годов, источником целой серии фундаментальных работ по теории механизмов и прежде всего работ П.Л. Чебышева (1821-1894). Чебышев неустанно знакомился с различными производствами, беседовал с виднейшими инженерами и подбирал материал для курса практической механики, который читал в течение нескольких лет в Петербургском университете и в Лицее в Царском Селе (ныне город Пушкин). Особенно интересовали его теория зубчатых передач, динамика машин, удары в частях механизмов и т. д.

Он получил образование в Московском университете, в который поступил шестнадцати лет; здесь он проявил большое разнообразие своих интересов. Он защитил магистерскую диссертацию на тему «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»; позднее он начал читать в Петербургском университете курс теории вероятностей и дал ряд исследований, из которых замечателен мемуар «О средних величинах»; в результате его работ русская теория вероятностей заняла одно из первых мест в европейской науке.

После защиты диссертации на тему «Об интегрировании при помощи логарифмов» он был утвержден адъюнктом Петербургского университета. Эта диссертация представляет собой шаг вперед по сравнению с работами М. В. Остроградского, который дал метод нахождения рациональной части интегралов алгебраических дробей, а П. Л. Чебышев от логарифмической части интеграла перешел в дальнейшем к вопросам интегрирования иррациональных дифференциалов.

В 1849 г. П. Л. Чебышев написал книгу «Теория сравнений». Его дальнейшие исследования в области теории чисел составили предмет двух фундаментальных работ: «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» и «Мемуар о простых числах». Он не ограничивался развитием чисто теоретических вопросов и состоял членом артиллерийского отделения военно-ученого комитета, а также занимался движением цилиндро-конических снарядов.

В 1853 г., после первой поездки за границу, П. Л. Чебышев выпустил книгу «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов». Разрабатывая конструкцию паровой машины, Уатт не мог для превращения вращательного движения в поступательное воспользоваться кривошипно-шатунным механизмом, который был уже запатентован, и ему пришлось создать специальный механизм, так называемый параллелограмм Уатта. П. Л. Чебышев для получения хотя бы приближенного прямолинейного движения создал теорию функций, наименее отклоняющихся от нуля, которая рассматривалась в этой книге. В течение 1862 — 1888 гг. он выпустил около 15 работ в области теории механизмов, в частности направляющих механизмов, которые производили бы прямолинейное движение.

Та же самая теория функций, наименее уклоняющихся от нуля, была применена в работах о центробежном регуляторе (получение изохронности хода механизма) и о зубчатых колесах (построение контуров зуба с помощью дуг окружностей при соблюдении возможно близкого к требуемому отношения числа оборотов колес). П. Л. Чебышев занимался и построением различных механизмов (сохранилось около сорока их моделей).

И качестве объекта научного исследования Чебышев, отправляясь от анализа недостатков в работе так называемого параллелограмма Д. Уатта, который служит для переводе вращательного кривошипа в (приближенное) прямолинейное движение поршня и обратно, выбрал одну из труднейших задач теории механизмов – проблему синтеза шарнирных механизмов, т. е. построение механизмов, выполняющих заданное движение, - задачу, решение которой не может считаться законченным и в настоящее время. В этих работах блестяще проявилась особенность научного гения Чебышева, состоявшая в умении сочетать отвлеченные области математического анализа с рассмотрением конкретных технических задач.

В статье «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1853) Чебышев дал рациональные основания для определения размеров прямолинейно-на­правляющих механизмов, которые в течение 75 лет, начиная с Уатта, подбирались инженерами эмпирически.

Кроме направляющих механизмов, Чебышев синтезировал и построил ряд других. Наибольший интерес из них представляют: механизм для превращения вращательного движения кривошипа в колебательное движение коромысла с двумя качаниями за один оборот кривошипа, кулисный механизм паровой машины, механизм для измерения кривизны, механизм самокатного кресла и велосипеда, арифмометр с непрерывным движением, гребной механизм лодки и т. д. Укажем еще так называемый парадоксальный механизм, состоящий из шести звеньев, соединенных шарнирами. Как показал Чебышев, можно подобрать такие размеры звеньев, что если ведущему звену давать вращение по часовой стрелке, то ведомое звено будет делать два оборота, а если вращать ведущее звено против часовой стрелки, то ведомое звено будет делать четыре оборота.

Изучая те части траекторий, описываемых различными точками шатуна, которые мало отличаются от окружностей, и присоединяя дополнительные звенья, Чебышев создал механизмы с остановками, у которых отдельные звенья на некоторое время останавливаются, хотя ведущее звено продолжает вращаться. Таков краткий и далеко не полный перечет» работ Чебышева по синтезу механизмов.

В 1870 г. в работе «О параллелограммах» Чебышев впервые дал так называемую структурную формулу механизмов.

Идеи П.Л. Чебышева можно оценить в свете дальнейшего их развитии. Такое развитое происходило во всех научных центрах мира и особенно в России. Мы по можем здесь подробно останавливаться на истории теории механизмов в России в последней четверти XIX – начале XX в., а отмстим лишь немногие работы.

Как писал А. М. Ляпунов, П. Л. Чебышев и его последователи остаются постоянно на реальной почве, руководствуясь взглядом. Что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями (научными или практическими), и только те теории действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев.

Интересный цикл исследований, в этом направлении был проведен в Одесском университете. Ряд книг и статей по кинематике систем с приложениями к технический задачам опубликовал профессор механики В.Н. Лиги и (1846-1900). Ученик Лигина доцент X.И. Гохман дал в «Кинематике машин» (Одесса, 1890) классификацию кинематических пар но степеням свободы и разделение механизмов па 6 разрядов в зависимости от числа возможных движений.

В Одесском университете защитил магистерскую диссертацию «Передача вращения и механические черчения кривых шарнирно-рычажными механизмами» (1894) воспитанник Московского университета Н. Б. Делоне (1856-1931), с 1906 г. занимавший кафедру механики в Киевском политехническом институте.

Особые заслуги в теории механизмов принадлежат И.А. Вышнеградскому (1831-1895), ученику Остроградского по Главному педагогическому институту в Пе­тербурге. Вышнеградский преподавал математику и прикладную механику и другие курсы в Артиллерийской академии и в Петербургском технологическом институте. В 1862 г. он был утвержден профессором механики, в 1888 г. избран почетным членом Академии наук. Некоторое время он был министром финансов.

Вышнеградский был выдающимся инженером-конструктором и теоретиком. Главным делом его жизни явилось создание теории автоматического регулирования, основания которой он изложил в двух сочинениях «О регулято­рах прямого действия» (1877) и «О регуляторах непрямого действия» (1878). Свои открытия Вышнеградский тогда же опубликовал во французских и немецких журналах. Введенные Вышнеградским понятия и методы получили широкое применение в современной теории регулирования, приобретающей все большее и Пол мисс значение в самых различных областях производства. Имя Вышнеградского носит, например, критерий устойчивости системы регулирования.

В 1909 г. было опубликовано исследование Н.Е. Жуковского «Сведение динамических задач о кинематической цепи к задачам о рычаге». Оно содержит теорему, имеющую глубокое принципиальное значение. Сущность этой теоремы состоит в том, что вопрос о равновесии и механизма, т. е. системы тел, сводится к более простой задаче равновесия одного твердого тела, вращающегося вокруг данного центра. Метод Жуковского давал возможность решить общую задачу динамики механизмов (для механизмов с одной степенью свободы), состоящую в определении движения механизмов под действием заданных сил, т. е. позволял произвести кинетостатический расчет механизма с учетом сил инерции.

В 1914-1917 гг. появились работы профессора Петербургского политехнического института Л.В. Ассура (1878-1920), давшего новую общую систему классификации плоских кинетических цепей, на которой основывается методика исследования плоских механизмов, причем каждому классу соответствует свой метод анализа. Классификация Ассура и ряд введенных им понятий («точки Ассура» и др.) играют важную роль в современной теории механизмов и машин.

 

Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки

Проблема вращения твердого тела – характерный пример тех механико-математических проблем, которые стояли в центре теоретической механики во второй половине XIX в. Начиная с С.В. Ковалевской (1850-1891), русские ученые вносят крупный вклад в решение этой проблемы. В 1888 г. С.В. Ковалевская написала свою знаменитую работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки».

Как известно, еще в 1758 г. Л. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. В 1834 г. Л. Пуансо дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. С. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось симметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой дожит на оси симметрии и не совпадает с полюсом (симметрический тяжелый гироскоп – волчок). Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и их решения выражаются через эллиптические функции.

После исследований, проведенных Эйлером, Лагранжем и Пуассоном, проблема движения тела вокруг неподвижной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду ее важности Парижская академия паук назначила премию за существенное продвижение в исследовании задачи. Два проведенных конкурса не дали результате. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ премию получила работа С.В. Ковалевской.

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тола вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. С.В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы.

Работы С.В. Ковалевской, посвященные движению твердого тела, стали исходным пунктом многочисленных исследований. Мы можем назвать русских ученых, так или иначе дополнивших анализ Ковалевской: московских профессоров Г.Г. Аппельрота, Б.К. Млодзеевского, Н.Е. Жуковского, а также А.М. Ляпунова и Н.Б. Делоне.

 

Проблема устойчивости движения

Одним из крупнейших достижений механики в конце XIX в. явилось создание теории устойчивости движения систем с конечным числом степеней свободы. Основоположником этой теории был А. М. Ляпунов, которому наука обязана и многими другими важными исследованиями. Спою первую работу по устойчивости движения Ляпунов напечатал в 1888 г. в «Сообщениях Харьковского математического общества». Это была статья «О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости». Вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, как писал в этой статье Ляпунов, представляет хороший пример для общей теории устойчивости движения. В 1889 г. Ляпунов напечатал вторую статью на эту тому - «Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах».

Разработка вопросов общей теории устойчивости, проводившаяся Ляпуновым в эти годы, завершилась опубликованием в 1802 г. в Харькове замечательного труда «Общая задача об устойчивости движения», который он в 1893 г. защитил в Московском университете в качестве диссертации на степень доктора прикладной математики. В работе «Общая задача об устойчивости движения» Ляпунов поставил следующую задачу: указать те случаи, в которых первое приближение полностью решает вопрос об устойчивости или неустойчивости движения, и дать способы, позволяющие решать этот вопрос по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости.

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения можно ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые случаи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости. Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются периодические функции с одним и тем же периодом. Он указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодических движений. Отметим еще, что он впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при некоторых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не минимальна. В течение ряда лет Ляпунов продолжал исследование по теории устойчивости движения, существенно дополнив результаты докторской диссертации, и напечатал еще ряд работ в дополнение к ней.

Ценность трудов Ляпунова по теории устойчивости движения по только и непосредственно полученных им результатах, но и в разработке новых оригинальных математических приемов изучения дифференциальных уравнений. Последующие исследования в этом направлении в значительной мере опирались па идеи и методы Ляпунова. Его докторская диссертация была издана на французском языке в 1907 г. О значении этого труда в наше время свидетельствуют четыре переиздания его на русском языке после 1935 г. и перепечатка французского перевода в США в 1947 г.

 

Механика тел переменной массы и теория реактивного движения

На рубеже XIX-XX вв. была создана новая область механики, первые стимулы к разработке которой возникли в теоретическом естествознании и которая приобрела ис­ключительно важное значение в технике середины XX в. Это – динамика тел переменной массы: И.В. Мещерского и теория ракетного движения К.Э. Циолковского.

И.В. Мещерский (1859-1935), воспитанник Петербургского университета, был не только крупным ученым, но и выдающимся педагогом. С 1890 г. он в течение 25 лет преподавал в Петербургском университете, с 1902 г. в течение 33 лет руководил кафедрой Политехнического института, организованного незадолго перед тем. Широко известен его курс теоретической механики и особенно прекрасный задачник по механике, выдержавший более двух десятков изданий и принятый в качестве учебного пособия для высших учебных заведений не только в СССР, но и в ряде зарубежных стран.

Основным предметом научных исследований И.В. Мещерского явилась проблема движения тел с переменной массой. О первых своих результатах в этом направлении он сделал доклад в Петербургском математическом обществе еще в начале 1893 г. В 1897 г. вышла в свет магистерская  диссертация Мещерского «Динамика точки переменной массы». В этой работе ом установил, что если масса точки изменяется во время движения; то основное дифференциальное уравнение движения Ньютона заменяется следующим:

где  и  – заданная и реактивная силы.

Это уравнение называют уравнением Мещерского. В диссертации развита общая теория движения точки переменной массы для случая отделения (или присоединения) частиц. В 1904 г. был напечатан второй труд Мещерского «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», в котором его теория получила окончательное и в высшей степени изящное выражение. Здесь он устанавливает и исследует общее уравнение движения точки, массы которой изменяются от одновременного процесса присоединения и отделения Материальных частиц.

И.В. Мещерский рассмотрел также большое количество частных задач о движении точки переменной массы, например, восходящее движение ракеты и вертикальное движение аэростата. Специальному исследованию он подверг движения точки переменной массы под действием центральной силы, заложим тем самым основания небесной механики тел переменной массы. Он изучал также и некоторые проблемы комет. Мещерский впервые сформу­лировал и так называемые обратные задачи, когда по заданным внешним силам и траектории определяется закон изменения массы.

Кроме работ по механике переменных масс, И.В. Мещерскому принадлежит ряд работ по общей механике. Такова, например, статья «Дифференциальные связи п случае одной материальной точки» (1887), в которой рассматривается движение точки, подчиненной неголономной связи; причем связь не является идеальной и лилейной. Статья «О теореме Пуассона при существовании условных уравнений» (1890) посвящена интегрированию уравнений динамики. В работе «Гидродинамическая аналогия прокатки» (1919) предпринята чрезвычайно интересная попытка теоретического освещения процессов, происходящих во время прокатки, при помощи уравнений движения вязкой жидкости.

Заслуги И.В. Мещерского в науке чрезвычайно велики. Однако лишь в последнее время с достаточной полнотой выяснилось огромное практическое значение его исследований по механике переменных масс как теоретическое основы современной ракетодинамики. Дальнейшее развитие идеи И.В. Мещерского получили в трудах советских ученых.

Имя И.В. Мещерского неразрывно связано в истории науки и техники с именем создателя научных основ космонавтики К.Э. Циолковского.

К.Э. Циолковский (1857-1935) является пионером ракетодинамики, теории реактивных двигателей и учения о межпланетных сообщениях. Он – один из основателей экспериментальной аэродинамики в России, создатель первого проекта конструкции и теории цельнометаллического дирижабля, автор многих изобретений в технике летания.

В 1879 г. Циолковский сдал экстерном экзамен на звание учителя средней школы и начал преподавать математику в Боровском уездном училище Калужской губернии. Все свободное от школьных занятий время он посвящал научным Исследованиям и в 1883 г. подготовил свое первое исследование «Свободное пространство». В этой работе он дал анализ физических явлений, которые мот бы наблюдать человек в межпланетном пространстве, а также первую принципиальную схему реактивного межпланетного корабля.

Следующее большое исследование - «Теория и опыт аэростата» (1880) – посвящено обоснованию теории и предложенной Циолковским конструкции управляемого аэростата с цельнометаллической оболочкой. Узнав об этом труде, Н.Е. Жуковский и А.Г. Столетов пригласили Циолковского в Москву для доклада на физическом отделении Московского общества любителей естествозна­ния. Прочитанный летом 1887 г. доклад получил очень высокую оценку.

В 1894 г. К.Э. Циолковский опубликовал статью «Аэроплан, или птицеподобная (авиационная) летательная машина», где предложил такую форму и устройство самолета, к которой человечество пришло только через треть века.

Продолжая свои исследования в области аэродинамики, Циолковский провел в течение следующих трех лет ряд предварительных опытов. Стремясь к их уточнению, он изобрел «воздуходувку» - аэродинамическую трубу открытого типа, которая явилась первой в России аэродинамической трубой.

В январе 1903 г. Циолковский направил в журнал «Научное обозрение» большую статью «Исследование мировых пространств реактивными приборами». Первая ее часть появилась в пятом номере. Но вскоре затем этот журнал, в котором сотрудничали В.И. Ленин, Г.В. Плеханов и многие передовые русские ученые, был закрыт жандармским управлением, а все редакционные материалы конфискованы. Только через восемь лет, в 1911 г., друзьям и последователям Циолковского удалось напечатать вторую часть этой выдающейся работы, закладывавшей основы теории реактивных летательных аппаратов. В этой работе была доказана возможность применения ракетных аппаратов для межпланетных сообщений. Циолковский предложил ракету для исследования высоких слоев атмосферы, для запуска искусственного спутника Земли и межпланетных путешествий.

Сочинения Циолковского соединяли в себе трезвый научный расчет с замечательным полетом фантазии. Мы здесь не касаемся научной деятельности К.Э. Циолковского в советский период. Однако в дореволюционной России открытия К.Э. Циолковского не получили ни признания, им поддержки официальных кругов, Работал он в трудных материальных условиях. Его трагическая судьба в дореволюционной России и затем великий триумф в Советском Союзе отразили исторический перелом в судьбах отече­ственной научно-технической мысли.

 

Неевклидова механика

Механика в неевклидовом пространстве возникла в конце 60-х годов XIX в., когда идеи Лобачевского начали по­лучать признание математиков. Основным стимулом раз­вития неевклидовой механики послужило желанно выяснить, не противоречит ли неевклидова геометрия принципам механики.

Первые работы по неевклидовой механике появились в 1809-1870 гг. в Италии – А. Дженокки (1817-1889), в Германии – Э. Шеринг (1833-1897) и Бельгии – Ж. де Тилли (1837-1900). Если первые двое задавали силы точками приложения,  направлениями и величинами, то де Тилли впервые изобразил силы в неевклидово пространстве ориентированными отрезками.

В России исследования по неевклидовой механике начались в 90-х годах XIX в. Первой работой была статья П.С. Юшкевича (1873-1945) «О сложении сил в гиперболическом пространстве», написанная в 1892 г., опубликованная в 1898 г. В работе Юшкевича определяется сложение сил, когда они направлены по пересекающимся прямым, и в тех случаях, когда они направлены по параллельным и расходящимся прямым.

В широком плане предпринял разработку неевклидовой механики А.П. Котельников (1865-1944), сын профессора прикладной математики Казанского университета П.И. Котельникова. Л.П. Котельников – воспитанник Казанского университета, был профессором механики в Казани, Киеве и Москве. В 1896 г. А.П. Котельников защитил магистерскую диссертацию «Винтовое исчисление и некоторые применения его к геометрии и механике». Винтовое исчисление описывает силовые винты статики и винтовые перемещения кинематики.

Наибольшее значение в развитии неевклидовой механики имеет докторская диссертация А.П. Котельникова «Проективная теория векторов» (Казань, 1899). Котельников дал определение и метод сложения векторов, пригодных для всех неевклидовых пространств, определил эквивалентность систем векторов, показал, что всякая система векторов эквивалентна «канонической системе», состоящей из двух векторов, направленных по двум взаимно полярным прямым, и нашел необходимое и достаточное условие эквивалентности двух систем векторов. Последнее условие состоит в равенстве определяемых системами векторов величин особого рода - «винтов» («моторов», «динам»), тесно связанных с комплексными числами различного вида. Котельников глубоко разработал алгебру винтов, аналогичную векторной алгебре, и ее применения к геометрии, в особенности линейчатой геометрии, и механике (теория винтовых интегралов). Уже в советское время А.П. Котельников дал изящное изложение своих идей в статье «Теория векторов и комплексные числа» (опубликована посмертно в 1950 г.).

Неевклидовой механикой в России занимались также Н.Е. Жуковский и непосредственные продолжатели идей Котельникова Д.Н. Зейлигер (1864-1936) и П.А. Широков (1895-1944). Последний дал простую интерпретацию правила Котельникова сложения векторов в неевклидовых пространствах (1926).

 

Баллистика

Вопросами баллистики в России занимались еще Л. Эйлер и Д. Бернулли, а в 40-е годы – Остроградский. Крымская война 1853-1856 гг. поставила перед отечественной артиллерией ряд задач, важнейшие из которых обусловлены были переходом от сферических снарядов к продолговатым, иными слонами от гладкоствольных к нарезным. К решению этих задач была привлечены многие специалисты, среди них П.Л. Чебышев, который с 1855 г. в течение более десяти лет работал к артиллерийском отделении Военно-ученого комитета, преобразованном затем в Артиллерийский комитет. В частности, Чебышев разрабатывал математические методы баллистики, применяемые при вычислении таблиц стрельбы; с этим связаны были его некоторые исследования в теории интерполирования.

Работая в Артиллерийском комитете, Чебышев находился в тесном контакте с выдающимся баллистиком Н.В. Маиевским (1823-1892), воспитанником физико-математического отделения Московского университета, с 1858 г. – профессором баллистики в Михайловской артиллерийской академии.

Маиевский быстро занял ведущее положение в русской школе баллистиков. В 1858 г. он провел экспериментальные исследования по определению закона сопротивления воздуха движению сферических снарядов и получил эмпирическую формулу для определения сопротивления сферических снарядов, расчет по которой приводил к результатам, близким к действительным. Описание этих опытов и их результатов Маиевский опубликовал в 1858- 1859 гг.

Одновременно Маиевский занялся важным для артиллерии того времени вопросом проектирования нарезных орудий.

В 1865 г. Маиевский опубликовал в «Артиллерийском журнале» статью «О влиянии вращательного движения на полет продолговатых снарядов в воздухе», где впервые решил задачу о движении вращающихся продолговатых снарядов. Это было первое крупное исследование баллистических свойств нарезных орудий. Дальнейшее развитие исследования Маиевского по этому вопросу получили в его фундаментальном «Курсе внешней баллистики» (СПб., 1870). Отличительной особенностью этого труда является органическая связь теоретических исследований с практическим применением результатов исследований в артиллерии. «Курс внешней баллистики» получил миро­вую известность и через два года был издан во французском, переводе.

Работы Маиевского по теории вращательного движения продолговатого снаряда были продолжены его учеником Н.А. Забудским и многими другими учеными как в России, так и за рубежом.

Н.А. Забудский (1853-1917), воспитанник и затем преподаватель и профессор Михайловской артиллерийской академии, является автором ряда работ: «Об угловой скорости вращения продолговатого снаряда» (1891), «Влияние вращательного движения Земли на полет снарядов» (1894), «Исследование о движении продолговатого снаряда» (1908) и др. Он издал также весьма обстоятельный курс «Внешней баллистики» (СПб., 1895).

Большой вклад в баллистику внес А.Н. Крылов (1863-1945), о творческом пути которого будет сказано в следующем разделе. Здесь мы отметим только, что А.Н. Крылов провел аналогию между колебаниями оси вращающегося снаряда и движением мачты корабля при качке. Поэтому для рассмотрения движения вращающегося снаряда он ввел, вместо обычно применяемых так называемых эйлеровых углов, угол между осью снаряда и плоскостью стрельбы, а также угол между касательной к траектории и проекцией оси снаряда на плоскость стрельбы, так как эти углы остаются малыми во все время движения снаряда. Воспользовавшись уравнениями Лагранжа, Крылов пришел к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, которым много занимались в связи с другими задачами. Однако в отличие от прежних проблем в баллистике функции, входящие в это уравнение, заданы не аналитически, а графически или в виде таблиц. Поэтому Крылов разработал специальный приближенный метод интегрирования этого дифференциального уравнения. Результаты интегрирования с достаточной для практики точностью дают картину движения снаряда.

Работы А.Н. Крылова по динамике вращательного движения продолговатого снаряда имеют большое теоретическое и практическое значение. Теория устойчивости движения снаряда и кучности стрельбы в значительной степени основывается на них.

 

Теория корабля

Наряду с баллистикой, другой важной областью прикладной механики, в развитии которой сыграли весьма значительную роль ученые России, является теория корабля. В XVIII в. Петербургская академия паук опубликовала фундаментальную «Морскую науку» Эйлера. В рассматриваемый период теория корабля разрабатывалась главным образом в Военно-морской академии. Основная заслуга в научном Обосновании проектирования и строительства кораблей принадлежит А. Н. Крылову.

По окончании в 1884 г. Морского училища и Петербурге А.Н. Крылов некоторое время работал под руководством А.П. де Колонга (1839-1901) – выдающегося специалиста по компасному делу. В связи с этим первые теоретические работы и изобретения А.Н. Крылова относились к компасам. Вместе с тем уже в эти годы Крылова заинтересовали работы по кораблестроению, и в 1888 г. он был зачислен слушателем на кораблестроительное отделение Морской академии, которое закончил в 1890 г., после чего тачал вести в академии курсы теории корабля. Вскоре он разработал оригинальную теорию килевой качки, которую включил в спой курс теории корабля. А.Н. Крылов принимал активное участие в создании Петербургского политехнического института и в нем – кораблестроительного отделения. Он ввел в Институте созданный им курс «Вибрация судов», который впервые начал читать в Морской академии в 1901 г.

В конце 1900 г. Крылов начал заниматься проблемой непотопляемости судов и составил таблицы непотопляемости броненосца «Петропавловск». Позднее он распространил свои исследования на вопросы создания оптических прицелов для установки на военных кораблях (с 1904 г.), бронирования линейных кораблей (с 1905 г.), изучения меткости артиллерийской стрельбы во время качки корабля (с 1906 г.). Крылов изложил общую теорию гироскопов и их применения на практике. Он рассмотрел гироскопы с двумя и тремя степенями свободы, гироскопический маятник, гирокомпас, гироскопический стабилизатор корабля и дал описание некоторых гироскопических приборов, причем для гирокомпаса исследовал его курсовую и баллистическую девиации.

Интересы А.Н. Крылова не ограничивались «морской наукой», приложениями математики и механики в технике и разработкой соответствующих математических методов. Его интересовала также история науки и прежде всего труды классиков науки, в изучении которых он видел не только большую воспитательную ценность, но и непосредственное значение для современной науки. Как никто другой, быть может, Крылов умел найти в трудах великих геометров XVII-XVIII вв. забытые методы, приложимые к решению актуальных задач нашего времени. Это, в частности, относится к Ньютону, «Математические начала натуральной философии» которого Крылов опубликовал в русском переводе с большим числом глубоких комментариев (СПб., 1915).

В 1916 г. Крылов был избран действительным членом Академии наук. В это же время он был назначен на должность директора Главной физической обсерватории. В октябре 1917 г. Крылов был назначен директором физической лаборатории, впоследствии – Физического института Академии наук. Мы не касаемся здесь научной и организационной деятельности А.Н. Крылова в советский период, которую он неутомимо продолжал еще почти тридцать лет, до самой кончины, последовавшей 26 октября 1945 г.

 

Теория упругости и сопротивление материалов

Связь между прикладными задачами и теоретическими обобщениями в русской механике второй половины XIX – начале XX вв. получила также яркое выражение в работах по теории упругости и сопротивлению материалов. Развитие теории упругости в России тесно связано прежде всего с именем М.В. Остроградского, который опубликовал две статьи о малых колебаниях неограниченной изотропной упругой среды при данном начальном ее возмущении: «Об интегрировании уравнений в частных дифференциалах, относящихся к малым колебаниям упругой среды» (1831) и «Мемуар об интегрировании уравнений в частных дифференциалах, относящихся к малым колебаниям упругих тел» (1833).

После М.В. Остроградского большой вклад в дальнейшее развитие теории упругости и сопротивления материалов внесли его ученики Д.И. Журавский, Г.Е. Паукер, а также А.В. Гадолин, X.С. Головин, В.Л. Кирпичев, Ф.С. Ясинский и многие другие.

Д.И. Журавский (18211891) – воспитанник Института инженеров путей сообщения и сам инженер по специальности был основоположником русской школы мостостроения. В работе «О мостах раскосной системы Гау» (СПб., 1855-1856) он первый дал теорию расчета мостовых ферм и формулу для расчета балок на изгиб при наличии скалывающих напряжений в них.

Крупнейшие иностранные ученые-механики, в том числе Сен-Венан, отметили значение работ Журавского по теории изгиба. В ряде курсов вывод, полученный Журавским, называется теоремой Журавского. Позднее, во второй половине XIX – начале XX в. среди русских мостостроителей особо выделялись профессора Н.А. Белелюбский (1845-1922) и Л.Д. Проскуряков (1858-1926). Белелюбский построил первую в России лабораторию по испытанию материалов и провел большие работы по определению механических характеристик цемента и бетона. Проскуряков первым в России начал применять фермы с треугольной решеткой.

Профессор Инженерной академии и почетный член Петербургской академии наук Г.Е. Паукер (1822-1889), создатель первоклассных военных и портовых сооружений и большого числа гражданских зданий, автор первого в России курса «Строительной механики» (СПб., 1891), произвел ряд исследований по расчету сводов и глубины залегания мостовых опор. В 1849 г. он опубликовал большую работу «О проверке устойчивости цилиндрических сводов».

С именем профессора Артиллерийской академии академика Алексея Вильгельмовича Гадолина (1828-1892) связаны многочисленные усовершенствования в артиллерии. В работе «О сопротивлении стен орудия давлению пороховых газов при выстреле» (1861) он указал на необходимость руководствоваться при проектировании орудийных стволов началами теории упругости, в частности, использовать для этого результаты Г. Ламе (1795-1870) о равновесии полого цилиндра под действием равномерного внешнего и внутреннего давления. Формула Ламе для определения сопротивления стон цилиндров, подвергающихся внутреннему давлению, как показал Гадолин, давала величину наибольшего значения истинного давления; для определения нижней границы давления в работе Гадолина была дана особая формула. В другом исследовании Гадолина - «Теория орудий, скрепленных обручами» (1801) – предложен метод расчета упруго-прочного сопротивления орудийных стволов при скреплении их стальными кольцами.

Разработкой прикладных вопросов теории упругости занимался военный инженер X.С. Головин (1844-1904). В работе «Одна из задач статики упругого тела» (1880) он впервые дал расчет арки методами теории упругости. В этой работе Головин рассматривает плоскую задачу об изгибе бруса, на внешнем радиусе которого приложены силы, распределенные по определенному закону, а на внутреннем радиусе внешние силы отсутствуют.

Большие заслуги в развитии механики и сопротивления материалов имеет В.Л. Кирпичев (1845-1913), обучавшийся в Михайловской артиллерийской академии и в ней же начавший в 1868 г. преподавательскую деятельность.

В 1885 г. он был поставлен во главе; вновь учрежденного Харьковского технологического института, а в 1898 г. – Киевского политехнического института; в организации этих институтов он принял активное участие. В Петербургском политехническом институте, где он преподавал с 1903 г., Кирпичев создал лабораторию прикладной механики, где под его руководством проводились научные исследования, в частности, изучение деформаций оптическим методом. Кирпичев написал ряд учебников, среди них «Сопротивление материалов» (СПб., 1884), «Основания графической статики» (СПб., 1902) и широко известные «Беседы о механике» (СПб., 1907).

Значительный вклад в развитие теории упругости, сопротивления материалов, статики сооружений внес Ф.С. Ясинский (1856-1899). Большая часть научных исследований Ясинского связана с его инженерной деятельностью. В 1893 г. он опубликовал большую работу «Опыт развития теории продольного изгиба». Он разрабатывал также теорию устойчивости упругих стержней.

В начале своей научной деятельности теорией упругости занимался В.А. Стеклов (1864-1926), имя которого нам еще встретится далее.

Вопросы устойчивости упругих систем приобрели в XX в. огромное значение для различных областей техники, поэтому многие русские ученые занимались решением связанных с этой проблемой задач. Важные результаты были получены С.П. Тимошенко (род. 1878), который до 1919 г. преподавал в Петербургском и Киевском политехнических институтах. До отъезда из России (в 1920 г.) Тимошенко написал много работ по теории устойчивости стержней, пластин, оболочек. За исследование «Об устойчивости упругих систем» (1910) Тимошенко был удостоен премии имени Д.И. Журавского. В этой, а также некоторых других работах Тимошенко развил прием исследования, сходный с приближенным методом Рэлея – Ритца для определения частот колебаний в упругих системах. Помимо большого числа научных исследований, Тимошенко опубликовал замечательные руководства по сопротивлению материалов (1911) и теории упругости (1914), которыми до сих пор пользуются в высших учебных заведениях.

Оригинальный приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости был разработан профессором Петербургского политехнического института и Морской академии И.Г. Бубновым (1872-1919). Впервые этот метод Бубнов описал в 1911 г. в отзыве на только что упомянутое сочинение Тимошенко, представленное на премию имени Журавского. Затем Бубнов использовал свой метод для решения задач на устойчивость пластин, важных в расчетах обшивки корабельного корпуса. Такие задачи разобраны в известном курсе Бубнова «Строительная механика корабля» (СПб., 1912). Бубнову, как и А.Н. Крылову, принадлежат очень большие заслуги в теории и практике кораблестроения. В частности, он явился в России пионером строительства подводных лодок, первая из которых была спущена на воду в 1903 г.

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б.Г. Галеркина (1871-1945), прежде всего в статье «Стержни и пластинки» (1915). Метод Бубнова – Галеркина, представляющий собой широкое обобщение метода Рэлея – Ритца, получил большое распространение и применяется теперь также к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики.

В связи с потребностями кораблестроения теорией упругости занимался и А.Н. Крылов. В частности, ему принадлежит (1905) подробное исследование вынужденных колебаний стержней постоянного сечения с помощью метода, который Пуассон применил в случае свободных колебаний.

Целый ряд задач теории упругости – по устойчивости стержней и пластин, вибрациям стержней и дисков и пр. – решил в 1911-1913 гг. профессор Горного и металлургического института в Екатеринославе (ныне Днепро­петровск) А.Н. Дынник (1876-1950).

К 1914 г. относится начало работ по теории упругости Л.С. Лейбензона – прежде всего по устойчивости упругого равновесия длинных сжатых стержней с первоначальным кручением около прямолинейной оси стержня, а затем по устойчивости сферической и цилиндри­ческой оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В.Г. Шухова составлены из закрученных прямолинейных образующих.

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С.А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи «Деформация в двух измерениях» и «Давление жесткого штампа на упругое основание», которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функций комплексного переменного. Аналогичный метод решения плоской задачи теории упругости был разработан Г.В. Колосовым, который в 1909 г. опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где установлены формулы, выражающие компоненты тензора напряжений и вектора смещения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой. В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым напряжениям в плоской задаче теории упругости Н.И. Мусхелишвили. Деятельность Мусхелишвили, как и других названных здесь ученых, развернулась во всей широте уже после Октябрьской революции.

 

Фигуры равновесия вращающейся жидкости

Вкратце остановимся на проблеме фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной вклад внес А.М. Ляпунов.

Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимаемой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии.

В XVIII-XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.

Ляпунов сначала занялся исследованием; вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращающейся жидкости; этой проблеме посвящена была его магистерская диссертация (1884). В этой работе он ввел определенно понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа – Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконеч­ное число степеней свободы. Далее он установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышав некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частности, он дал полный разбор вопроса об устойчивости некоторых ранее известных фигур равновесия, так называемых эллипсоидов Маклорена и Якоби.

В 1901 г. Ляпунов, преодолев огромные математические трудности и разработав ряд аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости взаимно притягиваются по закону Ньютона.

Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований па плотность жидкости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, существует фигура равновесия вращающейся массы неоднородной жидкости, находящейся в ноле своего собственного тяготения.

Эти работы вызнали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845-1912) но вопросу о фигурах равновесия, которые Л. Пуанкаре назвал грушевидными. Дарвин отстаивал устойчивость этих фигур и на этом построил гипотезу развития двойных звезд. Ляпунов опроверг мнение Дарвина и опубликовал ряд замечательных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая полемика закончилась победой русского ученого. Еще через несколько лет, в 1917 г., Дж. Джине обнаружил ошибку в вычислениях Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур.

Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых по этой проблеме, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.

 

Гидродинамика и гидравлика

Важнейшим результатом развития механико-математической мысли в России в конце XIX и в начале XX в. было появление классических работ по гидродинамике и аэродинамике, принадлежащих Н.Е. Жуковскому.

Н.Е. Жуковский (1847-1921), сын инженера, окончил физико-математический факультет Московского университета в 1868 г. С 1872 г. он преподавал в Московском техническом училище сначала математику, а затем – с 1874 г. по 1919 г. – механику. В 1886 г. Жуковский возглавил кафедру механики в Московском университете и в течение многих лет руководил Московским математическим обществом, с 1903 г. как его вице-президент и с 1905 г. – как президент.

Преподавательская работа в двух крупнейших учебных заведениях России отражала в некоторой мере основное направление научной деятельности Жуковского, его стремление увязать развитие научных и технических идей и на основе общих теоретических построений получать решения задач, выдвигаемых практикой.

Жуковского особенно привлекал своей наглядностью геометрический метод изложения механики. В своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тела» (1876) он наряду с аналитическим методом широко использует геометрический метод исследования, что дало ему возможность представить ясную картину законов движения частицы жидкости в потоке. Эта работа открыла ряд его исследований в области гидродинамики.

Уже в первые годы научной деятельности Н.Е. Жуковский исследует широкий круг вопросов в области общей механики, механики твердого тела, гидродинамики, астрономии. Он изучает вопрос об ударе твердых тел (1878-1885), о гироскопических приборах и маятниках (1881-1895), дает геометрическую интерпретацию общего случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки (1892). Особое место среди его работ по общей механике занимает докторская диссертация «О прочности движения» (1882), в которой он впервые ввел понятие о мере устойчивости движения и разработал метод оценки устойчивости движения.

В 1885 г. он опубликовал капитальный труд «О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью». Результаты, полученные Жуковским, имели значительно более общий характер, чем полученные ранее Дж. Стоксом (1819-1903), Г. Гельмгольцем (1821-1894) и К. Нейманом (1832-1925). Работа Жуковского имеет значение не только для гидромеханики – методы, разработанные им, дают возможность решать задачи в области астрономии (исследование законов вращения планет), баллистики (теория движения снарядов с жидким наполнением) и т. д.

В 80-90-е годы появились работы Жуковского о движении тела в жидкости – проблема, которой до него занимались Пуассон, Стоке, Клебш, Томсон и Тэт, Кирхгоф и др. В работе «О парадоксе Дюбуа» (1891) Жуковский дал физическое объяснение этому парадоксу. С точки зрения общих законов механики безразлично, движется ли тело в неподвижной жидкости, или тело неподвижно, а движется жидкость. Тем не менее Р. Дюбуа (1818-1896) в 1879 г. экспериментально показал, что силы, действующие на тело в том и другом случаях, различны. Оказалось, что сопротивление неподвижной пластинки в жидкости, движущейся с некоторой скоростью, будет больше сопротивления, испытываемого пластинкой, движущейся с той же скоростью в неподвижной жидкости. Это расхождение Жуковский объяснил тем, что при движении реальной жидкости всегда возникают завихрения у стенок, на свободной поверхности и т. д. В подтверждение своего объяснения Жуковский сконструировал прибор, с помощью которого показал, что при отсутствии завихрений в жидкости давления в обоих случаях будут одинаковы. Заметим, что проблему движения твердого тела в жидкости в те же годы и позднее изучал также В. А. Стеклов – магистерская диссертация «О движении твердого тела в жидкости» (1894), работа «О движении твердого тела в бесконечной жидкости» (1902) и др.

Жуковский выполнил крупные исследования и в области гидравлики, связанные с течением грунтовых вод; непосредственным поводом здесь послужили задачи, возникшие при реконструкции и эксплуатации московского водопровода. Среди работ Жуковского по гидравлике особенно выделяется исследование «О гидравлическом ударе в водопроводных трубах» (1898), в котором он дал объяснение нередко случавшихся аварий магистральных труб водопровода. Жуковский установил, что причиной аварий является гидравлический удар, т. е. явление резкого повышения давления в трубах при быстром закрытии задвижки в трубе. На основании многих опытов он выявил физическую сущность явления гидравлического удара и дал формулы для определения времени, необходимого для безопасного закрытия водопроводных труб (без появления гидравлического удара), а также способ предохранения водопровода от повреждений вследствие гидравлического удара. Разработанная им теория и его формула до настоящего времени являются основой решения задач, связанных с явлениями гидравлического удара.

Несколько работ Жуковского посвящено изучению речной гидравлики: процессов формирования речного русла (1914) и вопросу о выборе на реке мест забора и выпуска воды для охлаждения машин больших силовых станций (1915).

Большие успехи были достигнуты еще в одной области гидродинамики, возникшей в связи с новыми потребностями промышленного производства. Мы имеем в виду гидродинамическую теорию смазки, разработанную Н.П. Петровым (1836-1920). Работал Петров главным образом в области железнодорожного транспорта, занимая ответственные должности вплоть до заместителя министра путей сообщения. Он был также профессором Инженерной академии и Петербургского политехнического института, где его учителями были Вышнеградский и Остроградский.

Определяющими в творчество Петрова были задачи техники, которые он подвергал глубокой научной разработке. Таковы, например, его исследования, посвященные прочности рельсов, давлению колес на них, устойчивости железнодорожных путей, тормозным системам и пр. Таковы были и его исследования по гидродинамической теории смазки, вызванные переходом промышленности от органических смазывающих веществ к минеральным, которые начала производить возникшая тогда в России нефтяная промышленность. Минеральные вещества были значительно дешевле, чем органические, однако первоначально из-за неумелого применения использование их давало плохие результаты.

Первая печатная работа Петрова по гидродинамической теории смазки «Трение в машинах и влияние не него смазывающей жидкости» (1883) была удостоена Ломоносовской премии Академии наук. За ней последовала работа «О трении хорошо смазанных твердых тел и о главных результатах опытов над внутренним и внешним трением некоторых смазывающих жидкостей» (1884). Для проверки предложенной теории Петров произвел разнообразные опыты.

Основные законы сухого трения были установлены Ш. Кулоном (1736-1806) еще в конце XVIII в., но действие смазывающих веществ оставалось непонятным, несмотря на то, что предпринималось много попыток разрешить этот вопрос экспериментально. Оказалось, что при различных условиях смазки сила трения могла сильно изменяться. Величина же силы трения при наличии смазки зависит от закона движения смазывающей вязкой жидкости (например, машинного масла). Поскольку в 80-х годах XIX в. гидродинамика вязкой жидкости была разработана очень слабо, причина возникновения трения и обусловливающие его величину физико-механические факторы оставались неясными. Именно Петров сформулировал законы изучаемых явлений, могущие лечь в основу расчета элементарных сил трения.

Почти одновременно с Петровым в 1884-1886 гг. и независимо от него основы гидродинамической теории смазки разработал также английский ученый О. Рейнольдс (1842-1912). В 1900 г. Петров в работе «Трение в машинах» значительно продвинул исследования в этой области.

Н.Е. Жуковский также занимался изучением теории смазки и посвятил ей несколько работ. В статье «О трении смазочного слоя между шипом и подшипником» (1906), написанной совместно с Чаплыгиным, дано точное решение задачи о движении смазочного слоя. Эта работа имеет большое практическое значение: она вызвала ряд теоретических и экспериментальных исследований

 

Теоретическая и прикладная аэродинамика

Особое место в исследованиях Жуковского занимает разработка теоретических основ авиации. Вопросами полета на аппаратах тяжелее воздуха Жуковский заинтересовался еще в конце 80-х годов. В эти годы одной из основных проблем при решении задачи полета на аппаратах тяжелее воздуха являлась проблема подъемной силы. Исследователи ощупью, главным образом на основе эксперимента, стремились в то время решить задачу о подъемной силе крыла. Было получено большое число экспериментальных данных, годных для оценки величины подъемной силы только в частных случаях. Попытки оценить величину подъемной силы на основе теоретических предпосылок и, в частности, на основе господствовавшей в то время теории струйного течения приводили к результатам, значительно отличающимся от опытных.

Жуковский считал необходимым первоначально установить физическую картину появления подъемной силы. В работе «К теории летания» (1890) он высказал мысль, что подъемная сила может явиться результатом некоторого вихревого движения, обусловленного вязкостью жидкости.

В 1890-1891 гг. он поставил интересные опыты с пластинкой, вращающейся в потоке воздуха, которые предвосхитили его идею о присоединенных вихрях, положенную им в основу создания теории подъемной силы. В эти годы Жуковский изучает целый комплекс вопросов, связанных с решением задачи полета на аппаратах тяжелее воздуха. Уже в то время он обратил внимание на необходимость изучения вопросов устойчивости самолета. В статье «О парении птиц» (1891) он впервые рассмотрел задачу о динамике полета на аппаратах тяжелее воздуха. Жуковский теоретически обосновал возможность осуществления сложных движений самолета в воздухе, в частности, «мертвой петли». Впервые «мертвая петля» была выполнена в 1913 г. русским военным летчиком П.Н. Нестеровым (1887-1914). В той же статье Жуковский исследовал также вопрос о центре давления аэродинамических сил и показал, что положение центра давления изменяется с изменением угла атаки.

В 1890-1891 гг. Жуковский ставит эксперименты с целью изучить закон изменения положения центра давления крыла с простейшим профилем – плоской пластинки. Уже тогда он обратил внимание на важность исследования вопросов устойчивости посредством испытаний планеров и змеев.

Жуковский изучает также вопрос о тяге винта, рассматривает вопрос о возможности создания летательных аппаратов тяжелее воздуха с машущими крыльями, о целесообразности применения многовинтовых геликоптеров, о прочности гребных винтов, определяет условия наиболее экономичного полета самолета и в 1897 г. дает метод вычисления наивыгоднейшего угла атаки крыла.

Жуковский придавал большое значение постановке опытов в аэродинамических трубах. В его университетской лаборатории в 1902 г., а затем в 1905-1906 гг. были построены аэродинамические трубы. В 1904 г. по идее Жуковского был основан Аэродинамический институт в Кутано, оборудованный новейшими по тому времени приборами.

В работах «О присоединенных вихрях»  (1906, опубликовано в 1937 г.) и «Падение в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси» (1906) Жуковский установил, что подъемная сила возникает в результате обтекания потоком неподвижного присоединенного вихря или системы вихрей, которыми можно заменить тело, находящееся в потоке жидкости. Основываясь на этом, он доказал знаменитую теорему, позволяющую вычислить величину подъемной силы. По формуле Жуковского, величина подъемной силы равняется произведению плотности воздуха, циркуляции скорости потока вокруг обтекаемого тела и скорости движения тела. Правильность теоремы была подтверждена на основе экспериментов с вращающимися в потоке воздуха продолговатыми пластинками, поставленных по идее Жуковского в 1905-1906 гг. в Аэродинамической лаборатории Кучинского института.

Исследования Н.Е. Жуковского о подъемной силе составляют основу современной аэродинамики, его теорема о подъемной силе имеет фундаментальное значение для теории крыла.

В области аэродинамики больших скоростей Жуковский написал ряд статей: «Аналогия между движением тяжелой жидкости в узком канале и движением газа в трубе с большой скоростью» (1912); «О движении воды в открытом канале и о движении газов в трубах» (1917); «Движение волны со скоростью, большей скорости звука» (1919) и др. В последней работе Жуковский изложил теорию распространения плоской и сферической волн при больших скоростях и показал возможность применения ее к определению сопротивления снарядов.

Жуковский создал вихревую теорию гребного винта. На основе этой теории были построены винты Жуковского - «винты НЕЖ». Разработка теории винта является одной из широкого круга задач в области аэродинамики и авиации, которой занимался Жуковский. В поле зрения Жуковского были все основные вопросы, выдвигавшиеся быстро развивающейся авиацией, а также вопросы, перспективность развития которых он предвидел.

Жуковский исследовал также вопросы прочности самолета. В 1918 г. появилась его большая работа «Исследование устойчивости конструкции аэропланов».

Жуковский воспитал поколение ученых и инженеров в различных областях механики. Он был учителем С.А. Чаплыгина, А.И. Некрасова, Л.С. Лейбензона, А.Н. Туполева – здесь названы только наиболее известные имена. Особенно велики заслуги Жуковского в создании авиационных специалистов. В 1909-1910 г. в Московском техническом училище и в 1910-1911 г. в Московском университете Жуковский ввел курс «Теоретические основы воздухоплавания».

Если говорить о творчестве Н.Е. Жуковского во второй половине 90-х годов и в 900-е годы, то нельзя его отделить от деятельности С.А. Чаплыгина (1869-1942). Под влиянием работ Жуковского по гидродинамике Чаплыгин, еще будучи студентом Московского университета, написал статью «О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости». В 1890 г. Чаплыгин окончил университет, а в 1894 г. начал в нем преподавание. Он преподавал также механику в 1896-1906 гг. в Московском техническом училище, а с 1901 г. – на Московских высших женских курсах, которыми заведовал в период с 1905 по 1918 г. Первые научные работы С.А. Чаплыгина были посвящены гидромеханике. В 1893 г. он написал большой мемуар «О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости». В 1897 г. появился второй мемуар под тем же названием – магистерская диссертация Чаплыгина. В этих работах Чаплыгина сказалось влияние геометрического направления в решении механических задач, характерного для работ Жуковского, в отличие, например, от аналитических по методу исследования работ Стеклова.

Центральное место среди работ Чаплыгина занимают его исследования по механике жидкости и газа. Уже в 90-е годы Чаплыгин проявляет большой интерес к исследованию струйных течений. В 1899 г. Чаплыгин, примыкая к Жуковскому, но несколько иным способом, решил задачу о струйном обтекании пластинки потоком несжимаемой жидкости («К вопросу о струях в несжимаемой жидкости»). Особенно привлекала Чаплыгина задача о струйном обтекании тел газом, которая, как он писал, была «едва затронута».

В 1902 г. Чаплыгин опубликовал классическую работу «О газовых струях», в которой разработал метод, позволяющий во многих случаях найти решение ранее поставленной задачи о прерывном течении сжимаемого газа. Работа Чаплыгина «О газовых струях» явилась его докторской диссертацией. В то время она не получила широкого признания. Одной из причин этого было то обстоятельство, что при скоростях, которые тогда использовались в авиации, не было необходимости в учете влияния сжимаемости воздуха, а в артиллерии наибольший интерес представляли исследования при скоростях, больших скорости звука. Все значение этой работы для задач авиации раскрылось в начале 50-х годов XX в., когда скорости самолетов возросли настолько, что вопрос об учете влияния сжимаемости воздуха стал важнейшей проблемой.

В 1910 г. С.А. Чаплыгин начинает цикл работ по теории крыла. Результаты исследования аэродинамических сил, действующих на крыло самолета, Чаплыгин изложил в работе «О давлении плоско-параллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана)» (1910), а также в докладе «Результаты теоретических исследований о движении аэропланов», сделанном в ноябре 1910 г. на заседании Московского общества воздухоплавания и изданном в 1911 г. Применение теории струй позволило оценить величину сил, действующих на простейшее крыло – пластинку. Чаплыгин ссылается на соответствующие работы Релея, Жуковского и на свою работу «О газовых струях», в которой он дал формулы для определения распределения скоростей и указал путь для вычисления давления в случае обтекания пластинки со срывом струй. Однако величина силы, действующей на пластинку, определенная по формулам теории струй, была значительно меньше опытных данных и далеко не достаточна, чтобы объяснить явление полета.

Чаплыгин исследует вопрос о подъемной силе, основываясь на том, что появление циркуляции и подъемной силы связано с многозначностью потенциала скоростей, причем рассматривает циркуляцию скорости вокруг бесконечно удаленной точки.

Чаплыгин также впервые изучил вопрос о величине продольного момента, действующего на крыло, считая этот вопрос существенным элементом теории крыла. На основе исследования общей формулы для момента подъемной силы он установил простую зависимость продольного момента от угла атаки, которая лишь через несколько лет была получена экспериментально и явилась впоследствии одной из основных аэродинамических характеристик крыла. Он показал, что коэффициент продольного момента при больших углах атаки положителен и уменьшается с уменьшением угла атаки, имея отрицательную величину при угле атаки, соответствующем нулевой подъемной силе. При отрицательных углах атаки момент, оставаясь отрицательным, увеличивается по абсолютной величине при увеличении абсолютного значения угла атаки крыла.

Чаплыгин указывал на наличие значительного опрокидывающего момента, действующего на самолет, и предупреждал об опасности быстрого изменения угла атаки. В своих работах Чаплыгин вывел интересное свойство изогнутых пластинок, показав, что при нулевом угле атаки подъемная сила пластинок зависит лишь от стрелки прогиба и не зависит от хорды пластинки.

Решив задачу о крыле бесконечного размаха, Чаплыгин отмечал необходимость и важность решения задачи о крыле конечного размаха и при этом полагал, что крыло конечного размаха может быть моделировано вихревой схемой в виде П-образного вихря.

Основываясь на своей работе «О газовых струях», Чаплыгин показал, что результаты его исследований крыла бесконечного размаха, выполненные при условии обтекания тел несжимаемым потоком, могут быть применены к определению аэродинамических характеристик крыльев самолетов того времени. Вместе с тем он отмечал, что при некоторых скоростях полета и углах атаки могут возникнуть местные звуковые скорости, когда может наступать новое явление – течение с разрывом сплошности, и тогда полученные результаты не могут быть применимы.

Идеи С.А. Чаплыгина нашли свое дальнейшее развитие в многочисленных работах советских в зарубежных ученых.

Деятельность Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина продолжалась и в советское время.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов