Примеры решения задач

 

Главная

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ

 

 

Пример 1. Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.

Дано:

Схема балки (рис. 1).

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a=2 м, b=3 м, .

___________________________________

Определить реакции опор в точках А и В.

Рис. 1

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 2).

К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.

Активные (заданные) силы:

, , , пара сил с моментом М, где

- сосредоточенная сила, заменяющая действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью q.

Величина

              

Линия действия силы  проходит через середину отрезка АС.

Силы реакции (неизвестные силы):

,  ,  .

 - заменяет действие отброшенного подвижного шарнира (опора А).

Реакция  перпендикулярна поверхности, на которую опираются катки подвижного шарнира.

,   - заменяют действие отброшенного неподвижного шарнира (опора В).

,   - составляющие реакции , направление которой заранее неизвестно.

Расчетная схема

Рис. 2

 

Для полученной плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

             ,  , .

Задача является статически определимой, так как число неизвестных сил (,  ,  ) - три  - равно числу уравнений равновесия.

Поместим систему координат XY  в точку А, ось AX  направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В.

Составим уравнения равновесия:

              1) ;

              2)

              3)

Решая систему уравнений, найдем ,  ,  .

                                          

                           

                

Определив,  , найдем величину силы реакции неподвижного шарнира

                

 

В целях проверки составим уравнение

                .

Если в результате подстановки в правую часть этого равенства данных задачи и найденных сил реакций получим нуль, то задача решена - верно.

               

              Реакции найдены верно. Неточность объясняется округлением при вычислении .

Ответ:  

 

Пример 2. Для заданной плоской рамы определить реакции опор.

Дано:

Схема рамы рис.3

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a=2 м, b=3 м, .

______________________________

Определить реакции опор рамы.

Рис. 3

 

Решение:

Рассмотрим равновесие жесткой рамы АВЕС (рис. 4).

 

Расчетная схема

 

Рис. 4

 

Система сил приложенных к раме состоит из активных сил и сил реакций.

Активные силы:

, , пара сил с моментом , , .

,  заменяют действие распределенной нагрузки на отрезках ВД и ДЕ.

              

Линия действия силы  проходит на расстоянии  от точки В.

                

Линия действия силы  проходит через середину отрезка ДЕ.

Силы реакции:

, ,  - заменяют действие жесткого защемления, которое ограничивает любое перемещение рамы в плоскости чертежа.

К раме приложена плоская произвольная система сил. Для нее можем составить три уравнения равновесия:

                  , ,

Задача является статистически определимой, так как число неизвестных тоже три - , , .

Составим уравнения равновесия, выбрав за центр моментов точку А, так как ее пересекают наибольшее число неизвестных сил.

               1)

               2)

               3)

Решая систему уравнений, найдем , , .

                          

                                                                             

                                   

Для проверки полученных результатов составим уравнение моментов вокруг точки С.

               

Подставляя все значения, получим

                              

Реакции найдены верно.

Ответ:

               

                 

 

 

Пример 3. Для заданной плоской рамы определить реакции опор.

Дано: вариант расчетной схемы (рис. 5);  

           Р1 = 8 кН; Р2 = 10 кН; q = 12 кН/м; М = 16 кНм; l = 0,1 м.

Определить реакции в опорах А и В.

Рис.5

 

                Решение. Заменяем действие связей (опор) реакциями. Число, вид (сила или пара сил с моментом), а также направление реакций зависят от вида опор. В плоской статике для каждой опоры в отдельности можно проверить, какие направления движения запрещает телу данная опора. Проверяют два взаимно перпендикулярных смещения тела относительно опорной точки (А или В) и поворот тела в плоскости действия внешних сил относительно этих точек. Если запрещено смещение, то будет реакция в виде силы по этому направлению, а если запрещен поворот, то будет реакция в виде пары сил с моментом (МА или МВ).

                Первоначально реакции можно выбирать в любую сторону. После определения значения реакции знак «плюс» у него будет говорить о том, что направление в эту сторону верное, а знак «минус» – о том, что правильное направление реакции противоположно выбранному (например, не вниз, а вверх для силы или по часовой стрелке, а не против неё для момента пары сил).

                Исходя из вышесказанного, показаны реакции на рис. 5. В опоре А их две, т. к. опора запрещает перемещение по горизонтали и вертикали, а поворот вокруг точки А - разрешает. Момент МА не возникает, т. к. эта шарнирная опора не запрещает поворот телу вокруг точки А. В точке В одна реакция, т. к. запрещено перемещение только в одном направлении (вдоль невесомого рычага ВВ¢).

                Далее перед составлением уравнения равновесия тела необходимо на рис. 5 провести следующие дополнительные построения, упрощающие последующую работу.

                Во-первых, распределенная нагрузка q заменяется эквивалентной сосредоточенной силой . Линия действия её проходит через центр тяжести эпюры (для прямоугольной эпюры центр тяжести на пересечении диагоналей, поэтому сила Q проходит через середину отрезка, на который действует q). Величина силы Q равна площади эпюры, то есть

                

                Затем необходимо выбрать оси координат x и y и разложить все силы и реакции не параллельные осям на составляющие параллельные им, используя правило параллелограмма. На рис.5 разложены силы , ,  . При этом точка приложения результирующей и её составляющих должна быть одна и та же. Сами составляющие можно не обозначать, т. к. их модули легко выражаются через модуль результирующей и угол с одной из осей, который должен быть задан либо определен по другим заданным углам и показан на схеме. Например для силы Р2 модуль горизонтальной составляющей равен , а вертикальной  - .

                Теперь можно составить три уравнения равновесия, а так как неизвестных реакций тоже три (,,), их значения легко находятся из этих уравнений. Знак у значения реакции, о чем говорилось выше, определяет правильность выбранных направлений реакций. Для схемы на рис. 5 уравнения проекций всех сил на оси х и y и уравнения моментов всех сил относительно точки А запишутся так:

              

                Из первого