Лекции по кинематике

 

 

Главная

Лекция 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Степени свободы твердого тела.

2. Поступательное и вращательное движения твердого тела.

3. Поступательное движение.

4. Движение тела по окружности.

5. Вращательное движение твердого тела вокруг оси.

6. Угловая скорость и угловое ускорение.

7. Равномерное и равнопеременное вращения.

8. Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

9. Вращение тела вокруг неподвижной точки.

Изучение данных вопросов необходимо в дальнейшем для динамики движения материальной точки, динамики относительного движения точки, динамики вращательного движения точки, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

 

 

Степени свободы твердого тела

Числом степеней свободы твердого тела называется число независимых параметров, которые однозначно определяют положение тела в пространстве относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы.

 

image136

Рис.1

 

Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис.1,а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.1,б), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в), то число степеней свободы становится равным трем – к  x  и  φ добавляется угол поворота рамки ϕ.

Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z. Координаты точки могут определяться также в цилиндрической  (r, 𝜑, z)  и   сферической  (r, 𝜑, 𝜙)  системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.

Материальная точка на  плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат xОy, то координаты  x и y  определяют положение точки на  плоскости,  а координата  z  тождественно равна нулю.

Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой.

Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.

Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис.2). Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь.

image138

Рис.2

 

Уравнение l2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют (23-1=5)  пять степеней свободы.

Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек  равно  (33-3=6)  шести.

Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не  лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть  равно  шести.

 

Поступательное и вращательное движения твердого тела.

 

Поступательное движение

В кинематике, как и в статистике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые.

Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.

Кинематика твердого тела, также как и динамика  твердого тела, является одним из  наиболее трудных разделов курса теоретической механики.

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Существует пять видов движения твердого тела:

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоское движение;

4) вращение вокруг неподвижной точки;

5) свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела.

Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­гут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.

1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут пря­мыми линиями.

2. Спарник АВ (рис.3) при вращении кривошипов O1A и O2B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.

        

Рис.3      

 

Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках (рис.4) относительно Земли.

image022

Рис.4

 

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и  ускорения.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по­ступательное движение относительно системы отсчета Oxyz. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами   и  (рис.5).

Рис.5

Проведем вектор , соединяющий эти точки.

Тогда

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (AB=const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор . Следова­тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени. Получим

Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Про­изводные же от векторов   и  по времени дают скорости точек А и В. В результате находим, что

т.е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди­наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу­ченного равенства производные по времени:

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре­ния в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость  называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение  - ускорением поступательного движения тела. Векторы   и   можно изображать приложенными в любой точке тела.

Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины <<скорость тела>>  или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.

 

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором , проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 6).

image26

Рис.6

 

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.

Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.

Скорость  движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω=const; v=const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора  и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t0=0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t0 равен ∆φ=φ-φ0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

φ=φ0+ωt

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.

Учитывая, что , получаем:

— формула связи между линейнойи угловой скоростью.

Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:


            где N – число оборотов, совершенных телом за время
Δt.

За время ∆t тело проходит путь l=2πR. Следовательно,

Величина ϑ, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения:

Следовательно,

.

 

Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение)

При равномерном вращении по окружности модуль скорости движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение - движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

image27

Рис.7

 

По определению среднего ускорения . Треугольники ОАВ и ВСD — равнобедренные (рис. 7). Углы при вершинах — одинаковые (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Отсюда следует, что ∆ОАВ подобен ΔВСD.

Из подобия

Тогда

Мгновенное ускорение

β — угол между  и  —внешний по отношению к ΔВСD:

При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно,  направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:

Модуль , направление  непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным.

image28

Рис.8

 

Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.9).

Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения. Величина, обратная периоду, — частота вращения.

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплос­кость  - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и  вращающую­ся вместе с ним (рис. 9).

Рис.9

 

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ  будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е.                      

φ=f(t).                                               

Уравнение  выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени t=t1-t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ1-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при t0 найдем, что

 или ω=.

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.

Размерность угловой скорости 1 (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.10

 

Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:

При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:

Вектор  направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω1-ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при t0 найдем,

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2  (с-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом

Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).

 

Равномерное и равнопеременное вращения

Если угловая скорость тела остается во все время движения по­стоянной (ω=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы   имеем dφ=ωdt.

Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, и беря интегралы слева от φ0 до φ, а справа от 0 до t, получим окончательно

φ=φ0+ωt.

Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда φ0=0

φ=ωt  и  ω=φ/t.

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и ω 1/с. При одном обороте тело повернется на угол 2π, а при n оборотах на 2πn; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что

ω=πn/300,1n.

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол φ=φ0, а угловая скорость ω=ω0 (ω0 - начальная угловая скорость).

Из формулы  имеем dω=εdt. Интегрируя левую часть в пределах от ω0 до ω, а правую - в пределах от 0 до t, найдем ω=ω0+εt,

dφ/dt=ω0+εt  или dφ=ω0dt+εtdt.

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения

Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.

Скорости и ускорения точек вращающегося тела.

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т

Скорость   в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела  имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

 

      

Рис.11                                    Рис. 12

 

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения aτ и an, получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения aτ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая an всегда направлена по радиусу МС  к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда зна­чения aτ  и an, получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

 

                            

Рис.13                                                            Рис.14

 

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор  точки М (рис. 13). Тогда h=rsinα и по формуле

Таким образом, модуль векторного произведения  равен модулю скорости точки М. Направления векторов  и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­сти их одинаковы. Следовательно,  - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

 

Пример 1. Маятник OM качается в вертикальной плоскости так, что φ=0,5sin2t. Длина OM=l=1м. (рис. 15).

2-4

Рис.15

 

Решение. Маятник вращается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость  угловое ускорение  

Например, при t=1 с,  φ=0,5sin2=0,45 рад26°;   ω=cos2=-0,42 c-1 (вращение по часовой стрелке);  ε=-2sin2=-1,82 c-2 (угловое  уско­рение направлено также по часовой стрелке). Вращение  в  этом  положении ускоренное.

Скорость  точки M:  vM=lω=10,42=0,42 мс-1 (определя­ется  модуль скорости). Направлен вектор скорости  соответственно    направлению угловой скорости    в сторону вращения.

.

 
Нормальное ускорение an=lω2=10,422=0,176 мс-2, касательное ускорение aτ=lε=1∙1,82=1,82 мс-2. (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор  вниз, как указывает угловое ускорение).

Величина полного ускорения точки  

 

Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение  называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Рис. 9.5.

 

Рис. 9.5.

 
Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: Ψ (пси), 𝜃(тета), φ (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси x,y,z. На­чало которых берётся в неподвижной точке O тела (рис. 16). Вторая сис­тема, оси x1, y1, z1, связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.16

 

Рис. 9.4.

 

Рис. 9.5.

 
Когда  углы Эйлера  равны  нулю, под­вижные  оси  совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала  подвижные  оси,  а значит и тело, поворачи­ваем на угол Ψ вокруг оси z. При этом  оси  x1 и y1 отойдут от осей x и y в гори­зон­тальной плоскости и ось x1 займёт по­ложение OK (рис.16). Затем тело вращаем вокруг но­вого  поло­жения  оси x1 (прямой OK) на угол θ. Ось z1 отойдёт от оси z на этот угол θ, а ось y1 приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси z1 на угол φ. Ось x1 отойдёт от положения OK в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси z1. Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия  пересечения  неподвижной  плоскости xOy и  подвижной x1Oy1, прямая OK, называ­ется линией узлов. Угол Ψ называется углом прецессии, угол θуглом  нутации,  угол φуглом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам Ψ=Ψ(t);  θ=θ(t);  φ=φ(t) которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.17). Ось волчка z1 описывает конус вокруг неподвижной оси z. Это вращение определяется углом Ψ (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации θ.

А вращение  волчка  вокруг  своей  оси z1,  определяемое углом φ – собственное вращение.

Рис.17

 

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке O (рис.18).

Рис.18

 

По­кажем у тела какие-нибудь две точки A и B, расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение.  Точки, а  значит и дуга, займут по­ложение A1 и B1. Соединим точки A и A1, B и B1 дугами большого радиуса AA1 и BB1. Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и  най­дём их точку пересечения P1. Соединим эту точку P1 с точками A, B, A1, B1. Получим два сфе­рических треугольника ABP1 и A1B1P1, расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (AB=A1B1, а AP1=A1P1 и BP1=B1P1  – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину P1, то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой OP1.

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку O. Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Рис. 9.7.

 
Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время t такого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при t0 можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку O, вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью . Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось P называют мгновенной осью вращения, а угло­вую скорость  мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

Рис. 9.8.

 
 

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время t движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси OP1 с некоторой угловой скоростью  (рис.19).

Рис.19

 

Тогда скорость точки M:  В пределе, при t0, угловая скорость  будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения P, а скорость точки  - к истинному значению:

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения P. Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси P. Величина скорости v=hω  (рис.19).

Рис. 9.9.

 
Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения P. Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме O, скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось P из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

 

Пример 2. Водило OA=a, вращаясь  вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью ω0, застав­ляет диск радиуса R кататься по горизон­тальной  плоскости (рис.20).

Рис.20

 

Рис. 9.10.

 
Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке O, то движение диска можно назвать  вращением вокруг этой неподвижной точки O.

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения P проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости  будет направлен по этой оси.

Точка A вместе с водилом OA вращается вокруг оси z. Поэтому её ско­рость vA=aω0 (рис.20). Эта скорость определяет направление вращения  диска вокруг оси P и направление вектора . Величина угловой ско­рости   (h – рас­стояние от A до оси P). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси P. Так, например, скорость  точки B: vB=2hω.  Так как h=Rcosα и ,  , то   и  vB=2aω0.

 

4) Ускорение точек тела.

Сначала  определим  угловое  ускорение  тела . При  движении тела  вектор  угловой  скорости  изменяется и по  величине, и по направлению. Точка, распо­ложен­ная  на его конце будет двигаться по  некоторой  траектории  со  скоростью   (рис.21).

Рис.21

 

Если рас­сматривать вектор  как ра­диус-вектор этой точки, то  .

Итак. Угловое  ускорение  тела  можно  опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки M тела

есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его a1=εrsinα1=ε∙h1, где h1 – расстояние от точки M до вектора . Направлен он перпендику­лярно  и . Но таким  же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую   состав­ляющую  ускорения определяют   как  ка­сательное ускорение,  предпола­гая,  что  тело  вращается  вокруг оси, совпадающей с векто­ром . И обо­значается  этот вектор ускорения так

.

Второй вектор  Модуль его a2=ωvcosα2, но α2=90°, т.к. векторы  и  перпендикулярны друг другу.

Рис.22

 

Значит a2=ωv=ωh2ω=h2ω2,  где h2 – расстояние от точки М до мгновенной оси P, до вектора .

Направлен вектор  перпендикулярно  и , т.е. так же как вектор нормального  ускорения  при вращении  вокруг оси P, или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы  и   не совпадают и угол между  и  не равен 90°,  векторы  не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

 

Пример 3. Продолжим  исследование движения диска (пример 2). Модуль  угловой  скорости   Значит  вектор  вместе с осью P,  которая  всегда  проходит  через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси z и описывает конус. Точка М на конце вектора  движется по окружности радиуса r=ω∙cosα с угловой скоро­стью ω0. Поэтому  угловое  ускорение  диска  

Откладывается вектор   из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу OA, параллельно оси х (рис. 23).

Рис.23

 

Найдём ускорение точки В.

Ускорение . Направлен вектор  перпендикулярно OB и расположен в плоскости zO1y.

Ускорение  Вектор  направлен по BC, перпендикулярно мгновенной оси P. Модуль вектора  найдём с помощью проекций на оси x, y, z:

Значит

 

Пример 4. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Дано: ω=20 рад/с , N=10 об.

Найти: ε-?

Решение. При равномерном вращательном движении имеют место следующие два уравнения: φ=φо+ωоt+εt2/2 и ω= ωо+εt. По условию ωо=0, тогда эти уравнения примут вид: φ=εt2/2  и ω = εt. Решая их и учитывая, что φ=2πN, получим окончательно ε=ω2/4πN=3,2 рад/с.

 

Пример 5. Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14 рад/с2 (рис.24). Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение и 6) угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Дано:  R= 0,1 м, ε=3,14 рад/с2

Найти: ω-? v -? aτ -?  a -?

Рис.24

 

Решение. 1) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость ω = ωо+εt. По условию  ωо=0, тогда ω = εt, т.е. ω растет пропорционально времени. К концу первой секунды ω=3,14 рад/с.

2) Так как v=ωR, то линейная скорость также пропорционально времени. К концу первой секунды  v = 3,14 м/с.

3) Тангенциальное ускорение aτ=𝜀R не зависит от времени t. В нашем случае aτ=0,314 м/с2.

4) Нормальное ускорение an=ω2R=ε2t2R, т.е. нормальное ускорение растет пропорционально квадрату времени: при t=1 c an=0,986м/с2.

5) Полное ускорение растет со временем по закону:    При t=1 c   a=1,03 м/с2.

6) Имеем , где α - угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса. В начальный момент времени, т.е. при t=0, a =aτ - полное ускорение направлено по касательной. При t=  a = an (так как aτ=const  и an пропорционально времени), т.е. при t= полное ускорение направлено по нормали. К концу первой секунды sinα=aτ/an=0,314/1,03=0,305, т.е. α=17о46’.

 

Пример 6. Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением ε= 3 рад/с2. Определить, какой угловой скорости достигнет тело после t=3 с своего вращения? Сколько оборотов N оно при этом совершит?

Решение. Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая система уравнений

В начальный момент тело покоилось, значит, ω0=0.  Тогда

Следовательно,  ω=εt=33=9 рад/с.

Количество оборотов

 

Пример 7. Вентилятор вращался с частотой n0=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким угловым ускорением ε он двигался?

Решение. Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой уравнений 

Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота n=0. Тогда выразим   из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а также учитывая, что n0=900 об/мин = 15 об/с,  получим

Время движения равно

 

Пример 8. Точка вращается по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением aτ=5 см/с2. Через какое время после начала вращения нормальное ускорение точки будет вдвое больше тангенциального?

Решение. Угловая скорость точки при равноускоренном движении может быть найдена из соотношения  ω=ω0+εt. Так как ω0=0, то ω=εt. Нормальное ускорение an=ω2R=(εt)2R. Тангенциальное ускорение aτ=εR. По условию задачи an=2aτ, тогда (εt)2R=2εR, следовательно, εt2=2 и 

 

Пример 9. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s(t)=Ct3, где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в тот момент, когда линейная скорость точки v= 0,3 м/с.

Решение. Зависимость пути от времени позволяет найти зависимости от времени скорости и тангенциального ускорения.

Отсюда,

Тогда тангенциальное ускорение aτ=6Ct=60,110-210=0,06 м/с2.

Нормальное ускорение 

Пример 10. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Начальная скорость точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение aτ = 1 м/с2. Для момента времени t = 2 с определить: а) длину пути, пройденного точкой, б) модуль перемещения; в) линейную и угловую скорости; г) нормальное, полное и угловое ускорения.

Рис.25

 

Решение. Уравнение зависимости пути, пройденного точкой, от времени имеет вид  (м). Это позволяет найти длину пути  м. Если учесть, что за один оборот точка проходит путь, равный длине окружности s1=2πR=8π м, то можно найти угловое перемещение точки из пропорции ,  φ=2 (рад) = 114,70. Тогда модуль перемещения может быть найден по теореме косинусов как хорда, стягивающая этот угол φ.

Линейная скорость точки v=v0+aτt=3+12=5 м/с.

Угловая скорость ω=vR=54=20 рад/с.

Нормальное ускорение

Полное ускорение  Модуль полного ускорения

Угловое ускорение 

 

Пример 11. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, проходит закругленное шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с2. Найти нормальное и полное ускорения автомобиля на повороте. Найти угол между  вектором  полного ускорения автомобиля на повороте и вектором  его скорости.  Каковы  угловые скорость и ускорение автомобиля в момент вхождения машины в поворот?

Рис.26

Решение. Зная скорость автомобиля v=36 км/ч =10 м/с, найдем его нормальное ускорение

Полное ускорение автомобиля 

Угловое ускорение

Угловая скорость

Поскольку движение автомобиля замедленное, то векторы скорости и тангенциального ускорения направлены в противоположные стороны, поэтому вектор скорости и вектор полного ускорения образуют тупой угол φ. Для нахождения этого угла определим вначале угол α, дополняющий искомый угол до 1800.

 

Пример 12. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v1 точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v2,  точки, лежащей на расстоянии r =5 cм ближе к оси колеса.

Дано: v2=2,5v1,  r=R-5

Колесо.jpg

Рис.27

Решение.

1)   У точек находящихся на колесе и лежащих на радиусе, будут одинаковы угловые скорости. Используем связь угловой и линейной скоростей:

т.к. ω1=ω2, приравниваем правые части  уравнений:

Решим уравнение относительно R:

Ответ: Радиус вращающегося колеса равен 8,33 см.

 

Пример 13. На рис.28 показаны направления вращения гироскопа (волчка) и указано, увеличивается или уменьшается угловая скорость. Укажите номер рисунка, на котором правильно указано направление углового ускорения.

 

Рис.28

 

Решение. Псевдовектор угловой скорости связан с направлением вращения правилом буравчика (правого винта). На рис.28.1 и рис.28.3 он направлен вверх, на рис.28.2 и рис.28.4 - вниз.

При возрастании угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения совпадают с вектором угловой скорости (рисунки 1 и 4). При уменьшении угловой скорости ее приращение, а соответственно и вектор углового ускорения противоположны вектору угловой скорости (рис.28.2 и рис.28.3). Следовательно, на всех рисунках направление углового ускорения указано правильно.

 

Пример 14. Опишите движение вращающегося твердого тела в случаях, когда угловая скорость изменяется согласно графикам 1 и 2, изображенным на рис.29.

Рис.29

 

Решение. Начнем с того, что вращение бывает в двух направлениях - по часовой стрелке и против. С направлением вращения связан псевдовектор угла поворота и угловой скорости. Пусть положительным будем считать направление вращения по часовой стрелке.

Для движения 1 угловая скорость возрастает, но угловое ускорение ε=dω/dt (производная) уменьшается, оставаясь положительным. Следовательно, это движение является ускоренным по часовой стрелке с уменьшающимся по величине ускорением.

Для движения 2 угловая скорость уменьшается, затем достигает в точке пересечения с осью абсцисс нуля, а далее становится отрицательной и возрастает по модулю. Угловое ускорение (вспомните геометрический смысл производной) отрицательно и уменьшается по модулю. Таким образом, сначала точка двигалась по часовой стрелке замедленно с уменьшающимся по модулю угловым ускорением, остановилась и стала вращаться ускоренно с уменьшающимся по модулю ускорением (оба вектора - и угловая скорость, и угловое ускорение направлены в одну сторону).

 

Пример 15. Скорость точки, движущейся по кривой, уменьшается по модулю. На каком рисунке, показанных на рис.30 правильно показан вектор полного ускорения?