Главная
Лекция 5 (продолжение). Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч,
догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч, и вскакивает
на нее. 1) С какой скоростью станет двигаться тележка? 2) С какой скоростью
будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу?
Задача 2. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду,
бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние
откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о
лед равен 0,02.
Задача 3. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросает
вперед в горизонтальном направлении камень массой 2 кг. Тележка с человеком
покатилась назад, и в первый момент после бросания ее скорость была равна 0,1
м/с. Масса тележки с
человеком равна 100 кг. Найти кинетическую энергию брошенного камня через 0,5 с
после начала его движения. Сопротивлением воздуха при полете камня пренебречь..
Задача 4. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на
металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно
отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если
известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?
Задача 5. Радиус вала махового колеса r=10-2 м. На
вал намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=0,2 кг. Под действием силы тяжести груз опускается за t=5 с с высоты h1=1,2 м, а
затем, вследствие вращения колеса, по инерции поднимается на высоту h2=0,8
м. Определить момент инерции колеса.
Задача 6. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м
вращается с угловой скоростью, соответствующей 20 об/мин. В центре платформы
стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в
минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшить свой
момент инерции от 2,94 кг∙м2 до 0,98
кг∙м2? Считать платформу круглым однородным диском.
Задача 7. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через
центр платформы, с частотой n1 = 10
об/мин. Человек массой m0
= 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от
края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека -
материальной точкой.
Задача 8. Математический маятник массы m1 и стержень массы m2
подвешены в одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться (рис.1).
Длина нити маятника равна длине нити стержня. Шарик маятника отклоняют в
сторону так, что он приподнимается на высоту h относительно своего нижнего положения. Затем шарик
отпускают, и он неупруго сталкивается со стержнем.
Как будут двигаться шарик и нижний конец стержня после удара
и на какие высоты они поднимутся?
Рис.1
Задача 9. Блоки радиусами r1 и r2 (рис.2) жестко скреплены между собой и насажены на
общую ось. Грузы 1 и 2 массами m1 и m2, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во
вращение. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М1 и М2 соответственно, определить, через сколько времени
скорость груза 1 станет равной v1, если движение начинается из состояния покоя и при
вращении на блоки действует постоянный момент сил сопротивления М.
Рис.2
Задача 10. Блоки (рис.3) радиусами r1 и r2 жестко скреплены между собой и насажены на общую ось.
Груз 2 массы m2, разматывая намотанную на блок нить, приводит блоки
во вращение и поднимает груз 1 массы m1. Считая, что на блоки действует момент сил
сопротивления 
, где 
– постоянная,
определить угловую скорость вращения блоков, если движение начинается из
состояния покоя. Блоки считать однородными дисками массами М1 и М2 соответственно, массой нитей пренебречь.
Рис.3
Задача 11. Груз 1 массы m1
(рис.4) поднимается посредством каната, навитого на барабан 2, к которому
приложен постоянный вращающий момент М.
Барабан 2 представляет собой однородный цилиндр радиуса r и массы m2.
Определить угловую скорость вращения барабана как функцию времени, если
движение начинается из состояния покоя, а при
вращении возникает момент M1
сил сопротивления, пропорциональный угловой
скорости 
, 
, где – постоянная.
Рис.4
Задача 12. Груз 1 массы m
(рис.5) поднимается при помощи ворота, на который действует момент
сопротивления, пропорциональный угловой скорости его вращения, , где – постоянная. Масса барабана ворота равна m1, радиус барабана r,
длина рукоятки ОА = l. Считая силу F, приложенную перпендикулярно к рукоятке ОА, постоянной по величине, определить закон движения груза 1, если
в начальный момент он покоился. Барабан считать однородным цилиндром, массой
рукоятки пренебречь.
Рис.5
Задача 13. Груз 1 массы m1 (рис.6) из состояния покоя поднимают вверх по
шероховатой наклонной плоскости посредством веревки, намотанной на барабан 2, к
которому приложен вращающий момент М = at,
где a – постоянная.
Определить закон движения груза 1, если коэффициент трения тела 1 о плоскость
равен f, а угол наклона плоскости к
горизонту , причем при t = 0 груз покоился. Кроме того, определить момент
времени, когда груз 1 начнет движение. Барабан
считать однородным цилиндром радиуса
r и массы m.
Рис.6
Задача 14. Два блока массами m1
и m2 (рис.7) и
соответственно радиусами r1 и
r2 жестко соединены между собой и насажены на
общую ось вращения О. К концу одной
веревки, намотанной на блок, прикреплен груз А массы m, поднимаемый по
шероховатой наклонной плоскости с углом наклона к
горизонту. К концу другой веревки приложена постоянная сила F. Считая блоки однородными дисками и
полагая, что коэффициент трения скольжения равен f, а весом веревок и трением
в блоках можно пренебречь, определить зависимость угловой скорости вращения от
времени, если движение началось из состояния покоя.
Рис.7
Задача 15. Блоки радиусами
r1 и r2 (рис.8) жестко скреплены между собой и насажены на
общую ось. Грузы 1 и 2 массами m1 и m2, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во
вращение. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М1 и М2 соответственно, определить угловое ускорение блоков,
если при вращении на блоки действует момент сил сопротивления М = at, где a – постоянная, а также момент времени,
когда система под действием сил сопротивления остановится, если движение
начинается из состояния покоя.
Рис.8
Задача 16. Груз 1 массы m1, (рис.9) опускаясь вертикально вниз, раскручивает
ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана
на колесо блока радиуса r1. На большее колесо блока, имеющее радиус r2, намотана другая нить, второй конец которой привязан
к грузу 3 массы m, скользящему по
наклонной плоскости с коэффициентом трения скольжения, равным f,
и углом наклона . Блок состоит из однородных дисков массами 
и 
соответственно, жестко соединенных друг с другом и
имеющих общую ось вращения. Определить угловую скорость блока
и его угловое
ускорение, если движение начинается из состояния покоя.
Рис.9
Задача 17. Груз 1 массы m1
(рис.10) из состояния покоя скользит вниз по шероховатой наклонной плоскости и
посредством невесомой нити раскручивает барабан 2, на который действует момент
сил сопротивления M, пропорциональный
угловой скорости барабана, , где a – постоянная. Определить угловую скорость барабана как функцию
времени и ускорение груза 1, если коэффициент трения тела 1 о плоскость равен f, а угол наклона плоскости к горизонту . Барабан считать однородным цилиндром радиуса r и массы m.
Рис.10
Задача 18. Блоки радиусами
r1 и r2 (рис.11) жестко скреплены между собой и насажены на
общую ось. Груз 2 массы m2, разматывая намотанную на блок нить, приводит блоки
во вращение и поднимает груз 1 массы m1.
Считая, что на блоки действует момент сил сопротивления М = at, где a –
постоянная, определить угловое ускорение блоков, а также момент времени, когда
система под действием сил сопротивления остановится, если движение начинается из
состояния покоя. Блоки считать однородными дисками массами М1 и М2 соответственно, массой нитей пренебречь.
Рис.11
Задача 19. Груз 1 массы m1 (рис.12), падая по вертикали, раскручивает
ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана
на колесо блока радиуса r1. На меньшее колесо A блока, имеющее радиус r2, намотана другая нить, второй конец которой привязан
к грузу 3 массы m, скользящему по
горизонтальной плоскости с коэффициентом трения скольжения, равным f. Блок состоит из однородных дисков массами и соответственно,
жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. При вращении
блока на него действует постоянный момент сил сопротивления М. Определить угловую скорость вращения
блока как функцию времени и ускорение груза 3, если движение начинается из
состояния покоя.
Рис.12
Задача 20. Груз 1 массы m1 (рис.13) из состояния покоя поднимают вверх по
шероховатой наклонной плоскости посредством веревки, намотанной на барабан 2, к
которому приложен вращающий момент
М = at2, где a – постоянная. Определить зависимость угловой скорости барабана
от времени, если коэффициент трения тела 1 о плоскость равен f, а угол наклона плоскости к горизонту , причем при t = 0 груз покоился. Кроме того, определить момент
времени, когда груз 1 начнет движение. Барабан считать однородным цилиндром
радиуса r и массы m.
Рис.13
Задача 21. Блоки радиусами r1
и r2 (рис.14) жестко
скреплены между собой и насажены на общую ось. Груз 2 массы m2, разматывая намотанную на
блок нить, приводит блоки во вращение и поднимает груз 1 массы m1. Считая, что на блоки
действует постоянный момент сил сопротивления М, определить скорость груза 1 как функцию времени t, если движение начинается из состояния покоя. Блоки считать однородными дисками массами
М1 и М2 соответственно. Массой нитей пренебречь.
Рис.14
Задача 22. К грузам А и В массами m1 и m2 (рис.15) соответственно прикреплены нерастяжимые нити, вторые концы
которых намотаны на однородные диски 1 и 2 массами , и радиусами r1 и r2 (r2 > r1). Диски жестко соединены между собой и насажены на
общую ось. Груз А,
спускаясь по наклонной плоскости с углом наклона к
горизонту, раскручивает диски и поднимает груз В вверх по наклонной плоскости с углом 
. Определить угловую скорость вращения блока как
функцию времени и ускорение груза А.
Силами трения и массой нитей пренебречь, движение начинается из состояния
покоя.
Рис.15
Задача 23. Груз 1 массы m1, (рис.16) скользящий под действием постоянной
горизонтальной силы F по горизонтальной
плоскости с коэффициентом трения скольжения f,
раскручивает ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити,
которая намотана на колесо блока радиуса r1. На большее колесо блока, имеющее радиус r2, намотана другая нить, второй конец которой привязан
к грузу 3 массы m. Блок состоит из однородных дисков массами и соответственно,
жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. Определить угловую
скорость вращения блока как функцию времени и ускорение груза 3, если движение
начинается из состояния покоя.
Рис.16
Задача 24. Груз 1 массы m1 (рис.17) поднимается посредством каната, навитого на
барабан 2, к которому приложен вращающий момент М = at, где a – постоянная.
В начальные моменты времени, из-за малости величины вращающего момента, груз
будет опускаться и лишь с некоторого момента времени начнет подниматься.
Полагая, что движение начинается из состояния покоя, определить угловую
скорость вращения барабана как функцию времени, а также момент времени, когда
система остановится и барабан начнет вращаться в другую сторону. Барабан 2
считать однородным цилиндром радиуса r
и массы m2.
Рис.17
Задача 25. Груз 1 массы m
(рис.18) поднимается при помощи ворота (жестко соединенных барабана и стержня),
на который действует момент сил сопротивления M1 = at,
где a – постоянная.
Масса барабана ворота равна m1, радиус барабана r,
длина рукоятки ОА = l. Считая, что сила F приложена перпендикулярно к рукоятке ОА и постоянна по величине, определить закон движения груза 1 и
момент времени, когда он остановится, если в начальный момент груз покоился.
Барабан считать однородным цилиндром, массой рукоятки пренебречь.
Рис.18
Задача 26. Два блока массами m1 и m2 (рис.19) и радиусами r1 и r2 соответственно
жестко соединены между собой и насажены на общую ось вращения О. К концу одной веревки, намотанной на
блок, прикреплен груз А массы m, поднимаемый по наклонной плоскости с
углом наклона к горизонту и с коэффициентом трения f. К концу другой веревки приложена сила F = at, где a –
постоянная. Считая, что блоки являются однородными дисками, а весом веревок и
трением в блоках можно пренебречь, определить зависимость угловой скорости
вращения от времени, если движение началось из состояния покоя. Кроме того,
определить момент времени, когда груз А
начнет движение.
Рис.19
Задача 27. Груз 1 массы m1 (рис.20),
опускаясь вертикально вниз, раскручивает ступенчатый блок 2 посредством
невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо блока радиуса r1. На большее колесо блока, имеющее радиус r2, намотана другая нить, второй конец которой привязан
к грузу 3 массы m, скользящему по
гладкой наклонной плоскости с углом наклона . Блок состоит из однородных дисков
массами и
соответственно, жестко соединенных друг с другом и имеющих общую
ось вращения, причем при вращении на блок действует момент сил сопротивления М = at, где a – постоянная. Определить
угловую скорость блока и момент его вторичной остановки, если движение
начинается из состояния покоя.
Рис.20
Задача 28. Однородный горизонтальный диск (рис.21) радиуса r и массы m может вращаться вокруг проходящей через его центр О вертикальной
оси. Вдоль радиуса ОА по направляющей
может двигаться точечное тело А массы m0. В начальный момент времени к диску приложили
вращающий момент M = αt,
где α – постоянная, а тело А начало двигаться от точки О с постоянной относительной скоростью vr = v0. Определить зависимость угловой скорости вращения 
и ее величину, когда
тело А достигнет края диска.
Рис.21
Задача 29. Груз 1 массы m1 (рис.22) поднимается посредством каната, навитого на
барабан 2, к которому приложен вращающий момент М = at2, где a – постоянная. В начальные моменты
времени, из-за малости величины вращающего момента, груз будет опускаться и
лишь с некоторого момента времени начнет подниматься. Полагая, что движение
начинается из состояния покоя, определить угловую скорость вращения барабана
как функцию времени, а также момент времени, когда система остановится и
барабан начнет вращаться в другую сторону. Барабан 2 считать однородным
цилиндром радиуса r и массы m2.
Рис.22
Задача 30. К грузам А и В (рис.23)
массами m1 и m2 соответственно прикреплены
нерастяжимые нити, вторые концы которых намотаны на однородные диски 1 и 2
массами 
и радиусами r1 и r2 (r2 > r1). Диски жестко соединены
между собой и насажены на общую ось. Груз B, спускаясь по наклонной плоскости с
углом 
наклона к горизонту,
раскручивает диски и поднимает груз A
вверх по наклонной плоскости с углом , при этом на блок действует
постоянный момент сил сопротивления М. Определить
угловую скорость вращения блока как функцию времени и ускорение груза В. Силами трения и массой нитей
пренебречь, движение начинается из состояния покоя.
Рис.23
Задача 31. Блоки радиусами r1 и r2 (рис.24) жестко скреплены между собой и насажены на общую
ось. Грузы 1 и 2 массами m1 и m2, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во
вращение. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М1 и М2 соответственно, определить скорость груза 2 как
функцию времени, если движение начинается из состояния покоя и при вращении на
блоки действует момент сил сопротивления , где α
– постоянная.
Рис.24
Задача 32.
Барабан 1 (рис.25) массы m1 и радиуса r приводится во вращение посредством
груза 2 массы m2,
привязанного к концу нерастяжимого троса. Трос переброшен через идеальный блок
3 и намотан на барабан 1. При вращении барабана появляется момент сил
сопротивления M, пропорциональный
времени, M = αt, где α – постоянная. Полагая, что движение начинается из состояния
покоя, определить зависимость угловой скорости барабана от времени и момент
времени, когда система снова остановится. Барабан считать однородным цилиндром,
массой каната пренебречь.
Рис.25
Задача 33.
Груз 1 (рис.26)
массы m1, опускаясь вертикально вниз, раскручивает ступенчатый
блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо
блока радиуса r1. На большее колесо блока, имеющее радиус r2, намотана другая нить, второй конец которой привязан
к грузу 3 массы m, скользящему по
гладкой наклонной плоскости с углом наклона . Блок состоит из однородных дисков
массами и
соответственно,
жестко соединенных друг с другом, причем при вращении на блок действует момент
сил сопротивления М = at2, где a – постоянная. Определить скорость v1(t) груза 1
и момент его остановки, если движение начинается из состояния покоя.
Рис.26
Задача 34.
Шкив М (рис.27), вращающийся с угловой скоростью 
, тормозится при помощи ручного тормоза АВ. Сила, с которой давят на ручку
тормоза, F = at, где a – постоянная. Считая шкив однородным
диском радиуса r, определить, через
какое время шкив остановится и сколько он совершит оборотов, если коэффициент
трения между тормозом и шкивом f, длина рукоятки АВ = l, расстояние АС = b.
Рис.27
Задача 35. Находящаяся в вертикальной плоскости однородная
пластина (рис.28) в виде прямоугольного треугольника АВС может вращаться вокруг вертикальной оси z, совпадающей со стороной АС.
Масса пластины m, ее радиус инерции
относительно указанной оси равен 
. В начальный момент времени из вершины А вдоль стороны АВ начинает двигаться точечное тело 1
массы m1 с относительной скоростью vr = at, где a – постоянная, а к пластине прикладывается вращающий момент M = bt, где b – постоянная. Определить угловое
ускорение пластины. Угол наклона стороны АВ
к горизонту равен .
Рис.28
Задача 36.
Однородный горизонтальный диск (рис.29)
(радиуса r и массы m может вращаться вокруг проходящей
через его центр О
вертикальной оси. Вдоль радиуса ОА по
направляющей может двигаться точечное тело А
массы m0. В начальный
момент времени к диску приложили постоянный вращающий момент M, а тело А начало двигаться от точки О
с относительной скоростью vr = at,
где a – постоянная. Определить
угловое ускорение диска.
Рис.29
Задача 37.
Однородный горизонтальный диск (рис.30)
радиуса r и массы m вращается вокруг проходящей через его
центр О вертикальной оси под действием момента M = αt, где α – постоянная. По краю диска в
противоположном вращению направлении движется точечное тело А массы m0 с относительной скоростью vr = at, где
a – постоянная. Определить угловое ускорение диска.
Рис.30
Задача 38.
Однородный горизонтальный диск
(рис.31) радиуса r и массы m вращается вокруг проходящей через его
центр О
вертикальной оси под действием момента M = αt,
где α – постоянная. По краю
диска в направлении его вращения движется точечное тело А массы m0 с относительной скоростью vr = at2, где a – постоянная. Определить угловое ускорение диска.
Рис.31
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
