Примеры решения задач

 

Главная

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

 

Кинематика точки

В задачах данного раздела определяются координаты, скорость, ускорение точки в любой назначенный момент времени при различных способах задания движения. Из всех способов задания движения точки наибольшее распространение получили координатный и естественный способы.

Рассмотрим вначале координатный способ задания движения точки. Положение в пространстве движущейся точки определяется тремя координатами в декартовой системе координат. Эти координаты задаются как функции времени:

;  ;   .                                            (1)

Зависимости (1) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если движение точки происходит в плоскости ху, то задаются только два уравнения движения:

;  .

При прямолинейном движении точки достаточно задать одно уравнение движения:

.

если принять, что ось х совпадает с прямой, по которой движется точка.

Скорость точки представляет собой вектор, характеризующий быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции скорости на оси декартовых координат равны:

;   ;   .

Модуль скорости

.                                           (2)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

    

Если движение точки задается в плоскости ху, то ;      

;  

 

При прямолинейном движении по оси х:

;   .

Характеристикой быстроты изменения скорости является ускорение а. Ускорение точки равно производной от вектора скорости по времени:

.

При задании движения точки уравнениями (1) проекции ускорения на координатные оси равны:

;   ;  .

Модуль ускорения:

.                                           (3)

Направление ускорения определяется направляющими косинусами

         

Если движение точки задается в плоскости ху, то ;   ;

;

      

При прямолинейном движении по оси х

;    .

Далее рассмотрим естественный способ задания движения точки.

Считается, что движение точки задано естественным способом, если указаны ее траектория и закон изменения криволинейной координаты . Уравнение  называется законом движения точки по траектории. При этом на траектории указывается начало отсчета, а также положительное направление отсчета координаты s в виде стрелки .

Модуль скорости точки определяется по формуле

.                                                                   (4)

Вектор скорости V направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную сторону, если .

Ускорение точки определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений точки:

.

Модуль касательного ускорения определяется по формуле

.                                                     (5)

Вектор касательного ускорения  направлен по касательной к траектории в сторону стрелки , если , и в противоположную, если .

Модуль нормального ускорения определяется по формуле

,                                                              (6)

где  – радиус кривизны траектории в данной точке.

Вектор нормального ускорения  всегда направлен по главной нормали в сторону центра кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

.                                                            (7)

Если движение точки задано координатным способом, то можно определить параметры движения, характерные для естественного способа задания движения.

Так можно, например, по уравнениям движения точки (1) найти уравнение ее траектории в форме зависимости между координатами. Для этого надо из уравнений движения исключить время t. Затем можно найти закон движения точки по траектории , используя формулу (4). Из этой формулы следует, что ; с учетом формулы (2) имеем   и  .                                           (8)

В законе движения (8) за начало отсчета координаты s принимается начальное положение точки, когда .  Знак “плюс” или “минус” перед интегралом ставится в зависимости от выбора положительного направления отсчета координаты s: если движение точки начинается в сторону стрелки , то следует брать знак “плюс”, в противном случае – знак “минус”.

Рассмотрим случай, когда движение точки задается в полярных координатах. Пусть точка М движется все время в одной и той же плоскости. Тогда ее  положение можно определить полярными координатами  и  (рис.1)

Рис.1

 

При движении точки  эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями

, .

Скорость точки  численно равна отношению элементарного перемещения  к промежутку времени , то есть /. В данном случае перемещение  геометрически слагается из радиального перемещения, численно равного , и поперечного перемещения, перпендикулярного радиусу  и численно равного . Следовательно, сама скорость  будет геометрически складываться из радиальной скорости  и поперечной (трансверсальной) скорости , численно равных

,   .                                         (9)

Так как  и  взаимно перпендикулярны, то модуль скорости точки  определится по формуле

.                                                  (10)

Формулы (9) и (10) определяют скорость точки в полярных координатах при плоском движении.

Ниже приводятся (без вывода) формулы для определения проекций ускорения  на радиальное и трансверсальное направления, а также для определения его модуля

,                                                 (11)

.

Рассмотрим примеры решения задач.

 

Пример 1. Точка  движется по эллипсу так, что угловая скорость радиуса-вектора , соединяющего точку  с центром эллипса, постоянна и равна . Определить скорость этой точки.

Решение.

Выразим декартовы координаты точки  через полярные координаты  и   (рис.2).

Рис.2

 

  где  .

Подставив эти значения в уравнение эллипса, получим

.

Из последнего равенства для радиуса-вектора имеем

.

Воспользовавшись формулами (1) и (2), найдем радиальную и трансверсальную составляющие скорости

,

,

.

Рассмотрим методику решения задач, в которых движение точки задано координатным способом. Уравнения (1) определяются либо из геометрических условий, либо в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения точки. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки рассматривается в разделе “Динамика точки”. Получение уравнений (1) с использованием геометрии движения рассмотрим на примере исследования движения точки обода колеса.

 

Пример 2. Найти уравнения движения точки М обода колеса радиуса R вагона, который движется по прямолинейному участку пути со скоростью V. Колесо катится без скольжения. Точка М в начальный момент движения соприкасалась с рельсом, т.е. занимала положение М0 (рис. 3).

Image814.gif (3949 bytes)

Рис. 3

 

Решение. Изобразим на расчетной схеме (рис.3) оси координат х и у, начало координат поместим в начальное положение точки М0.

Рассмотрим два положения колеса: в начальный момент t = 0 и в текущий момент времени t.

Отметим положение точки М на ободе колеса и положение центра С колеса в момент t, координаты точки: ,  .

Расстояние от центра колеса до рельса остается постоянным и равным R; это значит, что центр C колеса движется по прямой, параллельной оси х. За время t центр колеса переместится на расстояние  (закон равномерного движения точки C), одновременно колесо повернется на угол .

Чтобы получить уравнения движения точки М, надо координаты этой точки представить как функции времени.

Из расчетной схемы (рис.3) видно, что

, 

или

,   .

Из треугольника МЕС имеем;

,

,

Тогда ,      .                       (12)

Найдем зависимость угла  от времени t: так как колесо катится без скольжения, то длина дуги АМ окружности обода колеса (рис.3) равна длине отрезка М0А.

При этом  ,

но длина дуги АМ равна также произведению радиуса R на центральный угол ; поэтому , отсюда .

Теперь уравнения (12) будут иметь вид

           

Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки М. В аналитической геометрии показано, что это параметрические уравнения циклоиды (параметром в данном случае является время t). Таким образом, траектория точки обода колеса, движущегося по прямолинейному участку пути без проскальзывания, является циклоидой. Длина одной ветви циклоиды L (рис. 3) равна , высота – .

 

Пример 3. Даны уравнения движения точки:

          (где x, y - в метрах, t - в секундах).                        (13)

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

Решение.

1. Для получения уравнения траектории вида  исключим из уравнений движения (13) время t: из первого уравнения системы (13) найдем

подставляя это выражение во второе уравнение той же системы, получим уравнение траектории

.

Это – уравнение прямой линии. Для построения прямой представим ее уравнение в отрезках

,

где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси у. В данном случае а = -5 м, b = 5 м. Откладываем на оси х отрезок а = -5 м, по оси у – отрезок b = 5 м. Через полученные точки проводим прямую (рис. 4).

1_2.gif (3498 bytes)

Рис. 4

 

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение t = 0 в уравнения движения (13)

 м;

 м.

Точка при t = 0 занимает положение М0(-1;4).

3. В момент пересечения точкой оси у координата х равна нулю, а первое уравнение системы (13) примет вид:

.

Отсюда

     

где n = 0, 1, 2 …

В момент пересечения точкой оси х координата у равна нулю, а второе уравнение системы (13) примет вид:

 или .

Но косинус не может быть больше 1. Следовательно, точка не пересекает ось х (см. об этом также п. 4 решения задачи).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (8). За начало отсчета координаты s примем начальное положение точки М0. Подставляя в уравнения (13) значения t > 0, видим, что с выходом из начального положения М0 координаты точки х и у увеличиваются. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку  на рис. 4), а в формуле (8) оставим знак “плюс”:

.

Учитывая, что

          

получим

или

.                                                        (14)

Из закона (14) следует, что координата s не может быть отрицательной, т.е. точка движется по полупрямой М0М (рис.4) и ось х не пересекает (см. по этому поводу п. 3 решения примера).

5. График движения точки – это графическое представление зависимости расстояния s от времени t. Для построения такого графика по оси абсцисс откладывают последовательные значения времени t, а по оси ординат – соответствующие им значения расстояния s. Построенные точки соединяют плавной линией. График зависимости (14) можно построить быстрее, если воспользоваться известным графиком косинуса. Для этого вначале построим график функции  (штриховая линия на рис. 5), затем этот график сместим вдоль оси s на величину  м.

Image835.gif (7085 bytes)

Рис.5

 

Пример 4. Даны уравнения движения точки:

        (где x, y - в сантиметрах, t - в секундах).                    (15)

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на ее траектории.

3. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

4. Определить время T прохождения точкой полной окружности.

Решение.

1. Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения (15) исключить время t. Для этого уравнения движения (15) разрешим относительно  и  и возведем полученные результаты в квадрат

сложим эти уравнения и после преобразования получим

.

Это уравнение окружности радиуса R = 5 см, центр окружности расположен в точке С (-2,5; 5) (рис. 6).

1_4.gif (3507 bytes)

Рис. 6

 

2. Для определения начального положения точки подставим значение времени  в уравнения (15)

 см;      см;

Точка при  занимает положение М0(2,5; 5).

3. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (8). За начало отсчета координаты s примем точку М0. Из системы уравнений (18) видно, что с увеличением времени t от нуля x уменьшается, а y увеличивается.

Такое возможно, если после выхода из начального положения точка будет двигаться по окружности против часовой стрелки. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку  на рис. 6), а в формуле (8) перед интегралом оставим знак “плюс”:

, где     

Отсюда

                                                 (16)

4. Определим время Т прохождения точкой полной окружности. Т – время, по истечении которого s в формуле (16) станет равным длине окружности :

Отсюда Т=4/3 с.

 

Пример 5. Даны уравнения движения точки:

 (где x, y - в метрах, t - в секундах).                            (17)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t = 0 и t = 1 с.

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение: 

1. Уравнение траектории получается подстановкой в первое уравнение системы (17) величины , полученной из второго уравнения этой системы:

                                                              (18)

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где ,  проекции вектора скорости на координатные оси. Для заданного движения (17) имеем

     м/c.

При t = 0:             м/c.

Модуль скорости  = 1 м/c.

При t = 1 сек.:              м/c.

Модуль скорости  = 4,82 м/с.

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где  ,   – проекции вектора ускорения на координатные оси. Для заданного движения (17) имеем

              .

При t = 0:                 .

Модуль ускорения  = 7,4 м/с2.

При t = 1 сек.:               .

Модуль ускорения  = 0.

3. Траектория точки (18) представляет собой косинусоиду.

1_5.gif (5521 bytes)

Рис.7

 

Для построения траектории найдем по уравнению (18) пять точек, задавшись пятью значениями у: у = 0, 1, 2, 3, 4, М0(3; 0), М1(0; 1), М2(-3; 2), М3(0; 3), М4(3; 4). По этим точкам построена траектория на рис. 7.   Определим положение точки в моменты времени t = 0 и t = 1 с, учитывая (17). При t = 0 x0 = 3 м, y0 = 0, точка занимает положение М0(3; 0).

При t = 1 сек. x1 = 0, y1 = 1 м, точка занимает положение М1(0; 1). Для этих положений точки построим векторы скорости и ускорения. От точки М0 отложим проекции скорости V0x = 0 и V0y = 1 м/с (см. п.2); направление вектора  показано на рис. 7. Вектор скорости  построим следующим образом: через точку М1 проведем оси  и , ось  параллельна оси x, а ось  совпадает с осью y. Вдоль этих осей от точки М1 отложим отрезки, равные проекциям V1x и V1y (с учетом их знаков); затем построим прямоугольник, диагональ которого есть вектор . Модуль вектора ускорения  равен модулю проекции a0x (см. п. 2),  направлен от точки М0 в сторону, противоположную положительному направлению оси x (cкорости , должны совпадать с касательными к траектории соответственно в точках М0 и М1. Вектор  должен быть направлен от точки М0 внутрь кривой).

 

Пример 6. Даны уравнения движения точки:

;    (где x, y - в метрах, t - в секундах).                       (19)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t = 1 с.

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение

1. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений движения (19) исключить время. Запишем эти уравнения в виде

  

Возведем оба уравнения в квадрат, вычтем второе из первого и получим уравнение траектории:

.                                                      (20)

Это уравнение равнобочной гиперболы, полуось которой b = 4 м.

2. Определим проекции скорости

 м/с;             м/с.            

В заданный момент времени t = 1с, V1x = 4,68 м/с, V= 6,16 м/с модуль скорости  м/с.

Определим проекции ускорения

 м/с2,       м/с2 .

В момент времени t = 1с, а1x = 6,16 м/с2, а= 4,68 м/с2 модуль ускорения  м/с2.

3. Построим траекторию точки по уравнению (20). Действительной осью гиперболы является ось х (рис. 8). На траектории найдем точку М1, соответствующую моменту времени t = 1 сек. Координаты этой точки:  м;      м;        М1 (6,16; 4,68).

 

Image883.gif (6077 bytes)

Рис. 8

 

Вектор скорости построим следующим образом: через точку М1 проведем оси  и , параллельные соответствующим осям x и y; вдоль этих осей от точки М1 отложим отрезки, равные проекциям V1x и V1y (с учетом их знаков). Диагональ прямоугольника, построенного на этих отрезках, есть вектор . Вектор ускорения  строим подобным образом: от точки М1 вдоль оси  отложим отрезок, равный проекции a1x, а вдоль оси  отложим отрезок a1y. Затем на этих отрезках строим прямоугольник, диагональ которого есть вектор . Вектор скорости  должен быть направлен по касательной к траектории в точке М1, а вектор ускорения  должен быть направлен от точки М1 внутрь кривой.    

 

Пример 7. Даны уравнения движения точки М шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма (рис. 9):

;   (где x, y - в метрах, t - в секундах).          (21)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки в момент, когда она пересечет прямую y = 20 см.

1_7.gif (3847 bytes)

Рис. 9

 

Решение.

1. Чтобы определить уравнение траектории, следует исключить время из уравнений движения (21). Учитывая, что

,

получим

Траектория представляет собой эллипс с полуосями 20 см и 40 см.

2. Определим время Т, когда точка пересечет прямую у = 20 см, первое уравнение системы (21) в этот момент примет вид: , отсюда следует ;   ;     сек.

Найдем величины скорости и ускорения по значениям их проекций в момент времени  с:

;                

Модуль скорости см/с.

Проекции ускорения

 

Модуль ускорения

 см/с2.

 

Пример 8.

Дан закон движения точки по окружности радиуса R = 5 м:

  (где s в см; t в сек.).                                              (22)

1. Определить скорость и ускорение точки при t = 0 и t1 = 10 с.

2. Определить моменты остановки точки.

3. Определить путь, пройденный точкой за 10 с.

Решение

1. На траектории отметим точку O – начало отсчета координаты s и укажем положительное направление отсчета этой координаты стрелкой  (рис. 10). Отметим положение точки в моменты времени t = 0 и t1 = 10 с. При t = 0, s0 = -15 см; при t1 = 10 с, s1 = 355 см. Положение точек М0  и М1  указано на рис.10. Проведем из точек М0  и М1  естественные оси координат , , , .

1_8.gif (3440 bytes)

Рис. 10

 

Определим проекцию скорости на касательную , учитывая (22),

.                                           (23)

При t = 0,         = 162 см/с             

и     t1 = 10 c,     = 12 см/с.

Теперь отложим найденные проекции скорости из точек M0 и M1 по соответствующим касательным:  – по касательной ,  – по касательной . Векторы  и  совпадают со своими проекциями  и .

Определим проекции ускорения на естественные оси координат, учитывая (22),

 см/с2;        

Ускорение точки .

При t = 0:        см/с2;           

 см/с2.

При t1 = 10 сек.:          см/с2;           

 см/с2.

Отложим из точек М0 и М1 по естественным осям проекции , , , . Векторы ,  изображаются диагоналями прямоугольников, построенных на проекциях ускорений.

2. Чтобы найти моменты остановки, необходимо найти время , когда скорость точки равна нулю. Из уравнения (23) получим

.

Решив это уравнение, будем иметь  = 6 с,     = 9 с.

3. Поскольку за 10 с точка сделала две остановки (см. п. 2), пройденный ею путь за 10 с можно найти как сумму пути, пройденного точкой от начального положения до первой остановки, пути, пройденного точкой от первой до второй остановки, и пути, пройденного точкой от второй остановки до момента времени t1 = 10 с, т.е.

,

где s0 = -15 см;

 см;

 см;

 см.

Путь, пройденный точкой за 10 сек, равен

 см.

 

Пример 9.

По заданным уравнениям движения точки:

;          (где x, y - в метрах, t - в секундах).               (24)

найти ее касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории для заданного момента времени сек.

Решение:

Заданные уравнения движения точки (24) позволяют найти проекции скорости точки, м/с,

;

.

Модуль скорости, м/с,

.                                    (25)

В момент времени сек.:  V1 = 2 м/с.

Проекции ускорения точки, м/с2:

;

.

Модуль полного ускорения, м/с2

.                                        (26)

В момент времени сек.:   a = 2 м/с2.

Зная выражение скорости, как функции времени t (25), определим модуль касательного ускорения точки, м/с2, по формуле (5)

                                              (27)

В момент сек.:   м/с2.

По полному ускорению (26) и касательному ускорению (27) найдем модуль нормального ускорения точки для сек., учитывая формулу (7)

 м/с2.

Нормальное ускорение  и радиус кривизны траектории  связаны зависимостью (6), из которой следует, что при  сек.:   

.

 

Пример 10. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

     (где x, y - в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 =1 сек. найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания. Задача относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

Решение.

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

 или .                        (28)

Из уравнения движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (28). Получим

,      ,

следовательно,   .

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. 11):

.                                                           (29)

 

Рис. 11

 

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси

                         

и при t =1с          .                                          (30)

3. Аналогично найдем ускорение точки

                   

и при  сек. ,  .                     (31)

4 Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

 .

Получаем   и  .                     (32)                        

Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (32), определены и даются равенствами (30) и (31). Подставив в (32) эти числа, найдем, что при  сек.  = 0,66 2.

5. Нормальное ускорение точки . Подставив сюда найденные числовые значения  и , получим, что при  сек.  = 0,58 2. 

6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения V и , найдем, что при  сек.  = 3,05 см.

Ответ: V = 1,33 /c, = 0,88 2, = 0,66 2,  = 0,58 2,   = 3,05 см.

 

Пример  11. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону  (s- в метрах,  t – в секундах),  где  s = AM (рис.12). Определить скорость и ускорение точки в момент времени  сек. 

Рис.12

 

Решение.

Определяем скорость точки

 

При  сек.  получим .

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим

.

При  сек.  получим, учтя, что м:

,

 .

Тогда ускорение точки при  сек.  будет

.

 

Пример  12. По заданному уравнению движения точки М

 (где - в см)

Установить вид ее траектории и для момента  сек.  найти положение точки на траектории, ее скорость и ускорение.

Решение:

Определяем вид траектории движения точки М.

Движение точки М задано векторным способом

                                                                                   (33)

Выберем систему отсчета xoy (рис. 13).

Построим векторы , , , подставляя время t0= 0 сек.,  t1= 1 сек.,  t2= 2 сек. в (33)

,

.

Рис. 13

 

Соединяя концы радиусов-векторов, получим траекторию точки М.

Рисунок показывает, что траекторией движения является луч, параллельный оси x, с началом в точке М0.

Положение точки М на траектории при  сек.  определяет  радиус-вектор .

Скорость точки М находим по формуле

.

Величина скорости

 см/с = const - означает, что движение точки равномерное.

- вектор скорости  параллелен оси X и совпадает с ее положительным направлением  (рис. 15).

Ускорение точки М

.

Ответ: точка совершает прямолинейное равномерное движение.

 

Пример  13. По заданным уравнениям движения точки М

,         (где x, y - в см)

установить вид ее траектории и для момента времени  сек.  найти положение точки на траектории, ее скорость, ускорение.

Решение:

Определяем вид траектории.

Движение точки М задано координатным способом

,                                                                            (34)

Исключая время  из уравнений движения (34), найдем вид траектории точки М в координатной форме.

Так как время  входит в аргументы тригонометрических функций синуса и косинуса, то, используя формулу

, получим

Траекторией движения точки М является эллипс (рис. 14).

Центр эллипса С имеет координаты

.

Полуоси эллипса а=2 см, b=3 см.

Рис.14

 

Определяем положение точки на траектории при  сек. 

Подставляя время  сек.  в (34), получим

,

.

Точку с координатами ,   обозначим  на траектории через М1.

Скорость   точки М определим через ее проекции на координатные оси.

, , где

,

.

Тогда

.

Так как величина скорости  зависит от времени , то движение точки неравномерное.

При  сек. 

,

Построим на рис.14 вектор скорости точки М1.

 или .

В точке М1 параллельно осям x, y, в выбранном масштабе, откладываем

.

Вектор  - диагональ прямоугольника, построенного на и ,  как на сторонах.

Контроль: вектор скорости  должен лежать на касательной, проведенной к эллипсу в точке М1.

Ускорение  точки М находим аналогично, то есть , .

,

,

.

В момент времени  сек. 

,

.

Построим на рис. 14 вектор ускорения .

В точке М1 параллельно осям X  и Y отложим

.

Вектор  - диагональ прямоугольника, построенного на ,   как на сторонах.

Контроль: вектор ускорения  должен лежать в плоскости траектории и направлен в сторону ее вогнутости.

Ответ: точка М совершает криволинейное в данный момент ускоренное движение, т.к. угол между векторами  и  острый.

 

Пример  14. Даны уравнения движения точки М в плоскости xy:

,  (где x, y - в сантиметрах,  - в секундах).

Найти уравнение траектории точки М; для момента времени  сек.  найти положение точки на траектории, ее скорость, полное ускорение, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны в соответствующей точке.

Решение:

1.      Исключая время  из уравнений движения

               (35)

найдем уравнение траектории.

Из второго уравнения подставляя это значение  в первое уравнение, получим

 или   – уравнение параболы.

Заметим, что траекторией движения является только верхняя ветвь параболы, т.к. время t>0 и значения .

Рис.15

 

2.      Полагая время  сек., в уравнениях (35) найдем координаты, определяющие положение точки на траектории в этот момент времени

.

Точку с координатами =6, =2 на траектории обозначим М1.

3.      Величину скорости точки М найдем по ее проекциям на координатные оси:

, где

,

.

Тогда

.

Поскольку величина скорости зависит от времени , то движение точки неравномерное.

В момент времени  сек. 

.

Выберем масштаб и построим вектор скорости в положении М1 по составляющим и

 - диагональ прямоугольника, сторонами которого являются

, .

Причем, вектор скорости  должен по направлению совпадать с касательной, проведенной к траектории в точке М1.

4.      Модуль ускорения точки М определяем аналогично

, где

,

.

Полное ускорение

является постоянным во все время движения точки.

Выберем масштаб, построим вектор ускорения (рис.15):

,  .

Вектор ускорения должен лежать в плоскости траектории и направлен в сторону ее вогнутости.

5.      Проведем через точку М1 (рис.15) ось  вдоль касательной и ось   – вдоль нормали в сторону вогнутости траектории.

Разложим полное ускорение на составляющие вдоль этих осей

, где

- касательное ускорение точки М;

- нормальное ускорение точки М.

Из рисунка ,

Аналитически касательное ускорение определяется по формуле

и характеризует изменение скорости по величине.

Если – движение ускоренное,

Если – движение замедленное.

Найдем

Т.к. время t > 0, выражение , следовательно, движение точки М ускоренное.

В момент  сек. 

 соответствует значению на рисунке).

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. В случае криволинейного движения, оно всегда существует и определяется по формуле

, где - радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Т.к. радиус кривизны параболы в точке М1 не известен, то величину нормального ускорения можно определить  следующим образом:

В момент  сек. 

соответствует значению на рисунке).

Радиус кривизны параболы в точке М1 найдем из выражения

Заметим, что совпадение величин ,  найденных на рис.15 с их значениями полученными аналитически подтверждает, что задача решена верно.

Ответ: точка М совершает криволинейное ускоренное движение, т.к. вектор касательного ускорения во все время движения совпадает с направлением вектора скорости.

Пример 15. Точка М движется по окружности радиуса R = 2м по закону м.

Найти скорость  и ускорение  точки М в момент времени  сек. Установить вид движения точки М в этот момент времени.

Решение:

Траектория движения точки М – окружность радиуса 2м.

Воспользуемся естественным способом задания движения точки. Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О (рис.16), которую примем за начало отсчета, и укажем на траектории положительное и отрицательное направления отсчета. Положение точки М на траектории определим дуговой координатой S, которая с течением времени будет изменяться по закону

                                                                                  (36)

1) Установим, где находится точка М на окружности в момент времени t1.

Полагая в уравнении (36)  сек., получим м.

Тогда .

Знак плюс означает, что угол  надо отложить в сторону положительного отсчета S. На траектории получим точку М1. Через точку М1 проведем ось  по касательной к траектории в сторону положительного отсчета S; ось  - по нормали к траектории и направленную в сторону вогнутости траектории.

Рис.16

 

2) Определим скорость точки М.

.

В момент  сек.

.

Знак плюс означает, что  откладываем вдоль касательной влево.

3) Ускорение точки М находим через его касательную   и нормальную  составляющие.

Касательное ускорение

.

Нормальное ускорение , где  - радиус кривизны окружности,

 м.

В момент времени  сек.

.

Знак минус означает, что  откладываем вдоль касательной вправо, в сторону отрицательного отсчета S.

 м/c2.

 откладываем вдоль нормали, в сторону вогнутости траектории.

Ускорение точки М

,

 м/c2.

Ответ: точка М совершает криволинейное, в данный момент замедленное движение, т.к. вектор скорости  и касательное ускорение  не совпадают по направлению.

 

Пример 16. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени  сек. найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

;    .      

Решение.

Исходные данные в см и сек:

;

;                                                          (37)

t1 = 0,5 сек.

Уравнения движения (37) являются параметрическими уравнениями траектории точки М. Чтобы получить уравнение траектории в обычной координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда

                                               (38)

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

 см/с;   см/с.

Модуль скорости точки

 .                                               (39)

Аналогично проекции ускорения точки

 см/с2;  .

Модуль ускорения точки

см/с2.

Касательное ускорение находим путем дифференцирования модуля скорости (39)

При t = 0,5 c

x = -2×0,52 + 3 = 2,5 см,        y = -5×0,5 = -2,5 см.

Vx = -4×0,5 =-2 см/с,      Vy = -5 см/с,       V = 5,38 см/с.

ax = -4 см/с2,   ay = 0,   a = 4 см/с2

 см/с2

Модуль касательного ускорения

 = 1,487 см/с2

Знак “+” при  показывает, что движение точки ускоренное и, следовательно, направления совпадают.

Нормальное ускорение точки:

см/с2.

Радиус кривизны траектории в той точке, где при t = 0,5 с находится точка М:

 см.

Пользуясь уравнением (38), строим траекторию (рис.17) и показываем на ней положение точки М в заданный момент времени. Вектор  строим по составляющим  и , причем он направлен по касательной к траектории точки. Вектор  находим как по составляющим и , так и по  и .

Рис. 17

 

Пример 17. По дуге радиусом r=1200 м движется поезд (рис.18), его скорость в начале движения по дуге составляет =60 км/ч. После того как поезд прошел расстояние 800 м, его скорость уменьшилась до 36 км/ч. Определить полное ускорение в начале и конце движения.

Рис.18

 

Указание. В задаче рассматривается равнопеременное движение точки. Следует учесть, что при использовании уравнения равнопеременного движения точки  по криволинейной траектории кроме касательного ускорения , у точки возникает нормальное тангенциальное ускорение , направленное по радиусу кривизны траектории к ее центру.

Решение.

Определим касательное ускорение из уравнений:

, 

Из второго уравнения

Из первого уравнения

Так как равномерно замедленное, то касательное ускорение в течении всего времени движения постоянно. Найдем  нормальное ускорение:

в начале движения   = 16,72/1200=0,23 м/с2,

в конце движения    = 102/1200=0,08м/с2.

Полное ускорение:

в начале движения

в конце движения

 

Пример 18. Уравнение движения тела имеет вид . Определить ускорение a0 и скорость тела v0 в начальный момент времени, а также среднее ускорение aср за первые 5 секунд движения.

Решение.

Поскольку , то

.                                       (1)

Далее, из  получим

.                                    (2)

Подставив в (1) и (2) t=0, найдем v0=5 м/с, а0=0 м/с2.

Среднее ускорение находим по определению , то есть  , где скорость в момент времени t=5c находим из (1):  м/с. Окончательно

 

Пример 19. Начальная скорость брошенного под некоторым углом к горизонту камня равна 10 м/с, а спустя 0,5 с скорость камня равна 7 м/с. На какую максимальную высоту  над начальным уровнем поднимется камень?

Решение.

Максимальная высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту, может быть найдена из общей формулы пути при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось

с учетом, что в наивысшей точке траектории отсутствует вертикальная составляющая скорости vy=0, а :

.                                         (1)

Неизвестную проекцию начальной скорости на вертикальную ось v0y можно найти из формулы скорости при равнопеременном движении в проекции на вертикальную ось:

                                  (2)

 и теоремы Пифагора для полной скорости в начальный момент времени и спустя время t после начала движения:

,                                (3)

 .                                 (4)

Здесь учтено, что проекция скорости на горизонтальную ось  не изменяется, так как . Вычтем почленно (4) из (3), и с учетом (2) получим:

.                  (5)

Из (5) находим v0y:

.

Далее из (1) находим высоту подъема:

.

 

Пример 20. Определить тангенциальное , нормальное an и полное ускорение a точки окружности диска для момента времени t=10 с от начала движения, если радиус окружности R=0,2 м, а угол между осью ОХ и радиус-вектором  точки изменяется по закону: .

Решение.

По формулам  и  находим угловую скорость и угловое ускорение точки: , . Из формулы связи углового и линейного тангенциального ускорения найдем:

  м/с2.

Нормальное ускорение найдем из формулы , где скорость

м/с;

Теперь находим полное ускорение: .

 

Пример 21. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

,    

 (х, у - в метрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение.

1.Для определения траектории исключим из заданных уравнений движения время t, воспользовавшись подстановкой:

Из полученного выражения следует, что траекторией движения точки является парабола с нисходящими ветвями и осью, параллельной оси у; вершина параболы находится в точке с координатами х = -3 м, у = 0.

2.Найдем проекции вектора скорости на оси координат:

Подставив t1 = 1 с в полученные выражения, находим

   

Скорость точки в момент времени t1 = 1 с

Найдем проекции вектора ускорения:

        

Для момента времени t1 = 1 с

               м/с2.

Касательное ускорение найдем по формуле

 м/с2.

Нормальное ускорение

м/с2.

Вычислим радиус кривизны траектории в том месте, где находится точка в момент времени t1 = 1 с:

 м.

Рис.19

 

3.Пользуясь уравнением траектории, вычерчиваем параболу (рис. 19) и показываем на ней точку М в заданный момент времени по ее координатам. Вектор скорости  строим по составляющим  и ; он должен быть направлен по касательной к траектории. Вектор ускорения  находим по его составляющим  и . Далее найденный вектор раскладываем на направления касательной и нормали и получаем векторы касательного  и нормального  ускорений. Полученные таким образом значения  и  должны совпасть с результатами их подсчета по формулам.


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Строительная механика   Сопротивление материалов

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов