Примеры решения задач

 

Главная

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

 

5.1. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

Определить:

1) высоту полета H и дальность обстрела L;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Найти: H, L, V, a.

Решение:

1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

                                                                                                      ,

Откуда время подъема и половина времени полета:

                                                                                                           ,

Тогда высота подъема снаряда:

                                                                                     ,

Дальность обстрела:

                                                                                                .

2) Горизонтальная скорость:

                                                                                                             

И вертикальная скорость в конце полета:

                                                                                             .

Общая скорость точки:

                                                                                  .

3) Ускорение снаряда:

                                                                                                           .

 

5.2. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

Определить:

1) высоту полета H и дальность обстрела L;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Найти: H, L, V, a.

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

                                                                                                  ,

Откуда время подъема и половина времени полета:

                                                                                                     ,

Тогда высота подъема:

                                                                                      ,

И дальность обстрела:

                                                                                             .

2) Горизонтальная скорость:

                                                                                                     

И вертикальная скорость в конце полета:

                                                                                            .

Общая скорость точки:

                                                                                  .

3) Ускорение снаряда                              

                                                                                                           .

5.3. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

Определить:

1) высоту полета H и дальность обстрела L;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Найти: H, L, V, a.

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

                                                                                                     ,

Откуда время подъема и половина времени полета:

                                                                                                          ,

Тогда высота подъема:

                                                                                       ,

И дальность обстрела:

                                                                                                 .

2) Горизонтальная скорость:

                                                                                                              

И вертикальная скорость в конце полета:

                                                                                               .

Общая скорость точки:

                                                                                     .

3) Ускорение снаряда                                                                          .

5.4. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.

Определить:

1) высоту полета H и дальность обстрела L;

2) скорость снаряда в момент падения;

3) ускорение снаряда.

Дано: , .

Найти: H, L, V, a.

Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:

                                                                                                  ,

Откуда время подъема и половина времени полета:

                                                                                                      ,

Тогда высота подъема:

                                                                                   ,

И дальность обстрела:

                                                                                              .

2) Горизонтальная скорость:

                                                                                                            

И вертикальная скорость в конце полета:

                                                                                           .

Общая скорость точки:

                                                                             .

3) Ускорение снаряда .

5.5. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

Определить:

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L, υ, а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю:

                                                                                                    ,

Откуда время движения груза:

                                                                                         .

Дальность полета:

                                                                                                    .

Скорости точек – производные перемещений по времени:

                                                                                                           ,

                                                                                  ,

А общая скорость:

                                                                              .

Ускорение точки:

.

 

5.6. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.

Определить:

1) время Т и дальность L полета груза;

2) скорость груза в момент падения;

3) ускорение груза.

Дано: , .

Найти: Т, L, υ, а.

Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю:

                                                                                                       ,

Откуда время до падения:

                                                                                                       .

Дальность полета:

                                                                                                        .

Скорости точек по осям:

                                                                                                              ,

                                                                                     ,

А общая скорость:

                                                                                 .

Ускорение точки:

.

 

5.7. Даны уравнения движения точки М линейки эллипсографа.

Определить:

1) уравнения траектории;

2) скорость и ускорение точки в момент, когда пересекает прямую .

Дано: ; , .

Найти: , , .

Решение: Из уравнений траекторий точки, получим:

                                                                                                              ,

                                                                                                               .

Возводим каждое из них в квадрат и складываем:

                                                                                                             ,

Это уравнение эллипса с полуосями 10 и 12 с центром в точке (0;0).

Из условия :

                                                                                              ,

Откуда искомый момент времени:

                                                                                                    .

Скорость точки М по осям:

                                                                                       ,

                                                                                       ,

Общая скорость точки М:

                                                                                    .

Ускорение точки М по осям:

                                                                         ,

                                                                         ,

Общее ускорение точки М:

                                                                               .

 

5.8. Движение снаряда в вертикальной плоскости (см. рис.1.6) описывают уравнениями: x = 300 t, м; y = 400 t – 5t2, м, где t – время, с.

Определить:

– траекторию, скорость и ускорение снаряда в начальный и конечный моменты времени;

– высоту подъема снаряда над уровнем горизонта H и дальность обстрела L;

– радиус кривизны траектории в ее начальной, конечной и наивысшей точках.

 

Решение: Найдем уравнение траектории, исключив из уравнения движения   (м) время t. Сначала из уравнения  определим , а затем получим уравнение траектории в следующем виде: . Траекторией снаряда в координатах х и у вертикальной плоскости является парабола.

Вычислим проекции скорости и ускорения снаряда на координатные оси:

Определим их значения в начальный момент времени t = 0:

;

Высоту подъема снаряда над уровнем горизонта можно определить, исследовав на экстремум функции y(t) по переменной t. Это означает, что с точки зрения кинематики проекция скорости точки на ось y в рассматриваемый момент времени должна быть равна нулю. Тогда  где  – время подъёма снаряда на максимальную высоту, с. Подставляя данное значение времени в выражение для y, получим ymax = H = y(40) = 8 км. Дальность обстрела определим из условия, что в момент падения снаряда функция y(t) принимает нулевое значение , где  – время полета снаряда. Корень этого квадратного уравнения, соответствующий падению снаряда на землю, с, откуда дальность полета хmax = х(80) = 24 км.

Теперь, зная время полета снаряда, можно определить его скорость и ускорение в конце полета. Подставляя время  в выражение для проекции скорости снаряда на ось y, получим м/с. Проекции скорости и ускорения на ось x не зависят от времени и постоянны в течение полета. Таким образом, снаряд движется с постоянным ускорением, равным 10 м/с2 и направленным вертикально вниз, а его скорость в конце полета равна по модулю скорости в начале его м/с и составляют с осью x одинаковые углы.

Для определения радиуса кривизны перейдем к кинематическим характеристикам движения снаряда в естественной системе отсчета.

Вначале найдем касательное ускорение по формуле

,

а затем вычислим его для начального момента времени

и для конечного

Теперь можно посчитать нормальное ускорение по формуле , а затем и . Поскольку радиус кривизны траектории входит в формулу , то

Радиусы кривизны траектории в начале и в конце полета одинаковы. В наивысшей точке траектории

;  

Как видно из приведенного примера, уравнения движения точки содержат все необходимое для исследования характеристик ее движения в любой момент времени.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

00:00:00

 

Top.Mail.Ru