Примеры решения задач

 

Главная

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО СТАТИКЕ

 

Пример 1. Горизонтальная балка и рама, длина которой равна l, у одного конца закреплена шарнирно, а у другого конца В подвешена к стене посредством тяги ВС, угол наклона которой к балке АВ равен . По балке перемещается груз F, положение которого определяется переменным расстоянием Х от шарнира А. Определить натяжение N тяги ВС в зависимости от положения груза. Весом балки пренебречь (рис. 1).

Рис. 1

 

Решение. На балку наложены внешние связи - шарнир А и тяга ВС. Заменим их реакциями. Реакцию шарнира А представим через его составляющие RAX и RAY, а реакцию тяги N направим вдоль линии ВС (см. рис. 1).

В данной задаче одна неизвестная величина - реакция N. Составим уравнение моментов сил:

Откуда имеем:

.

Ответ: .

 

Пример 2. С помощью рычага-гвоздодера АВС из деревянного бруса вытаскивают гвоздь (рис. 1, а). Какой должна быть сила F, прикладываемая рабочим в начальный момент отжимания гвоздя, если сила сопротивления движению гвоздя составляет 1730 Н? Принять DВ = 35 мм и BС = 350 мм. Весом рычага пренебречь.

Решение. В момент начала отжимания гвоздя рычаг под действием силы F начинает поворот вокруг опорной точки В. Со стороны шляпки гвоздя на лапку АВ рычага в точке D действует нормальная реакция R = 1730 Н. Реакция опорной точки В из рассмотрения равновесия рычага исключается. Полученная расчетная схема изображена на рис. 1, б.

Рычаг находится в равновесии, если сумма моментов действующих на него сил относительно точки вращения рычага (опорной точки) равна нулю:

где DB -плечо силы R,

BE = BCcos30° - плечо силы F относительно точки В.

Рис.1

 

Получаем:

отсюда F = 200 Н. Здесь ВС = 350 мм = 350×10-3 м; DB = 35 мм = = 35×10-3 м.

В большинстве задач удобнее определять момент силы относительно точки, пользуясь разложением силы на составляющие и теоремой Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов ее составляющих. Поясним сказанное на примере (рис. 1, в).

Здесь F2 - составляющая силы F по направлению ВС; F1 - составляющая по направлению нормали к ВС. Легко заметить, что составляющая F2 относительно точки В момента не создает, так как линия ее действия проходит через эту точку (плечо силы равно нулю). Плечом же составляющей  является ВС. При решении задач разложение силы на составляющие можно не изображать на чертеже, а выполнять это действие мысленно.

Итак, получаем  отсюда F = 200 H.

 

Ответ: F = 200 H.

 

Пример 3. Телескопическая стрела АВ автокрана (рис. 1, a) весом G = 4 кН с центром тяжести в точке С несет на конце груз F = 15 кН. Стрела удерживается в равновесии с помощью гидравлического домкрата DЕ. Принимая AB = 20 м, АС = 7 м и AD = 1,5 м, определить реакции опорного шарнира А и силу, нагружающую шток домкрата.

 

в)

 

а)                                                                   б)

Рис.1

 

Решение. Рассматриваем равновесие стрелы АВ. К ней приложены заданные активные силы - вес груза F и вес стрелы G. Рассматривая тело АВ как свободное, отбрасываем связи (стержень домкрата DE и шарнирно-неподвижную опору А), заменяя их действие реакциями. Реакция RDE стержня направлена вдоль него к телу АВ (так как очевидно, что в нашем случае стержень сжат). Реакция опоры А заранее по направлению неизвестна, поэтому заменяем ее двумя составляющими RX и RY по осям координат, принимая обычное вертикально-горизонтальное направление координатных осей. Расчетная схема изображена на рис. 1, б. Для полученной плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия (напоминаем, что в качестве центра моментов целесообразно выбирать точку пересечения двух неизвестных сил - в нашем случае точку А):

1)

отсюда

RDE = 189 кH.

2)

 

откуда

RX = 94,5 кH.

3)  

откуда

RY = -145 кH.

Составляем проверочное уравнение равновесия, в качестве которого может быть принято любое уравнение проекций или моментов, кроме уже использованных в решении. Возьмем, например:

Полученное небольшое расхождение в третьем знаке допустимо, так как объясняется погрешностью счета. Следовательно, реакции RX, RY и RDE определены верно. Реакция RY получилась отрицательной; это указывает на то, что ее действительное направление противоположно предварительно выбранному. Искомая сила, нагружающая шток домкрата , по модулю равна найденной реакции, а по направлению противоположна ей.

В двух из трех уравнений равновесия, использованных в решении, содержалось более чем по одному из неизвестных, чего можно было избежать, направив координатные оси по-другому (рис. 1, в). При этом уже две точки (A и D) будут точками пересечения двух неизвестных сил (так как изменилось направление составляющих реакций опоры А), что позволит применить другую систему уравнений равновесия:

1)

Это уравнение осталось без изменений. Получаем

RDE = 189 кH.

2)

,

отсюда

RY = -173 кH.

3)

,

отсюда

RX = -173 кH.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

Во втором варианте решения иным направлениям составляющих реакций RX и RY опоры А соответствуют и иные их значения. Полная реакция опоры RA не зависит от направления ее составляющих, в чем легко убедиться с помощью расчета:

 кН - для первого варианта.

 кН -  для второго варианта.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 4. Однородная балка (рис. 1, а), сила тяжести которой 2 кН, закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры и опирается в точке В на ребро стены. Найти реакции опор, если AD = 4 м, BD = 1 м.

Рис.1

 

Решение. На балку действует одна активная сила - сила тяжести. Сила тяжести однородной балки приложена в ее середине (точка С). Освободим балку от связей, приложив к ней вместо связей силы реакций (рис. 1, б). В точке А к балке надо приложить неизвестную по модулю и направлению реакцию RA. Разложим ее на две составляющие RAX и RAY. В точке В балка опирается на ребро. В таком случае реакция RB должна быть перпендикулярна балке AD.

Сила тяжести вместе с реактивными силами представляет уравновешенную систему сил, произвольно расположенных в плоскости, для которой можно составить три независимых уравнения равновесия.

Составим два уравнения проекций и одно уравнение моментов. Поместим начало осей координат в точке A и для упрощения уравнений направим оси X и Y по неизвестным составляющим RAX, RAY силы реакции.

Спроецируем все силы на ось X и получим первое уравнение равновесия:

                                 (1)

Сила тяжести G и составляющая RAY в уравнение не вошли, так как они перпендикулярны оси X и их проекции равны нулю. Проекция силы RB взята со знаком «минус», так как соответствующий ей отрезок аb оси X направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси X.

Спроецируем все силы на ось Y:

                          (2)

Сила G полностью проецируется на ось Y, так как она ей параллельна. RAY проецируется полностью по той же причине. Проекция силы RB взята со знаком «плюс», так как она совпадает с положительным направлением оси Y.

Для составления уравнения моментов в качестве центра моментов может быть выбрана любая точка плоскости, но для получения более простого уравнения следует воспользоваться следующей рекомендацией: в качестве центра моментов надо выбирать ту точку, через которую проходит большее число неизвестных сил. В таком случае уравнения неизвестных сил в уравнение моментов не войдут, так как их моменты окажутся равными нулю. Из рисунка видно, что в качестве центра моментов следует взять точку А. Тогда третье уравнение будет иметь вид

где

Перепишем уравнение моментов:

                      (3)

Момент силы тяжести взят с положительным знаком в силу того, что он направлен по часовой стрелке. Момент реакции RB направлен против часовой стрелки, поэтому он взят со знаком «минус».

Из уравнения (3)

 кН.

Из уравнения (2) получим:

 кН.

Из уравнения (1) найдем

 кН.

Для проверки правильности решения воспользуемся уравнением моментов относительно точки С:

Если после подстановки значений RAX, RAY, RB уравнение превратится в тождество вида 0 = 0, то, значит, задача решена верно. Подставив числовые значения, получим , т. е. 0 = 0. Задача решена правильно.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 5. Однородная балка (рис. 1, a), сила тяжести которой G = 600 Н, прикреплена к полу в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры; в точке В поддерживается стержнем, имеющим на концах шарниры. К концу балки С прикреплена веревка, перекинутая через блок и несущая груз F = 200 Н. Найти реакции опор, если АС = 6 м, АВ = 4 м. Трением на блоке пренебречь.

а)                                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Освободим балку от связей, отбросив все связи и заменив их силами реакций (рис. 1, б).

В точке А балка имеет шарнирно-неподвижную опору, направление реакции которой неизвестно ни по модулю, ни по направлению. Разложим ее на две неизвестные составляющие RAX, RAY, направив их вдоль выбранных осей координат.

В точке С балка имеет связь в виде гибкой нити, реакция которой всегда направлена вдоль нити в сторону от рассматриваемого тела. Известно, что блок изменяет лишь направление силы, не меняя ее числового значения, значит, N1 = F = 200 H.

Опора в точке В представляет собой стержень с шарнирами на концах. Его реакция направлена по прямой, соединяющей центры шарниров, т. е. по стержню. Если реакция нити всегда направлена от тела, то реакция стержня может быть направлена как от тела, так и к телу. Если стержень растягивается, то его реакция направлена от рассматриваемого тела, при сжатии - в сторону от стержня к телу. При составлении уравнения равновесия все стержневые связи условно считаются растянутыми. Если в результате решения задачи реакция какого-либо стержня окажется отрицательной, то это означает, что данный стержень не растянут, а сжат.

На балку действует плоская система произвольно расположенных сил. Составим три уравнения равновесия:

Начало осей координат поместим в точку А, направив ось Х вдоль балки, а Y - перпендикулярно к балке. В качестве центра моментов по-прежнему возьмем точку А. Тогда уравнение проекций на ось Х примет вид

                                                (1)

Силы N2, N1 не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х.

Спроецируем силы на ось Y:

                          (2)

Составляющая RAX не вошла в данное уравнение, так как она перпендикулярна оси Y.

Составим уравнение моментов относительно точки А. Для нахождения плеч сил опустим из точки А перпендикуляры на линии действия всех сил. Плечом силы G будет отрезок AD, плечом силы N2 будет отрезок AB, плечом силы N1 будет отрезок AC.

Уравнение моментов имеет вид

.               (3)

Моменты сил G и N2 направлены по часовой стрелке, поэтому они вошли в уравнение с положительным знаком. Момент силы RC направлен против часовой стрелки, поэтому имеет знак «минус».

Из уравнения (3)

Из рис. 1, б видно, что   м.

Подставив числовые значения и вспомнив, что N1 = F = 200 H, получим:

 Н.

Из уравнения (2)

Подставив значения сил, получим:

 Н.

Из уравнения (1)

 Н.

Проверим правильность решения задачи, составив уравнение моментов относительно точки В:

Из рис. 1, б видно, что  м, тогда

При подстановке получили тождество 0 = 0, значит, задача решена верно.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 6. Брус (рис. 1, а) шарнирно закреплен в точке А, а в точке В опирается на выступ стенки, образуя с горизонтальной плоскостью угол 30°. В точке С на расстоянии АС = 1 м брус нагружен перпендикулярной к нему силой F = 800 Н. Определить реакцию шарнира А и выступа, если АВ = 2,4 м.

Рис.1

 

Решение. Порядок решения этой задачи может быть следующим:

1. Изобразим заданный груз вместе с нагрузками на рисунке, соблюдая при этом угол наклона бруса и масштаб для размеров по его длине (рис. 1, б).

2. Освободим брус от связей (в точках А и В), заменив эти связи их реакциями. Нужно помнить, что при свободном опирании тела о связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо поверхности тела, либо поверхности связи. В данном случае конец бруса В опирается на выступ стены, значит, реакция выступа направлена перпендикулярно брусу (рис. 1, б и 1, в). Направление реакции неподвижного шарнира А, как правило, заранее неизвестно, и поэтому эту реакцию заменяем ее составляющими, направленными вдоль выбранных координатных осей Х и Y. Приняв за начало координат точку А, можно придать осям обычное горизонтально-вертикальное положение (рис. 1, б), тогда реакция RA шарнира А заменяется составляющими RAX и RAY. Но можно выбрать иное направление осей, например: ось Х совместить с брусом АВ, а ось Y направить перпендикулярно брусу (рис. 1, в), тогда реакция шарнира А заменяется составляющими  и .

3. Для получившейся расчетной схемы действия на брус плоской системы четырех сил составим три уравнения равновесия. Если задача решается по схеме на рис. 1, б, то целесообразно составить уравнения:

а)  - алгебраическую сумму проекций всех сил на ось Х;

б)  - алгебраическую сумму проекций всех сил на ось Y;

в)  - алгебраическую сумму моментов всех сил относительно шарнира А.

Если задача решается по схеме на рис. 1, в, то целесообразно составить уравнения:

а')  - алгебраическую сумму проекций всех сил на ось Х;

б')  - алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки А (неподвижного шарнира);

в')  - алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки В.

4. Решить уравнения и найти численные значения сил RB, RAX, RAY (или  и ).

5. Сложить по правилу параллелограмма составляющие RAX и RAY (или  и ) и найти численное значение  и направление вектора RA относительно бруса АВ (RA, АВ). Вектор RA изобразить на рисунке.

6. Проверить правильность решения задачи. В данном случае проверку решения следует выполнить, используя теорему о равенстве трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости: изобразить брус АВ, точно соблюдая требования, содержащиеся в условии задачи, провести линии действия данной силы F и найденной реакции RA (эти линии пересекутся в какой-то точке D). Если задача решена правильно, то линия действия реакции RA, проведенная под найденным углом  = (RA, АВ), пройдет также через точку D.

Для бруса, изображенного на рис. 1, а, решение выглядит так.

По схеме на рис. 1, б уравнения имеют вид:

а) ;                               (1)

б) ;                  (2)

в) ;        (3)

Из уравнения (3) получаем:

 Н.

Из уравнения (1) получаем:

 Н.

Из уравнения (2) получаем:

 Н.

Численные значения RAX и RAY получились положительными, значит, они в действительности направлены так, как показано на рисунке, т. е. RAX вправо вдоль оси Х, а RAY - вверх вдоль оси Y (рис. 2, а). Если бы какая-либо из составляющих получилась отрицательной, это означало бы, что она направлена в противоположную сторону относительно направления, указанного на рисунке.

Определяем численное значение реакции шарнира А:

 Н  Н.

Определяем угол , образуемый вектором RA с осью Х (рис. 2):

Таким образом. угол = (RA, АВ) = 75° - 30° = 45°.

       

Рис.2                                                    Рис.3

 

Решая задачу по схеме на рис. 1, в, получим такие уравнения:

а') ; ;                                (4)

б') ;              (5)

в') ;         (6)

Последовательно из уравнений (4), (5) и (6) находим:

 Н;  Н и Н.

Значит, в этом случае направления составляющих RAX и RAY совпадают с положительным направлением осей (рис. 2, б).

Численное значение реакции шарнира А

 Н;

Как видим, результаты обоих решений полностью совпадают. Незначительные различия в ответах лежат в пределах, допустимых при подсчете. Проверив решение (см. п. 6), увидим (см. рис. 3), что линии действия трех сил F, RA, RB пересекаются в одной точке. Значит, задача решена правильно.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 7. Однородный брус АВ весом G = 16 Н опирается концом А на гладкий горизонтальный пол и промежуточной точкой на ребро D. Брус удерживается под углом = 60° к горизонтали веревкой ЕF, перпендикулярной к оси бруса, причем BD = DE = EA. Определить натяжение веревки EF и реакции опор A и D (рис. 1, а).

а)                                                                                      б)

Рис.1

 

Решение. Прикладываем к брусу в середине его длины О вес бруса G (рис. 1, б). Освобождаем брус от трех связей и заменяем их реакциями RA, N и RD. Направления этих реакций известны, а их модули получим из системы трех уравнений равновесия.

В рассматриваемом примере нет точки приложения двух неизвестных сил, относительно которой, как правило, составляется уравнение моментов.

Найдем точку пересечения линий действия двух неизвестных сил, например, N и RA, и примем ее за центр моментов. Тогда силы N и RA не будут иметь моментов относительно этой точки К. Плечи сил RD и G найдем, опустив перпендикуляр из точки К на линии действия этих сил. Обозначим длину бруса L, тогда:

ВD = DE = EA = L / 3,          AO = L / 2.

Проведем оси координат через точку В (рис. 1, б).

Уравнения равновесия сил:

; ,

откуда

 Н.                               (1)

;             (2)

                             (3)

Из уравнения (3) получим:

 Н.

Подставим в уравнение (2) значение  Н.

Имеем

 и  Н.

Из анализа результатов решения увидим, что силы G и RA составляют пару сил, а силы RD и N - другую пару. Моменты этих пар равны по величине и противоположны по знаку, что позволяет брусу находиться в равновесии.

Ответ:  кН;  кН;  кН.

 

Пример 8. Определить реакции опор консольной балки АВ весом G = 15 кН, находящейся под действием сил F1 = 40 кН, F2 = 30 кН и пары с моментом │М30 кНм. Размеры балки: АВ = м; АС = 1,5 м; CD = м; CE = м (рис. 1).

 

Рис.1

 

Решение. Решаем задачу согласно общей методике решения равновесных задач:

1. Рассматриваем равновесие плоской системы сил, действующих на балку АВ.

2. Показываем действующие на балку заданные силы: F1, F2, пару сил с моментом М, а также вес балки G, приложенный в середине длины АВ.

                                                а)                                                                            б)

Рис.2

 

3. Мысленно отбрасываем связи балки: шарнирно-подвижную опору D и шарнирно-неподвижную опору С, заменяя их действие соответствующими реакциями (рис. 2, б). Направление реакции опоры С неизвестно, поэтому представим реакцию RС в виде двух составляющих RCX и RCY по осям координат X и Y. Выбор направления осей обусловлен характером задачи, оси могут иметь любое направление. Реакция опоры RD направлена вертикально.

4. Для плоской системы сил F1, F2, G, RCX, RCY, RD и пары сил с моментом М составим систему из трех уравнений равновесия:

При составлении первого уравнения за центр моментов О принимается, как правило, точка, относительно которой моменты наибольшего числа неизвестных сил равны нулю. Такой точкой в задаче является точка С.

Уравнения равновесия системы сил:

Перпендикуляр  м.

5. Из трех уравнений равновесия определяем искомые реакции:

 кН.

Из уравнений, составленных выше:

 кН;

  кН.

Все ответы имеют знак «плюс», следовательно, принятые направления сил RСX, RCY, RD совпадают с действительными.

Определим модуль и направление реакции RC опоры С.

 кН;

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 9. Горизонтально расположенный вал установлен в подшипниках (рис. 1, a) На валу закреплены зубчатые колеса 1 и 2. Зубчатые колеса передают на вал в точках C и D силы, направленные вертикально вниз: F1 = 400 H и F2 = 80 H. Определить опорные реакции.

Рис.1

 

Решение. 1. Выполним расчетную схему. На рис. 1, а видно, что левый подшипник не препятствует валу перемещаться вдоль его оси, поэтому на схеме (рис. 1, б) изображаем его шарнирно-подвижной опорой. Правый подшипник препятствует перемещению вала вдоль его продольной оси. На схеме этот подшипник изображаем шарнирно-неподвижной опорой. Вал заменяем одной линией - его осью. Реакции подшипников распределены по поверхности соприкосновения подшипника и вала. На схеме эти силы можно изобразить сосредоточенными в точках А и В. Так как заданные силы направлены перпендикулярно оси вала вниз, то реакции опор будут направлены перпендикулярно вверх. По условию задачи силы F1 и F2 приложены в точках C и D.

2. Отбросим опоры, а их действие заменим реакциями RА и RB (рис. 1, в). Получаем систему параллельных сил, расположенных в одной плоскости.

3. Составим уравнения равновесия сил, приложенных к валу. Сумма моментов всех сил относительно точки В равна нулю:

 

Подставляя известные значения, получим:

 Н.

Аналогично найдем сумму моментов всех сил относительно точки А (см. рис. 1, в):

 

Подставляя известные значения, получим:

 Н.

4. Произведем проверку правильности определения опорных реакций. Для этого воспользуемся уравнением   

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 10. Однородная стрела АВ настенного крана весом 1,6 кН, несущая груз весом 8 кН, удерживается в равновесии тросом СD (рис. 1, a). Приняв АВ = 2,6 м и СB = 0,8 м, определить реакции опорного шарнира А и силу натяжения троса СD.

   

а)                                                             б)

Рис.1

 

Решение. На стрелу наложены внешние связи – шарнир A и тяга CD. Заменим их реакциями. Реакцию шарнира A представим через его составляющие  и , а реакцию тяги  направим вдоль линии CD (рис. 1, б).

Запишем уравнения равновесия для стрелы AB:

;

;

.

Из первого уравнения

 кН;

 кН;

  кН.

Реакция опорного шарнира:

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 11. Кран для подъема небольших грузов имеет вертикальную ось вращения АВ (рис. 1, а). Высота крана Н = 4 м, расстояние центра тяжести С до оси вращения а= 0,6 м. Сила тяжести крана 3,2 кН. Груз F = 8 кН подвешен в точке D. Расстояние между осью вращения AB и линией действия силы тяжести груза l = 2,5 м. Определить реакции подшипника A и подпятника B.

                                                               а)                                                       б)

Рис.1

 

Решение. Будем рассматривать равновесие крана. Действие подшипника и подпятника заменим их реакциями (рис. 1, б). Запишем уравнение равновесия крана:

 

(линии действия сил  и  проходят через точку А, поэтому их моменты относительно этой точки равны нулю)

, ;

 кН.

Спроецируем силы на оси OX и OY:

; ; ;  кН.

; ; ,

 кН.

Сила реакции подпятника В:

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 12. Однородная балка шарнирно закреплена в точке А и удерживается в горизонтальном положении тросом, прикрепленным одним концом к балке в точке В, а другим - к вертикальной стенке в точке С. Тележка с грузом находится на балке в указанном на рис. 1,а положении. Расстояние l = 8 м, а = 3 м, b = 1,8 м. Угол  = 30°. Силу тяжести балки не учитывать. Сила тяжести тележки с грузом G = 20 кН. Вычислить натяжение троса CB и реакции шарнирной опоры A.

а)                                                             б)

Рис.1

 

 

Решение. Заменяем действия опор их реакциями. Рассмотрим балку, которая находится в равновесии (рис. 1, б). Моменты сил относительно точки А скомпенсированы:

 

Плечи сил  и  относительно точки А равны нулю.

 ;

 

 кН.

Спроецируем силы, действующие на балку, на оси OX и OY:

; ;

 кН.

; ;

 кН.

Сила реакции шарнирной опоры А:

;

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 13. Автомобильный кран, схематически изображенный на рис. 1,а, удерживает в поднятом положении груз F = 20 кН. Сила тяжести металлической конструкции крана равна 6,2 кН и приложена в точке С. Кран опирается на шарнирную опору в точке В и удерживается в равновесии упором в точке D. Расстояние от линии действия груза F до вертикальной оси l = 2,4 м. Расстояние от центра тяжести С до вертикальной оси а = 0,4 м. Точка упора В расположена на расстоянии b = 0,6 м от вертикальной оси КВ. Определить реакции упора D и шарнирной опоры В.

а)                                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Обозначим все силы, действующие на кран. При этом заменим действие упора D и опоры B на кран их реакциями  и  (рис. 1, б).

Запишем дважды уравнение равновесия для крана – сначала относительно точки В, потом – для точки D:

1.   плечо силы  равно нулю.

2. ;  плечо силы  равно нулю.

Из первого уравнения

;  кН.

Из второго уравнения

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 14. Рычаг АВ имеет шарнирную опору А и в точке D опирается на гладкую цилиндрическую поверхность (рис. 1,а). К рычагу в точке В прикреплен горизонтально направленный канат, натянутый силой F = 15 кН. Длина l = 800 мм. Угол = 45°. Вычислить реакции в точке D и шарнира А. Сила тяжести рычага АВ равна 600 Н.

а)                                                                 б)

Рис.1

 

Решение. Действие опор заменяем их реакциями, при этом реакцию шарнира А раскладываем на 2 составляющие:  и  (рис. 1, б). Рычаг находится в равновесии, поэтому моменты всех сил скомпенсированы. Запишем уравнение равновесия для точки А:

; ;

,

 кН.

Спроецируем все силы на оси OX и OY:

; ; ,  кН.

; ; ,

 кН (знак «минус» показывает, что направление силы  противоположно выбранному).

Реакция шарнира А

= кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 15. Брус АВ прикреплен к стенке шарниром В и свободно опирается на гладкую наклонную плоскость в точке А (рис. 1, а). Угол  = 30°. Длина l = 1,5 м. В точке D к брусу приложена сила F = 30 кН. Найти реакции шарнира В и опорной плоскости в точке А, учитывая собственную силу тяжести бруса, равную 400 Н.

Рис.1

 

Решение. Заменим действие на брус шарнира В и плоскости А их реакциями  и , причём  (рис. 1, б).

Брус находится в равновесии, поэтому:

; ;

;

 кН.

Спроецируем силы, действующие на брус на координатные оси:

; ; ;  кН.

; ; ;

 кН.

Реакция шарнира:

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 16. Балка АВ длиной l = 4 м расположена горизонтально. В точке А балка прикреплена к стенке при помощи шарнира, а другим концом в точке В удерживается тросом ВС (рис. 1, а). Угол, образованный направлением троса и осью балки  = 45°. К балке приложены две силы: в точке В -  = 20 кН, в точке D -  = 8 кН. Вычислить реакцию шарнира А и натяжение троса ВС. Вес балки не учитывать.

а)                                             б)

Рис.1

 

Решение. Рассмотрим равновесие бруса (рис. 1, б). Моменты всех сил, действующих на брус, скомпенсированы, т. е.

; ;

;  кН.

Спроецируем все силы, действующие на балку, на координатные оси:

; ;

;  кН.

; ; ;  кН.

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 17. Брус АВ длиной l = 4 м и силой тяжести 0,4 кН закреплен шарнирно в точке А и опирается на выступ стены в точке С (рис. 1, а). К концу стержня в точке В подвешен груз F = 0,6 кН. Ось бруса образует с горизонтом угол  = 30°. Точки А и Е расположены на одной горизонтальной прямой. Высота ЕС = 1,2 м. Определить реакцию в точке С и реакции шарнирной опоры А.

Рис.1

 

Решение. Обозначим все силы, действующие на брус. Реакцию шарнирной опоры  разложим на две составляющие  и  (рис. 1, б). Так как брус находится в равновесии, то моменты сил скомпенсированы:

; ;

;

; ;

 кН.

Спроецируем все силы, действующие на брус, на координатные оси:

; ; ;

 кН.

; ;

;

 кН.

Реакция шарнира А:

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 18. Стержень АВ длиной l = 2 м и силой тяжести 0,5 кН опирается одним концом А на горизонтальную гладкую плоскость, образуя с горизонтом угол = 45° (рис. 1, а). Стержень удерживается в равновесии тросом , наклоненным к горизонту под углом  = 30°. Определить реакцию в точках А и В и натяжение троса ОС.

а)                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Обозначим силы, действующие на стержень АВ (рис. 1, б). Стержень находится в равновесии. Сумма проекций всех сил на ось X и Y равна нулю. Моменты всех сил относительно любой точки скомпенсированы.

Для нахождения трёх неизвестных (, , ) составим систему из трёх уравнений:

Из 2-го и 3-го уравнений:

 - подставим в 1-е уравнение

АС найдём из ΔОСА: по теореме синусов

, , ,

;

.

, .

 кН.

Определим  и :

,  кН.

  кН.

Ответ:  кН;  кН;  кН.

 

Пример 19. Кран-мачта при подъеме груза F = 30 кН находится в положении, указанном на рис. 1, а. Нижний конец стрелы шарнирно опирается в точке А, а верхний конец стрелы удерживается в равновесии при помощи троса, прикрепленного в точках В и С. Сила тяжести стрелы 2 кН. Точки А и С расположены на одной горизонтальной прямой. Длина стрелы крана АВ = 10 м. Угол  = 45° и угол  = 30°. Вычислить реакции шарнирной опоры А и натяжение троса СВ.

а)                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Обозначим все силы, действующие на стрелу крана (рис. 1, б). Моменты этих сил относительно точки А скомпенсированы, т. к. стрела находится в равновесии.

; ;

;

,        кН.

Алгебраическая сумма проекций всех сил на оси равна нулю:

; ; ;

 кН.

; ;

;

 кН.

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 20. Вешалка укреплена шарнирно в точке А и упирается в гладкую вертикальную стенку в точке В (рис. 1, а). На равном расстоянии друг от друга а = 0,15 м подвешены пять грузов силой тяжести по 40 Н. Длина вешалки l = 2 м, расстояние l1 = 0,8 м, угол  = 60°. Вычислить реакции шарнира А и опоры в точке В.

Рис.1

 

Решение. Вешалка по условию задачи находится в равновесии. Обозначим все силы, действующие на вешалку, заменяя при этом действие опоры В и шарнира А реакциями  и   (рис. 1, б).

Моменты всех сил скомпенсированы:

;

;

;

;  Н.

Сумма проекций всех сил на координатную ось (X или Y) равна нулю.

; ; ;  Н

(знак «минус» указывает на то, что направление силы  противоположно выбранному).

; ; ;

 Н.

 Н.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 21. Однородная лестница АВ весом 140 Н опирается на пол и стены приямка (рис. 1, а). В точке С на лестнице стоит человек весом 800 Н. Приняв АВ = 3,6 м и АС = 2,2 м, определить опорные реакции в точках А и В. Трением пренебречь.

а)                                                       б)

Рис.1

 

Решение. Заменим внешние связи в точках А и В их реакциями. Реакцию в точке А представим через составляющие  и . Сила тяжести лестницы  приложена в точке О, ОА = ОВ (рис. 1, б).

;

;

;

 Н.

; ; ;  Н.

; ; ;  Н.

Реакция в точке А

;

 Н.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 22. Однородная стрела АВ платформенного подъемного крана весом 5 кН, несущая на своем конце груз весом 22 кН, удерживается в равновесии с помощью троса СD барабанной лебедки D (рис. 1, а). Приняв AB = 5 м и ВС = 1,7 м, определить реакции опорного шарнира А и силу натяжения троса СD.

а)                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Рассмотрим силы, действующие на стрелу АВ. Сила тяжести  приложена в точке О, ОА = ОВ.

Реакцию опорного шарнира А представим в виде составляющих  и . Реакцию тяги  направим вдоль линии СD (рис. 1,б).

Чтобы определить силу натяжения троса, составим уравнение моментов сил:

;

; ;

 кН.

Составим уравнение равновесия стрелы АВ:

; ;

  кН.

; ;

;

 кН.

Реакция опорного шарнира А:

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 23. Поворотный однородный рычаг АВ с помощью растянутой пружины силой упругости 3 H прижат к вращающейся кулачковой шайбе в точке С (рис. 1, а). Приняв АD = 50 мм и DC = 60 мм, определить реакции опорного шарнира А и силу давления рычага на кулачок. Весом частей механизма, а также трением пренебречь.

а)                                                                                            б)

Рис.1

 

Решение. На рычаг АВ наложены внешние связи, которые мы заменим их реакциями. Реакция  перпендикулярна АВ, а реакцию шарнира А представим через его составляющие  и  (рис. 1, б).

Составим уравнение моментов сил относительно точки А:

; ;

; ;

 Н.

Сила давления рычага на кулачок .  Н.

Так как рычаг находится в равновесии, то:

; ; ;  Н.

; ; ;  Н.

Реакция опорного шарнира А:

;  Н.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 24. Однородную плиту АВ весом 4 кН равномерно вытягивают из приямка с помощью барабанной лебедки D (рис. 1, а). Приняв АВ = 6 м и СВ = 1,5 м, определить для данного положения плиты опорные реакции в точках А и С и силу натяжения троса ВD. Трением пренебречь.

а)                                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Освободимся от внешних связей, заменив их реакциями    Сила тяжести плиты приложена в точке О, АО = ВО (рис. 1, б).

Составим уравнения моментов сил относительно точек А и С:

; ; ;  кН.

; ; ; ;

  кН.

Спроецируем силы на ось OX:

; ; ;  кН.

Ответ:  кН;  кН;  кН.

 

Пример 25. Однородная плита АВ весом 1,2 кН удерживается в равновесии в горизонтальном положении с помощью трех стержней (рис. 1, а). Приняв АВ = 4 м и АС = 1,2 м, определить силы, нагружающие стержни.

а)                                                                    б)

Рис.1

 

Решение. Заменим внешние связи (стержни AD, CD и ВК), наложенные на плиту, их реакциями    (рис. 1, б).

Эти реакции по модулю равны силам, нагружающим стержни:    при этом направления их противоположны:   

Сила тяжести  плиты приложена в её геометрическом центре, АО = ОВ.

Запишем уравнения равновесия:

; ;

; ;

; .

Из первого уравнения:

;  кН.

Из второго уравнения:

;  кН.

(знак «минус» указывает на то, что направление силы  противоположно выбранному).

Из третьего уравнения:

;  кН.

Ответ:  кН;  кН;  кН.

 

Пример 26. Натяжное устройство представляет собой двуплечий рычаг АВС, одно плечо которого несет груз весом 650 Н, а другое плечо служит для натяжения троса (рис. 1, а). Приняв АВ = 0,1 м и ВС = 0,4 м, определить реакции опорного шарнира В и силу натяжения троса. Весом рычага пренебречь.

а)                                                                 б)

Рис.1

 

Решение. На рычаг наложены внешние связи – шарнир В и тяга. Заменим их реакциями. Реакцию шарнира В представим через его составляющие  и  а реакцию тяги  направим вдоль троса (рис. 1, б).

Составим уравнение моментов сил:

; ; ;

 Н.

Сумма проекций всех сил на оси X и Y равна нулю, т. к. рычаг находится в равновесии:

 ; ;  Н.

; ; ;  Н.

Реакция шарнира

;  Н.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 27. Однородная плита АВ односкатной крыши весом 14 кН испытывает ветровую нагрузку, равнодействующая которой F = 5 кН приложена в точке С горизонтально (рис. 1, а). Приняв AB = 6 м и АС = СВ, определить опорные реакции в точках А и В.

а)                                                                    б)

Рис.1

 

Решение. Освободимся от внешних связей, которые наложены на плиту в точках А и В. При этом реакцию в точке А разложим на две составляющие:  и  (рис. 1, б). Составим уравнение моментов сил относительно точки А:

; ;

;  кН.

Проецируем силы на координатные оси:

; ; ;

 кН - направление силы  противоположно выбранному.

; ; ;

 кН.

;  кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 28. Стоящий наклонно однородный щит АВ весом 220 Н удерживается в равновесии веревкой АD (рис. 1, а). Пренебрегая трением и приняв АВ = 6 м и АС = 5м, определить опорные реакции в точках A и C и силу натяжения веревки.

          

а)                                                                                    б)

Рис.1

 

Решение. На щит наложены внешние связи – опоры А и С и тяга АD. Заменим их реакциями   и. Сила тяжести щита приложена к его геометрическому центру, т. е.  (рис. 1, б).

Запишем уравнение моментов сил:

; ; ;  Н.

Сумма проекций всех сил на ось X или Y равна нулю:

; ; ;  Н.

; ; ;  Н.

Ответ:  Н;  Н;  Н.

 

Пример 29. Неподвижно зажатый, как показано ни рисунке, опорный столб нагружен силой F = 1,9 H (рис. 1, а). Приняв АВ = 5 м и АС = CD = 1,5 м, определить опорные реакции в точках A, C, D. Весом столба, а также трением пренебречь.

     

       а)                                                                      б)

Рис.1

 

Решение. В точках A, C, D на столб наложены внешние связи. Заменим их реакциями   и  (рис. 1, б). Запишем уравнения равновесия для столба:

; ;

; ;

; .

Из последнего уравнения

;  Н.

;

 Н.

;

 Н.

Ответ:  Н;  Н;  Н.

 

Пример 30. Для балки, изображенной на рис. 1, найти реакции опор, если  кН,  кНм,  кН/м,  м.

Рис.1

 

Решение. Освободим балку от связей, мысленно отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции.

Реакция шарнирно-неподвижной опоры А неизвестна как по модулю, так и по направлению, поэтому изобразим ее в виде двух составляющих RAX и RAY, направленных вдоль выбранных осей координат X и Y. В шарнирно-подвижной опоре возникает одна реакция, направленная перпендикулярно плоскости, по которой она может перемещаться.

В данном случае направим реакцию RB вертикально вверх. Реакции изображены на том же рисунке, где и опоры. Система сил, действующих на балку, представляет плоскую систему произвольно расположенных сил, поэтому для нее можно составить три независимых уравнения равновесия. Запишем одно уравнение проекций на ось Х и два уравнения моментов. В качестве центра моментов целесообразно принять точки А и В балки. В этом случае уравнения упрощаются.

Уравнение проекций на ось Х имеет такой вид:

.                                                              (1)

Равномерно распределенная нагрузка перпендикулярна оси Х, поэтому ее проекция на ось Х равна нулю.

Уравнение моментов относительно точки А имеет следующий вид:

.                 (2)

Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна 5aq и приложена в середине своего участка, т. е. на расстояние 2,5а от опоры А.

Момент сосредоточенной силы и реакции RB, а также сосредоточенный момент вращают балку вокруг точки А против часовой стрелки, поэтому вошли в уравнение моментов с отрицательным знаком, равнодействующая равномерно распределенной нагрузки вращает балку вокруг точки А по часовой стрелке, следовательно, ее момент имеет знак «плюс».

Составим уравнение моментов относительно точки В:

.                 (3)

Моменты силы F, равнодействующей распределенной нагрузки и сосредоточенный момент М направлены против часовой стрелки и войдут в уравнение моментов со знаком «минус», а момент составляющей RAY, направленный по часовой стрелке, войдет со знаком «плюс».

Из уравнения (1)

 кН.

Из уравнения (2)

,

где

 м.

Тогда

 кН.

Из уравнения (3)

,

где

 м,

тогда

 кН.

В качестве проверки используем уравнение проекций на ось Y:

.

Подставив числовые значения, получим

, т. е. 0 = 0.

Задача решена верно.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 31. На двухконсольную горизонтальную балку CD на пролете АВ действует пара сил  с моментом пары , на левую консоль - равномерно распределенная нагрузка интенсивности q, а в точке D правой консоли - вертикальная нагрузка . Определить реакции опор, если F = 1 кH, = 2 кH, q = 2 кH, a = 0,8 м (рис. 1).

Рис.1

 

Решение. Рассмотрим равновесие плоской системы сил, действующих на балку CD. На нее действуют сила , пара с моментом M и равнодействующая распределенной нагрузки , приложенная посередине консоли СА. Мысленно отбрасываем связи: шарнирно-неподвижную опору А и опору на катках В, заменяя их действие соответственно составляющими реакции RAX, RAY и реакцией RB.

Для плоской системы сил FP, RAX, RAY, RB,  и пары сил с моментом M составим систему уравнений равновесия:

; ; .

Получим систему уравнений:

;

;

.

 кН.

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 32. Для балки (рис. 1, a) определить реакции опор в точках А и В, если кН,  кН/м,  кНм.

Рис.1

 

Решение. Рассматривая равновесие балки, освобождаем точки А и В от связей и заменяем связи силами реакций связей RA и RB (рис. 1, б). Действие на балку равномерно распределенной нагрузки интенсивности q заменяем равнодействующей  кН, которая расположена в середине длины этой нагрузки (рис.1, б).

Таким образом, на балку действуют пара сил с моментом М и система параллельных сил RA, Q, F и RB. Для определения неизвестных реакций связей балки RA и RB используем уравнения равновесия  и . В качестве проверочного уравнения принимаем уравнение . Выберем систему координат X и Y с началом в точке А и составим уравнения равновесия сил:

; ;                (1)

; ;                  (2)

åFiY = 0; .                                                      (3)

Из уравнения (1)

 кН.

Из уравнения (2)

 кН.

Из уравнения (3) следует, что 8,5 - 8 - 16 + 15,5 = 0, следовательно, реакции RA и RB балки по величине и направлению определены верно.

Следует отметить, что момент М в отличие от сил не изменяет своего знака относительно точек А и В балки (и других произвольных точек) при написании уравнений моментов сил.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 33. Для балки (рис. 1, a) определить реакции опор в точках А и В, если  кН,  кН/м и  кНм.

Рис.1

 

Решение. Рассматривая равновесие балки, освобождаем балки А и В от связей и заменяем связи силами реакций связей. (рис. 1, б).

В шарнирно-подвижной опоре (точка А) возникает одна реакция связи RA, расположенная перпендикулярно к основанию опоры. В шарнирно-неподвижной опоре (точка В) реакция связи в общем случае неизвестна по направлению, поэтому будущую реакцию точки В представим составляющими RBX и RBY. Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей  кН (рис.1, б). Для решения задачи составим три уравнения равновесия:

; ; .

Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А и составляем уравнения равновесия системы сил:

; ;                                             (1)

; ;             (2)

; .               (3)

Из уравнения (1):

 кН.

В уравнении (2) плечо  (из треугольника ADK), или

 м  м.

В уравнении (3) плечо  (из треугольника BKE), или

 м = 2,6 м.

Из уравнения (2)

 кН.

Из уравнения (3)

= 35,2 кН.

Значение составляющей RBY реакции точки В получено со знаком минус. Это означает, что RBY по направлению выбрано неверно. Следует изменить направление на обратное (рис. 1, в), зачеркнув прежнее направление, тогда RBY = 8,25 кH.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение . В этом случае

,

или

,

или

.

Следовательно, значения реакций RBY и RBX балки по величине и направлению определены верно.

Итоговая реакция опоры В балки определится по уравнению

=  кН (рис. 1, в).

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 34. Для заданной двухопорной балки (рис. 1, a) определить опорные реакции.

Рис.1

 

Решение. Рассматриваем равновесие балки AD. К ней приложены заданные активные силы F1 и F2 и момент М. Рассматривая тело AD как свободное, отбрасываем связи (шарнирные опоры А и В), заменяя их действие реакциями. Реакция RA шарнирно-подвижной опоры А направлена по нормали к опорной поверхности. Для шарнирно-неподвижной опоры В показываем составляющие реакции RX и RY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 1, б. Для полученной плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точки А и В (точки пересечения двух неизвестных сил):

1) ; ;

,

отсюда  кН.

2) ;

;

,

отсюда  кН.

3) ;; ,

отсюда  кН.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

.

Следовательно, реакции определены верно. Реакция RA получилась отрицательной, значит, ее действительное направление противоположно предварительно выбранному.

Примененная система уравнений равновесия наиболее целесообразна при рассмотрении равновесия любых двухопорных балок.

Полная реакция опоры :

 кН.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 35. Однородная балка закреплена в точке А с помощью шарнирно-неподвижной опоры и поддерживается в точке В стержнем (рис. 1, а). Найти реакции шарнирно-неподвижной опоры и стержня ВС. Силой тяжести балки и стержня пренебречь.  кНм,  кН,  м,  м, .

Решение. Изобразим балку вместе с нагрузками, соблюдая заданные размеры ее участков и угла  (рис. 3.48, б).

Рис.1

 

Освободим балку от связей в точках А и В, заменив эти связи их реакциями. Начало координат поместим в точке А, ось Х совместим с осью балки, а ось Y направим перпендикулярно балке. Если стержень растягивается, то его реакция направлена в сторону от рассматриваемого тела, а при сжатии - от стержня к телу.

Составим три уравнения равновесия:

 - алгебраическая сумма проекций сил на ось Х;

 - алгебраическая сумма проекций сил на ось Y;

 - алгебраическая сумма моментов относительно точки А.

Уравнение проекций сил на ось Х имеет вид

;                                                       (1)

Силы F и RAY не вошли в уравнение, так как они перпендикулярны оси Х и их проекции на эту ось равны нулю.

Проекции силы на ось Y:

                                         (2)

реакция RAX перпендикулярна оси Y, и ее проекция на эту ось равна нулю.

Для составления уравнения моментов за центр моментов принимаем точку А. Плечо силы RB равно длине перпендикуляра, восстановленного из точки А (центра моментов) к линии действия силы RB. Из рис. 1,б видно, что AD = (a + b)cos60°.

            (3)

Подставив числовые значения, получим

 Н.

Выразим из (2)

.

Подставив значения сил, получим

 Н.

Из (1)

Проверим правильность решения задачи, составив уравнения моментов относительно точки В:

Подставим числовые значения:

Задача решена верно, так как при подстановке получили тождество 0 = 0.

Полная реакция опоры

 Н.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 36. Для балки (рис. 1, а) определить опорные реакции по следующим данным:  м,  м,  м,  кН,  кН,  кН/м, кНм.

Рис.1

 

Решение. Освободим балку от связей, отбросив опоры и приложив вместо них неизвестные реакции (рис. 1, б). Напомним, что для плоской системы параллельных сил достаточно двух уравнений равновесия:

; .

Уравнение моментов относительно точки А

;

          (1)

Уравнение моментов относительно точки B

;

.            (2)

Из уравнения (1)

 кН.

Из уравнения (2)

 кН.

Значение реакции RB получено со знаком «минус». Это означает, что она направлена вертикально вниз.

Для проверки правильности найденных реакций опор балки составляем уравнение

;

или

.

Следовательно, RA и RB определены верно.

Ответ:  кН;  кН.

 

Пример 37. Для жестко заделанной консольной балки (рис. 1) найти реактивный момент и составляющие реакции заделки.

Принять  кН,  кН/м,  кНм,  м.

Рис.1

 

Решение. Освободим балку от связи, условно отбросив заделку и приложив вместо нее к балке две неизвестные составляющие силы реакции RAX, RAY и реактивный момент MА. Для плоской системы произвольно расположенных сил составим три уравнения равновесия - два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки А:

                                               (1)

                                        (2)

                   (3)

Из уравнения (1) получим:

 кН.

Из уравнения (2)

где

 кН.

Тогда

 кН.

Из уравнения (3)

но

 м,

тогда

 кН×м.

Проверим правильность решения, составив уравнение моментов относительно точки С:

Или, подсчитав числовые значения, получим:

;

;

.

Задача решена верно.

Значения составляющих RAX и RAY получились со знаком «минус». Это означает, что предварительно выбранное направление оказалось ошибочным. Фактическое направление будет обратным, т. е. составляющая RAX направлена влево, а RAY - вниз.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кН×м.

 

Пример 38. Для балки (рис. 1) определить реакции опоры защемления в точке А, если  кН/м,  кН и кНм.

Рис.1

 

Решение. Освобождаем балку от связей (заделки) и заменяем связи силами реакций связей. В этом случае в точке А балки возникают силы реакции cвязи в виде силы RA и реактивного момента МА.  кН (рис. 1, б). Выбираем систему координат X и Y с началом в точке А. Для решения задачи составляем три уравнения равновесия:

  

(Последнее уравнение принимают в качестве проверочного). Уравнения равновесия принимают вид

; ;                               (1)

; ;             (2)

; .                                                                      (3)

Из уравнения (1) реактивный момент:

,

или

 кНм.

Из уравнения (2):

 кН.

Из уравнения (3) получаем 72 - 36 - 36 = 0. Следовательно, реакции MА и RA опоры А защемления балки по величине определены верно, направление реакции МА необходимо изменить на обратное.

Ответ:  кН;  кНм.

 

Пример 39. Для заданной консольной балки (рис. 1,a) определить опорные реакции заделки.

Рис.1

 

Решение. Рассматриваем равновесие балки АВ. К ней приложены заданные активные силы F1, F2 и момент М. Рассматривая тело АВ как свободное, отбрасываем связь (заделку), заменяя ее действие реакциями - реактивным моментом MA и составляющими реакциями RX и RY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 1, б. Для получения плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точку А (точку пересечения двух неизвестных сил):

1).

 откуда  кНм.

2).

 отсюда  кН.

3).

 отсюда  кН.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

Следовательно, реакции определены верно. Реакция RY получилась отрицательной, значит, ее действительное направление противоположно предварительно выбранному. Примененная система уравнений равновесия наиболее целесообразна при рассмотрении равновесия любых консольных балок.

Полная реакция опоры :

 кН.

Ответ:  кН;  кНм.

 

Пример 40. Определить реакции опор балки (рис. 1), если  кН,  кН,  кНм,  кНм,  кН/м,  кН/м.

Рис.1

 

Решение. Рассматриваем равновесие балки СА. К ней приложены заданные сосредоточенные силы F1, F2, равномерно распределённые нагрузки q1, q2 и моменты M1, M2. Рассматривая тело СА как свободное, отбрасываем связь (заделку), заменяя ее действие реакциями - реактивным моментом MA и составляющими реакциями RAX и RAY по осям координат. Расчетная схема изображена на рис. 1. Для получения плоской произвольной системы сил составляем три уравнения равновесия, выбрав в качестве центра моментов точку А (точку пересечения двух неизвестных сил):

 

 

 

Отсюда:

кНм;

 кН;

 кН.

Составляем проверочное уравнение равновесия:

Значит, реакции определены верно. Реакция RAY и реактивный момент MA получились отрицательными, следовательно, их действительные направления противоположны предварительно выбранным.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кНм.

 

Пример 41. Механизм манипулятора, состоящий из трёх звеньев, соединённых шарнирами, в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости (рис. 1, а).

Длины и массы звеньев: l1 = 1,2 м; l2 = 0,7 м; m1 = 55 кг; m2 = 40 кг; углы , . Найти моменты сил приводов в шарнирах А и В, если рука ВС манипулятора удерживает деталь, масса которой m = 30 кг. Звенья считать однородными стержнями.

Решение. На звенья манипулятора действуют силы тяжести G1, G2, приложенные в середине звеньев 1 и 2, сила тяжести детали G, приложенная в точке С звена 2 (рис. 1, б). Все силы направлены вертикально вниз.

Рис.1

 

Сначала вычислим проекции звеньев на ось Ах:

 м;

 м.

Моменты сил приводов в шарнирах:

Нм;

 Нм.

Моменты МА и МВ – это реактивные моменты, направленные против хода часовой стрелки.

Ответ:  Нм;  Нм.

 

Пример 42. Пример имеет своим прототипом схему подъема мачтовых опор ЛЭП с помощью тягачей (рис. 1).

Рис.1

 

Решение. Рассмотрим эту схему.

Мачта АВ, лежащая возле заранее подготовленного фундамента, соединяется с ним шарниром А. Затем с помощью канатной тяги ВDС она поднимается до вертикального положения. При этом вспомогательная штанга КD облегчает работу в начальной стадии подъема, отводя направление тяги несколько вверх. Здесь осуществляется типичный случай равновесия трех сил, расположенных в одной плоскости (в данном случае - в вертикальной). Эти силы сходятся в некоторой точке О, определяемой пересечением каната с линией силы тяжести мачты. Искомая реакция также выходит на эту точку.

Графическое решение задачи состоит в том, что считая силу тяжести мачты, а также ее угол и угол каната с горизонтом известными, необходимо построить на векторе F в определенном масштабе замкнутый силовой треугольник при точке О, которую выгодно вынести в сторону от основного чертежа. Стороны треугольника должны быть строго параллельны направлениям искомых сил, тогда величины этих сил будут найдены прямым измерением сторон треугольника в миллиметрах и умножением их на выбранный масштаб.

Аналитическое решение задачи состоит в использовании уравнений равновесия, система которых для произвольных сил на плоскости имеет вид:

;

;                                                                (1)

Решение показано на несколько видоизмененной схеме (рис. 2).

Рис.1

 

Пусть мачта АВ в данный момент подъема составляет с горизонтом угол, равный 75°, а тяга ВК наклонена к горизонту под углом 35°. Угол между мачтой и канатом получается равным 40°. Пусть центр тяжести С делит длину мачты на отрезки а = 7 м и b = 12 м. Вес мачты  Н (масса - 14 т). Требуется определить силу N натяжения каната и реакцию опоры .

Решение. За начало координат принять шарнир А, направив ось Х в сторону наклона мачты, а ось Y - вверх. Тогда уравнение моментов примет вид

                     (2)

где  (плечо силы N относительно центра моментов А).

Отсюда

 Н.

Уравнения проекций сил на координатные оси:

;                                 (3)

,

откуда

 Н;

 Н.

Положительные значения реакций указывают на то, что их направления на чертеже выбраны верно (не забудьте, что ось Х здесь направлена влево!).

Полная реакция шарнира RA

 Н.

Её угол с горизонтом легко определяется по тангенсу.

Для проверки решения нужно убедиться, что линия действия реакции RA действительно выходит на точку пересечения линий сил F и N.

Ответ:  Н;  Н.

 

Пример 43. Пластинка ОА, поворачиваясь относительно оси шарнира О, может устанавливаться под любым углом к горизонту (рис. 1, а). На пластинке лежит тело В весом G. Определить наибольший угол наклона пластинки, при котором тело будет оставаться в равновесии.

а)                                                                             б)

Рис.1

 

Решение. Примем систему координат Оху. На тело В действуют сила тяжести G, нормальная реакция R и сила трения Ff (рис. 1, б).

Составим уравнения равновесия тела:

; ;

; ,

из которых найдём

.

Заметим, что отношение силы трения Ff к нормальной реакции R есть коэффициент трения f. Тогда угол  будет углом трения : . Таким образом, для равновесия тела необходимо, чтобы выполнялось условие .

С помощью рассматриваемого простого устройства можно экспериментально определять коэффициенты трения скольжения.

Например, в момент начала движения стального бруска по стальной пластине  следовательно, коэффициент трения стали по стали

Ответ:

 

Пример 44. Груз весом G = 280 Н подвешен в точке Е горизонтальной балки АВ весом G1 = 160 H. Балка АВ укреплена при помощи шарнира А и свободно опирается концом В на балку СD весом G2 = 120 H. Балка CD имеет шарнир С и концом D опирается на гладкую вертикальную стену. Расстояние АЕ = 1/4 АВ; CB = 1/3 CD. Определить реакции опор A, C и D (рис. 1).

Рис.1

 

Решение. Реакции шарниров А и С, не известные по направлению, разложим на составляющие RAX, RAY, RCX, RCY. Реакция стены RD направлена перпендикулярно к ней (рис. 2, a). Пять неизвестных величин RAX, RAY, RCX, RCY, RD нельзя определить из системы трех уравнений равновесия. Поэтому произведем расчленение балок, т. е. рассмотрим отдельно равновесие сил, приложенных к каждой из балок.

На балку АВ действуют заданные силы веса G и G1, составляющие RAX, RAY реакции шарнира А и реакция RB балки CD, направленная по нормали к ее поверхности (рис. 2, б).

а)                                                                             б)

Рис.1

 

На балку CD действуют вес балки G2, приложенный в середине CD, реакция  балки АВ, равная по модулю реакции RB и противоположная ей, составляющие RCX, RCY реакции шарнира С и реакция стены RD.

Составим по три уравнения равновесия сил, действующих на каждую балку, и определим шесть неизвестных величин RAX, RAY, RCX, RCY, RD, .

Для сил, приложенных к балке АВ, получим:

;;

; ;                                                                           (1)

; .

Для сил, приложенных к балке CD:

;

;                     (2)

;

.

Из системы уравнений (1) имеем:

 Н;

 Н;

 Н.

Так как , из системы уравнений (2) следует, что

Н;

 Н;

 Н.

Знаки в ответах показывают, что сила RCX направлена влево, а действительные направления остальных сил совпадают с указанными на схеме.

Полная реакция опоры

 Н.

Полная реакция опоры

 Н.

Ответ:  Н;  Н;  Н.

 

Пример 45. Две балки АВ и ВС одинаковой длины l = 3 м соединены между собой шарниром В (рис. 1,а). Конец А балки АВ заделан в вертикальной стене, а конец С балки ВС опирается на подвижную опору, расположенную под углом = 30° к оси балки ВС. На балку АВ по всей её длине действует равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q = 3 кH. На балку ВС действует сила F = 10 кH, приложенная в середине балки под углом  = 60° к её оси. Определить реакции опор А и С, а также в шарнире В, пренебрегая силами тяжести балок.

Рис.1

 

Решение. Составная балка АВС находится в равновесии, следовательно, балки АВ и ВС также находятся в равновесии.

Рассмотрим условия равновесия каждой балки в системе координат Аху (рис. 2, б). На балку ВС действуют активная сила F и реакции связей RC, RBX, RBY. Реакция RC подвижной опоры балки ВС направлена по нормали к поверхности опоры. Ни модуль, ни направление реакции RB в шарнире В не известны. Поэтому она представлена в виде двух составляющих: RBX, RBY.

На балку АВ действуют равномерно распределённая нагрузка q, равнодействующая которой Q = ql приложена в середине балки АВ и направлена перпендикулярно к её оси, реакции связей  и , которые, согласно закону действия и противодействия, имеют одинаковые модули и противоположные силам  и  направления ( ), реакции   и пара сил с моментом МА. Итак, балка АВ находится в равновесии при действии сил      и реактивной пары сил с моментом МА.

Составим уравнения равновесия балки ВС:

;

;

.

Уравнения равновесия балки АВ:

;

;

.

Решив эти системы уравнений при   найдём:

 кН;

 кН;

 кН;

 кН;

 кН;

 кНм.

Так как реакции в шарнире В, действующие на балки АВ и ВС, направлены в противоположные стороны, получаем  кН,  кН.

Полная реакция опоры

 кН.

Ответ:  кН;  кН×м;  кН.

 

Пример 46. На губки схвата манипулятора при удержании детали действует сила F = 6 кH (рис. 1, а). Найти реакции в шарнирах А, В, С и силу привода FП, если h1 = 180 мм, h2 = 120 мм, а углы 7°, 9°. Силами трения и силами тяжести звеньев пренебречь.

Решение. Сначала рассмотрим равновесие звена 2 (рис. 1, б).

На него действует сила F, реакция F21 звена 1, направленная вдоль его оси, и реакция шарнира А, представленная её составляющими RAX, RAY.

Составим уравнения равновесия звена 2:

;

;

,

откуда:

 Н;

 Н;

 Н;

 Н.

Рис.1

 

Сила, действующая на звено 1 и направленная вдоль его оси, F12 = F21 = 9112 H.

Рассматривая равновесие шарнира С (рис. 1, в), определим силу привода:

 Н.

Найденные величины используются для расчёта на прочность деталей схвата.

Ответ:  Н;  Н;  Н.

 

Пример 47. Определить усилия в стержнях 8, 9 и 10 фермы, изображённой на рис. 1, а, если F1 = 50 кH, F2 = 70 кH, F3 = 15 кH, F4 = 35 кH, F5 = 15 кH, AB = 4a, KD = 2a.

а)

 

б)                                                                                             в)

Рис.1

 

Решение. Прежде всего определим реакции опор фермы RAX, RAY, RB (рис. 1, б). Для этого составим три уравнения равновесия сил, действующих на ферму:

; ;

 кН;

; ;

 кН;

; ;

 кН.

Для определения усилий в стержнях 8, 9 и 10 проведём сечение I-I. Отбросим левую часть фермы, заменив её действие на оставшуюся часть реакциями разрезанных стержней N8, N9 и N10, направив эти силы в сторону отброшенной части (рис. 1, в). Чтобы определить каждое усилие независимо от двух других, применим систему уравнений равновесия.

Составим уравнения моментов сил, действующих на правую часть фермы, относительно точек Риттера К, В и L, в которых пересекаются по две линии действия усилий:

; ;

 кН;

; ;

 кН;

; ;

 кН.

Ответ:  кН;  кН;  кН.

 

Пример 48.  Для заданной плоской стержневой фермы определить:

1.Статическую определимость

2. Реакции опор от заданных внешних нагрузок

3. Выполнить проверку вычислений реакций опор

4. Определить усилия во всех стержнях фермы методом вырезания

узлов

5. Определить усилие в стержне №3 методом Риттера.

 м; ; ; .

Рис.1

 

Решение. Выбираем и проводим оси координат.

1.Статическая определимость.

где – количество стержней ();

 – количество узлов ();

,

следовательно, заданная ферма статически определима.

2. Вычисляем реакции опор от заданных внешних нагрузок.

Мысленно отбрасываем опоры и заменяем их реакциями (условно вычерчиваем реакции опор на той же расчётной схеме).

 Составляем три уравнения равновесия:

 

 

 

Решая систему этих трёх уравнений с тремя неизвестными, определяем реакции опор.

3. Производим проверку вычисления реакций опор.

    

Подставляем в это выражение полученные числовые значения реакций опор, получаем:

Следовательно,  реакции опор вычислены верно!

4. Определяем усилия во всех стержнях методом вырезания узлов.

Вычисления усилий в стержнях фермы начинаем с узла, в котором сходится не более двух стержней, усилия внутри которых неизвестны. В данной ферме это узлы «В» и «Е». Рассмотрим узел «В» (рис.2). Определяем усилия в стержнях 1 и 4.

Рис.2

 

Мысленно вырезаем узел «В», заменяя действие отброшенной части фермы усилиями в стержнях 1 и 4. Усилия в них направляем от узла.

Вычерчиваем узел с приложенными к нему внешними нагрузками, проводим оси координат. Поскольку рассматриваемый узел находится в равновесии, составляем два уравнения равновесия (по количеству неизвестных):

                          (1)

                       (2)

Из (1) уравнения вычисляем , из (2) уравнения вычисляем :

Рассмотрим узел «А» (рис.3). Определяем усилия в стержнях 2 и 3.

Рис.3

 

                         (3)

                                    (4)

Из (3) уравнения вычисляем , из (4) уравнения вычисляем :

.

Рассмотрим узел «С» (рис.4). Определяем усилия в стержнях 5 и 6.

Рис.4

 

        

         

Этот узел относится к лемме о нулевых стержнях.

Рассмотрим узел «Е» (рис.5). Определяем усилия в стержне 7.

Рис.5

 

                      (5)

Для данного узла достаточно одного уравнения равновесия (5), из которого определяем :

Рассмотрим узел «D» (рис.6). Проведем проверку.

Рис.6

 

Для проверочного узла достаточно составить одно уравнение равновесия и проверить его выполнение.

           

Подставляем найденные значения усилий в стержнях и получим:

Следовательно, усилия в стержнях найдены верно!

5. Определение усилия в стержне № 3 методом Риттера.

Рис.7

 

Мысленно рассекаем заданную ферму сечением 1-1 таким образом, чтобы сечение пересекало три и более стержней фермы (рис.7). Необходимо, что бы все эти стержни кроме искомого №3, сходились в одну точку или были бы параллельны друг другу.

Отбрасываем любую (в данном случае левую) часть фермы, заменяя её действие на оставленную (правую) часть фермы усилиями 2,3 и 4.

Вычерчиваем оставленную часть фермы с приложенными к ней внешними нагрузкам в произвольном масштабе, выбираем и проводим оси координат.

Рассматриваемая часть фермы находится в равновесии, следовательно, для неё справедливы три уравнения равновесия статики. В нашем случае необходимо лишь одно уравнение, в которое входит стержень, усилие в котором и требуется найти в условии задачи. Этим уравнением является уравнение суммы моментов относительно точки «Е» (точки Риттера).

Составляя уравнение моментов и решая его относительно неизвестного , определяем искомое усилие в стержне 3.

      

Сравнивая усилие  в стержне №3, вычисленное методом вырезания узлов  с определённым по методу Риттера , видим, что различие составляет , что является допустимой погрешностью вычислений.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов