Примеры решения задач

 

 

Главная

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

 

 

17.1. Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью  и угловым ускорением  вокруг оси О неподвижной шестеренки 1 радиусом R1, приводит в движение насаженную на его конце А шестеренку 2 радиусом R2.

Определить ускорения точек В и С подвижной шестеренки.

Дано: , , , , .

Найти: , .

Решение: Скорость точки А колеса и ее ускорение соответственно будут:

 и

.

Возьмем за полюс центр колеса (точку А). Мгновенный центр скоростей в точке соприкосновения шестеренок 1 и 2 (точка Р). Угловая скорость колеса:

.

Качение шестеренки 2 без проскальзывания, поэтому угловое ускорение шестеренки 2:

.

Зная  и , определим модули осестремительного и вращательного ускорений точки В и С вокруг полюса А:

 и

 и .

Ускорение точек:

 и

.

В скалярном виде:

,

.

 

 

17.2. Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью  и угловым и ускорением  вокруг оси О неподвижной шестеренки 1 радиусом , приводит в движение насаженную на его конце А шестеренку 2 радиусом .

Определить ускорения точек В и С подвижной шестеренки.

Дано: , , , .

Найти: , .

Решение: Скорость точки А колеса и ее ускорение соответственно будут:

 и

.

Возьмем за полюс центр колеса (точку А). Мгновенный центр скоростей в точке соприкосновения шестеренок 1 и 2 (точка Р). Угловая скорость колеса:

.

Качение шестеренки 2 без проскальзывания, поэтому угловое ускорение шестеренки 2:

.

Зная  и , определим модули осестремительного и вращательного ускорений точки В и С вокруг полюса А:

 и

 и .

Ускорение точек:

 и

.

В скалярном виде:

.

 

 

20.1. Проволочная окружность радиусом  вращается в своей плоскости вокруг точки О с угловой скоростью . На окружность надето колечко М, которое может скользить по неподвижному стержню АВ.

Найти абсолютную скорость колечка М и его скорость относительно окружности в заданном положении.

Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

1)Сделаем расчетную схему с указанием колечка М в заданном положении. И покажем скорости относительного движения , переносного движения  и абсолютного движения .

2) Из рисунка видно, что , поэтому относительная скорость точки М:

.

Так как угол между  и  равен 450:

,

Откуда:

.

 

20.2. Проволочная окружность радиусом  вращается в своей плоскости вокруг точки О с угловой скоростью . На окружность надето колечко М, которое может скользить по неподвижному стержню АВ.

Найти абсолютную скорость колечка М и его скорость относительно окружности в заданном положении.

Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

1)Сделаем расчетную схему с указанием колечка М в заданном положении.

2) Из рисунка видно, что , поэтому относительная скорость точки М:

.

Так как ,

Откуда:

.

 

20.3. Проволочная окружность радиусом  вращается в своей плоскости вокруг точки О с угловой скоростью . На окружность надето колечко М, которое может скользить по неподвижному стержню АВ.

Найти абсолютную скорость колечка М и его скорость относительно окружности в заданном положении.

Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

1)Сделаем расчетную схему с указанием колечка М в заданном положении.

2) Из рисунка видно, что  и , поэтому относительная скорость точки М:

.

3) Видно, что

 

 

20.4. Стержень ОА вращается вокруг точки О с угловой скоростью . На стержень надето колечко М, которое может скользить по неподвижной проволочной окружности радиусом .

Найти абсолютную скорость колечка М и его скорость относительно стержня в момент, определяемый углом .

Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

1)Расчетная схема нарисована в соответствии с исходными данными.

2) Анализ движения кольца М:

- Относительное движение кольца М по стержню ОА.

- Переносное движение – вращение стержня ОА, вокруг оси О.

- Абсолютное движение – движение кольца М по окружности радиуса .

3) Проводим через точку М линии скоростей:

- Линия r-r проведена вдоль ОА – траектории относительного движения;

- Линия e-e проведена перпендикулярно ОА – так направлена скорость точки М стержня ОА (переносная скорость )

- Так как траектория абсолютного движения кольца М – окружность с центром в точке С, поэтому линия а-а проведена по касательной к этой окружности.

Из рисунка видно, что:

.

И тогда:

.

Из схемы на рисунке видно, что:

.

Откуда абсолютная скорость кольца М:

.

 

20.5. Окружность радиусом 30см перемещается  в своей плоскости поступательно со скоростью , передвигая колечки М1 и М2 по неподвижному стержню АВ.

Дано: , , .

Найти: , .

Решение: Из расчетной схемы видно, что:

 и

.

Абсолютная скорость точки М:

,

Относительная скорость точки:

.

 

 

 

23.1. В вагоне, движущимся по прямолинейному участку пути рельсу с ускорением а, подвешен стержень ОА, который совершает колебательное движение по закону  в вертикальной плоскости вокруг оси О, перпендикулярной к направлению движения вагона.

Определить для указанного момента времени t абсолютное ускорение точки А стержня.

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Угол в заданный момент времени:

.

Угловая скорость стержня:

.

Угловое ускорение стержня:

.

Нормальное ускорение точки А:

Касательное ускорение точки А:

.

Общее ускорение точки А складывается по формуле:

.

В скалярном виде, как видно из рисунка:

.

 

23.2. Тележка движется по прямолинейному участку пути с ускорением . На продольном валу тележки находится маховичок радиусом , который вращается согласно уравнению .

Определить абсолютное ускорение точки обода маховика для заданного момента времени .

Дано: , , , .

Найти: .

Решение:

Угловая скорость стержня:

.

Угловое ускорение стержня:

.

Нормальное ускорение точки А:

Касательное ускорение точки А:

.

Общее ускорение точки А складывается по формуле:

.

В скалярном виде, как видно из рисунка:

.

 

 

23.3. Тележка движется по прямолинейному участку пути с ускорением . На продольном валу тележки находится маховичок радиусом , который вращается согласно уравнению .

Определить абсолютное ускорение точка обода маховика для заданного момента времени .

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Угловая скорость диска в заданный момент:

,

Угловое ускорение диска в заданный момент:

.

Осестремительное  и тангенциальное ускорения точки обода колеса соответственно:

 и

.

Абсолютное ускорение точки колеса:

,

А в скалярном виде:

.

 

 

23.4. К валу электрического двигателя, согласно уравнению , прикреплен под прямым углом стержень ОА длиной . Двигатель совершает горизонтальные колебания на фундаменте по закону .

Определить для заданного момента времени абсолютное ускорение  точки А стержня.

Дано: , , , , .

Найти: .

Решение: Вычертим расчетную схему с заданными параметрами и покажем ускорения.

Осестремительное ускорение стержня в точке А:

.

Горизонтальное ускорение системы:

.

Абсолютное ускорение точки А:

.

 

 

25.1. Стержень ОА вращается вокруг точки О с угловой скоростью . Вдоль стержня движется точка М, положение которой определяется заданным расстоянием .

Найти абсолютное ускорение точки М в момент времени .

Дано: , .

Найти: .

Решение: Расстояние S точки М в заданный момент времени:

.

Ускорение точки М по стержню АО:

.

Угловая скорость стержня АО:

.

Осестремительное ускорение точки М:

.

Угловое ускорение стержня АО:

.

Касательное ускорение точки М:

.

Общее ускорение точки М:

.

В скалярном виде будет:

.

 

 

25.2. Квадрат OABC, сторона которого равна 24см, вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью  вокруг вершины О. В некоторый момент времени из вершины В по стороне ВС начинает двигаться точка М по закону .

Дано: , , .

Найти: .

Решение: Величина  в заданный момент времени будет:

.

Ускорение этой точки по стороне ВС:

.

Из рисунка видно, что:

 и

.

Ускорение точки М относительно вращения вокруг точки О:

.

Абсолютное ускорение точки М:

,

В векторном виде будет:

.

 

25.3. Диск радиусом  вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси С, перпендикулярной к плоскости диска. По хорде АВ относительно ее середины О колеблется точка М по закону .

Найти абсолютное ускорение точки М в данный момент времени .

Дано: , , , .

Найти: .

Решение: Найдем величину х в заданный момент времени:

,

Ускорение точки М по хорде АВ:

.

Из рисунка видно, что:

,

.

Осестремительное ускорение точки М:

.

Абсолютное ускорение точки М:

.

 

 

25.4. Диск радиусом  вращается с угловой скоростью  вокруг оси С, перпендикулярной плоскости диска. По диаметру АВ относительно центра О диска колеблется точка М по закону .

Найти абсолютное ускорение точки М в заданный момент времени.

Дано: , , ,  , .

Найти: .

Решение: Смещение точки х к заданному моменту времени:

.

Ускорение точки по диаметру АВ:

.

 ускорение точки М вокруг точки С:

.

Абсолютное ускорение точки М:

.

 

 

25.5. Точка M движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки M и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.

Дано:  Cхема механизма (рис. 1), ,  , , , .

Найти: абсолютные скорость и ускорение  точки М.

Решение. Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью Д. Положение точки M на теле Д определяется расстоянием .

При ,

Угол  вычисляется из длины дуги ОМ

,

откуда находим значение угла

.

Абсолютную скорость точки M найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

.

Модуль относительной скорости

,

где  .

При t = 2 с

, .

Положительный знак у  показывает, что вектор  направлен в сторону возрастания .

Модуль переносной скорости

         ,                                                      (1)

где точка M, как и AO участвует в поступательном движении тела Д (т.е. AO всегда параллельна самой себе).

.

При t = 2 c

.

Направление  совпадает с направлением отсчета угла , следовательно,  вектор   направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Тогда, согласно формуле (1) модуль переносной скорости:

.

Вектор  направлен по касательной к окружности O2A в сторону вращения тела Д. В момент времени t = 2 c положение тела Д таково, что значение угла  составляет  рад. Следовательно, вектор  направлен вертикально вниз (рис. 2.8). Так как вектор  не перпендикулярен вектору , то для нахождения модуля абсолютной скорости используем теорему косинусов:

Абсолютное ускорение точки M равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

или в развернутом виде

Модуль относительного касательного ускорения

,

.

При t = 2 c

.

Знаки  и  одинаковы, следовательно, относительное движение точки М ускоренное.

Относительное нормальное ускорение

.

Угловое переносное ускорение находим как

.

При t = 2 c

Модуль переносного центростремительного ускорения

,

а модуль переносного вращательного ускорения

.

При t = 2 c

, .

Модуль кориолисова ускорения

.

Так как вектор  направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то угол между направлениями векторов  и  равен , и тогда .

Покажем направление ускорений точки M в момент времени  (рис.3). Вектор  направлен по правилу векторного произведения  вдоль направления MА.

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:

,

,

.

После вычисления получаем:

 

 

25.6. Круглая пластина R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси по закону . По дуге окружности R движется точка по закону .

Дано: R=60 см; ;  l=R; ; t1= 1 c.

Определить: Vабс и aабс.

Указания. Задача – на сложное движение точки. Для ее решения следует воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, необходимо по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1 =1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, как показано на рисунках к задаче).

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением. Тогда абсолютная скорость  и абсолютное ускорение   точки найдутся по формулам:

,

,

где ,

.


 

Определим все входящие в равенство величины.

1. Относительное движение

Это движение происходит по закону

.

Установим, где будет находиться точка М на дуге окружности в момент времени t1, полагая, что t1 = 1 c:

.

Знак «минус» свидетельствует о том, что точка М в момент времени t1=1 c находится снизу от точки А. Изображаем ее в этом положении:.

Находим числовые значения , :

 м/с.

 м/с2.

 м/с2.

Вектор  направлен к центру C окружности, векторы  и  направлены в сторону положительного отсчета.

2. Переносное движение

Это движение происходит по закону .

Найдем сначала угловую скорость  и угловое ускорение  переносного вращения:

, ,

при t1 = 1 c,  c-1,  c-2.

Для определения  находим сначала расстояние h1/М1 точки М1 от оси вращения.

СК =Rcos300 =0,52 м,

ОК =СК + R =1,12 м,

М1О/ = ОК=1,12 м.

Находим:  =224 см/с,  =448 см/с2,

 =448 см/с2.

Изобразим векторы  и  перпендикулярно плоскости DAO/, а вектор  – по линии МO/ к оси вращения.

3. Кориолисово ускорение

Т.к. угол между вектором  и осью вращения (вектором ) равен 300, то численно в момент времени t1 =1 с

 =2·0,31·2·(1/2) =0,68 см/с2.

Направление  найдем по правилу Жуковского. Для этого вектор  спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ), и затем эту проекцию повернем на 900 в сторону , т.е. против хода часовой стрелки. Получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как и вектор .

4. Определение Vабс и аабс Т.к. , а векторы  и  взаимноперпендикулярны, то

 = 234 см/с.

По теореме о сложении ускорений

.

Для определения аабс проведем координаты М1хуz и вычислим проекции аабс на эти оси. Векторы  и  лежат на оси х, а векторы  и  расположены в плоскости М1уz1, т.е. в плоскости пластины.

Проецируя обе части равенства на оси М1хуz, получаем:

аабс х = =448,62 см/с2,

аабс z = · =1,71 см/с2,

аабс у = =449,08 см/с2.

Находим затем аабс. аабс = =634,8 см/с2.

Ответ: Vабс =234 см/с; aабс =634,8 см/с2.

 

 

25.7.  Рейка 4 находится в зацеплении со ступенчатым колесом 3, связанным ременной передачей с колесом 2, которое находится в зацеплении с колесом 1, на которое намотана нить с грузом 5 (рис). Закон изменения угловой скорости колеса 1 – .

Дано: R1 =4 см, r1= 2 см, R2 =8 см, r2 =6 см, r3 =12 см, R3 = 16 см, , t1=1 с.

Определить: V5, VB, , aC, a4 в момент времени t =t1.

Указания. Задача – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что, когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

 

 

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса Rі) через Vі, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса rі), – через uі.

1. определяем V5. Так как V5 = V1, то V5 = V1 = = (5t – 4t2) R1.

Для момента времени t1=1 с

V5 =4 см/с.

2. Определяем VB. Так как колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то V2 =u1 и .

.

Тогда VB = =2(5t –4t2).

Для момента времени t1=1 с            VB=2 см/с.

            3. Определяем . По определению углового ускорения .

Для момента времени t1=1 с            ε2 =-3/4 = -0,75 с-2.

4. определяем aC.

Для точки С , где численно , .

Поэтому необходимо найти  и . Так как колеса 2 и 3 соединены ременной передачей, то u2 = u3,

,

,

.

Для момента времени t1=1 с

 =0,125 с-1;

 = -0,375 с-2.

Тогда  =0,19 см/с2,  =-4,5 см/с2,

           =4,5 см/с2.

5. Определяем а4. Так как рейка 4 и колесо 3 находятся в зацеплении, то V4=V3,

.

Тогда .

Для момента времени t1=1 с            а4 = -6 см/с2.

Ответ: V5 =4 см/с, VB=2 см/с, = -0,75 с-2, аС =4,5 см/с2, а4= =-6 см/с2.

 

 

25.8. Для механизма, схема которого показана на рисунке, определить скорости и ускорения точки М и тела 3, а также угловые скорости и угловые ускорения тел 1 и 2, если дано: , , , ,  рад, .

 

Решение. Согласно условию задачи вычерчиваем схему механизма (см. рисунок).

Используя закон движения тела 2 найдем его угловую скорость и угловое ускорение.

,   ,

,

Определим скорость и ускорение точки М

,       ,

,       ,

,      ,

.

Сравнивая линейные скорости тел 2 и 1 в точках A и B, установим соотношение ,

откуда ,     .

Теперь ,    .

Сравнивая линейные скорости в точке К, находим ,     .

Ускорение тела 3 будет равно ,     .

Направление векторов показано на рисунке.

Ответ:  м/с;   м/с2;  м/с;   м/с2;   с-1;  с-1;   с-1;   с-1;

 

 

25.9. Треугольная пластина АВО (см. рисунок) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, согласно закону  рад. По стороне АВ пластины перемещается точка М по закону  см. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1c, если ОА = ОВ = 5 см  и угол АОВ прямой. 

 

Решение. Согласно условию задачи нарисуем схему механической системы, (см. рисунок), и определим относительное положение точки  см.

Положение точки М1 показано на чертеже. Учитывая, что движение точки М сложное, при этом переносное движение (движение пластины) вращательное, а относительное движение (движение точки М по пластине) прямолинейное, то абсолютную скорость и абсолютное ускорение определим по формулам

,

где

,                               см/с,

,                                   см/с2

,                                      ,

,                 с-1,

,                              с-2,

,                           см/с,

,                           см/с2,

,                    см/с2,

,

 см/с2.

Направление векторов всех кинематических характеристик точки М1 указаны на рисунке. Используя метод проекций находим:

,

,

Следовательно, модуль абсолютной скорости точки М равен

 см/с,

см/с

Тогда модуль абсолютного ускорения определяется

 см/с2

     Ответ:  см/с,    см/с2.

 

 

25.10. Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого приведена на рис.1, где ведущим звеном является груз.

Дано: закон изменения вертикальной координаты груза x(t) = 30 + 10t2, см; радиусы колес R1 = R3 = 10 см, R2 = 30 см, r2 = 20 см.   

Определить: скорость и ускорение точки М для момента времени t1 = 1 c.

Рис.1

 

Решение: Обозначим и покажем на рис. 2 точки механизма А, В, D1, D2, через которые передается движение от одного звена (ведущего) к другому (ведомому).

Решение задачи начнем с определения скорости груза. Поскольку груз совершает поступательное движение, его можно считать точкой, движение которой задано координатным способом, и движется только вдоль оси x. Проекцию скорости груза на эту ось определим как производную от координаты x по времени , при t1 = 1 с    vx= 20 см/с.

Поскольку знак проекции скорости груза на ось x положительный, вектор скорости направлен вниз, т.е. в положительном направлении оси x.

Рис.2

 

Скорости всех точек нити, на которой висит груз, одинаковы (нить считается нерастяжимой), скорость точки схода нити с барабана (колеса 1) равна скорости груза. Но точка А схода нити в данный момент времени принадлежит и колесу 1, совершающему вращательное движение вокруг неподвижной оси, что позволяет определить его угловую скорость. Направление угловой скорости колеса 1 соответствует направлению скорости точки А. Запишем теперь алгебраическое значение угловой скорости колеса 1

, при t1=    w1z= 2 рад/с.

Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении и имеют общую точку В (см. рис.2). Поэтому скорости точек колес, находящихся на их ободьях, одинаковы. При записи алгебраического значения угловой скорости колеса 2 учтем, что внешнее зацепление меняет направление вращения на противоположное

, при t1 = 1 с w2z = 1 рад/с.

Одинаковы также скорости точек D1 и D2 , расположенных на шкивах ременной передачи. Однако здесь направление вращения не изменяется, поэтому

, при t1 = 1 с  

Определим теперь скорость точки M колеса 3 в момент времени t1 = 1 с. Величина скорости – это произведение модуля угловой скорости на расстояние от точки M до оси вращения, которое равно радиусу ,  Направление вектора скорости покажем перпендикулярно радиусу, соединяющему точку с осью вращения, в соответствии с направлением вращения (рис.3).

Рис.3

 

 

Для нахождения ускорения точки M необходимо знать угловое ускорение колеса 3. Алгебраическое значение углового ускорения определим как производную по времени от алгебраического значения угловой скорости  Алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, следовательно, вращательное движение является ускоренным.

Ускорение точки M определим как геометрическую сумму векторов вращательного и осестремительного ускорений, модули которых вычислим по формулам:

,

откуда получим полное ускорение точки M

.

Векторы ускорений показаны на рис. 3. Движение колеса 3 ускоренное, поэтому вращательное ускорение точки M направлено в ту же сторону, что и ее скорость. Осестремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

Если в условии будет задан не закон движения груза x(t), а зависимость угла поворота колеса 1 от времени, например, , рад, изменения в решении задачи коснутся только начального этапа. Алгебраическое значение угловой скорости колеса 1 определим как производную от его угла поворота по времени  рад/с.

Дальнейшее решение задачи не отличается от приведенного примера.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов