Главная
Лекция 7. Приложение общих теорем к динамике твердого тела.
В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:
1. Неинерциальные системы отсчета.
2. Силы инерции при поступательном
движении.
3. Центробежная сила инерции.
4. Сила Кориолиса.
5. Принцип Даламбера.
6. Главный вектор и главный момент сил инерции
твердого тела.
7. Вращательное движение твердого
тела.
8. Физический маятник.
9. Плоскопараллельное движение твердого тела.
10. Сложное движение твердого тела и системы тел.
11. Движение тела с переменной массой.
12.
Совместное применение законов динамики и методов решения кинематических задач.
13.
Совместное применение законов динамики и законов сохранения. Выбор способа
решения.
14.
Решение задач различными способами.
15.
Применение неинерциальной системы отсчета.
16.
Решение нестандартных задач.
17.
Решение многоходовых задач.
Изучение
данных вопросов необходимо для изучения демпферов в дисциплине «Детали машин»,
для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Сопротивление
материалов».
Неинерциальные системы отсчета.
До сих пор движение тела рассматривалось по отношению
к какой-либо одной из бесчисленного множества инерциальных систем отсчета. В
такой системе отсчета основным уравнением движения тела является уравнение,
выражающее второй закон Ньютона:
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных
системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с
одинаковым ускорением 
. Поставим теперь задачу найти уравнение движения в
неинерциальных системах отсчета, т.е. таких системах, в которых первый закон
Ньютона не выполняется.
Любая неинерциальная система отсчета движется
относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела
в неинерциальной системе отсчета 
будет отлично от .
Обозначим разность ускорения тела в инерциальной и
неинерциальной системах символом 
:
В частном случае, когда неинерциальная система отсчета
движется относительно инерциальной поступательно, ускорение тела одинаково для
всех точек пространства (=const) и представляет собой ускорение неинерциальной
системы отсчета.
Систему отсчета,
связанную с Землей, приближенно можно считать инерциальной при решении
большинства задач.
Силы инерции при
поступательном движении.
Ускорение точки в неинерциальной системе отсчета можно
в соответствии с (2) представить в виде:
Подставим выражение (3) в уравнение (1) и получим:
Это и есть уравнение
движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета.
Если в неинерциальной системе отсчета определять силу как вектор, равный
произведению массы материальной точки на ее ускорение в этой системе отсчета,
то правая часть уравнения (6.4) и является силой, действующей на материальную
точку, движущуюся ускоренно в неинерциальной системе отсчета. Эта сила
слагается из двух существенно различных составляющих.
Первая оставляющая 
является
результатом взаимодействия тел и проявляется в инерциальной системе отсчета.
Совсем иной характер имеет составляющая – 
. Она возникает не из-за взаимодействия тел, а из-за
ускоренного движения системы отсчета. Она называется поступательной силой инерции. При переходе к другой ускоренно
движущейся системе отсчета меняются и силы инерции. Эти силы инерции отличаются
от настоящих сил, возникающих при взаимодействии тел. Второе отличие состоит в
том, что силы инерции не подчиняются закону действия и противодействия
(третьему закону Ньютона).
При описании движения тел относительно ускоренно
движущейся поступательно системы отсчета наряду с силами, обусловленными
взаимодействием тел друг с другом, необходимо учитывать так называемые силы
инерции 
. Эти силы следует полагать равными произведению массы
тела на взятое с обратным знаком ускорение движущейся неинерциальной системы
отсчета относительно инерциальной системы:
Соответственно, уравнение движения в неинерциальной
системе отсчета будет иметь вид
Существует много явлений, которые могут быть интерпретированы
как проявление силы инерции. Когда поезд набирает скорость, пассажиры в вагоне
испытывают действие силы, направленной против движения поезда. Это и есть сила
инерции. Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на летчика при больших
ускорениях самолета. Если в ускоренно движущемся вагоне висит шарик массы m, то сила
инерции отклоняет его в сторону, противоположную ускорению (рис.1).
Рис.1
Нить отклоняется на такой угол, чтобы результирующая
двух сил (
) сообщала шарику ускорение , с которым движется вагон. Относительно системы
отсчета, связанной с вагоном, шарик покоится. Это можно объяснить, если ввести
силу инерции 
, уравновешивающую результирующую двух сил 
и 
.
Введение сил инерции дает возможность описывать
движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
Силы инерции имеют характерные особенности: они не отражают взаимодействие тел, а обусловлены
характером неинерциальных систем отсчета, поэтому для сил инерции неприменим
третий закон Ньютона. Характерным свойством сил инерции является их
пропорциональность массе тела. Благодаря этому свойству силы инерции
оказываются аналогичными силам тяготения. Движение тел под действием сил
инерции сходно с движением в гравитационном поле. В качестве примера можно
привести невесомость, возникающую в свободно падающем лифте. В свободно
падающем лифте вес 
тела массой m всегда
равен нулю: 
.
Действительно:
Рассмотрим силы инерции, возникающие во вращающихся системах
отсчета.
Центробежная сила
инерции.
Рассмотрим два случая проявления центробежной силы
инерции.
Случай 1. Рассмотрим вращающийся диск с закрепленными на нем
стойками с шариками, подвешенными на нитях (рис.2). При вращении диска с
постоянной угловой скоростью w шарики отклоняются на некоторый угол, тем больший, чем дальше он
находится от оси вращения. Относительно инерциальной системы отсчета
(неподвижной) все шарики движутся по окружности соответствующего радиуса R, при этом
на шарики действует результирующая сила 
(рис.3).
Рис.2
Рис.3
Согласно второму закону Ньютона
учитывая, что F/P=tgα, можно
записать
т.е. угол отклонения шарика зависит от угловой
скорости и от его удаления от оси вращения диска.
Относительно неинерциальной системы отсчета, связанной
с вращающимся диском, шарик находится в покое.
Это возможно в том случае, если сила (8)
уравновешена силой инерции 
, называемой центробежной
силой инерции:
Случай 2. Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной
к нему вертикальной оси z с угловой скоростью ω. Вместе с диском вращается надетый на тонкую спицу шарик, соединенный
с центром диска пружиной (рис. 4).
Рис.4
Шарик занимает на стержне некоторое положение, при
котором сила натяжения пружины 
(она будет
центростремительной) оказывается равной произведению массы шарика m на его
ускорение:
где 
– нормальное
ускорение на шарике; r – расстояние от оси вращения до центра шарика.
Относительно системы отсчета,
связанной с диском, шарик покоится. Это формально можно объяснить тем, что
кроме силы упругости на шарик действует сила инерции, модуль которой равен силе
упругости (7):
Сила инерции направлена
вдоль радиуса от центра диска. Силу инерции (8), возникающую в равномерно
вращающейся системе отсчета, называют центробежной
силой инерции. Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчета,
независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее
со скоростью 
. Если положение тела во вращающейся системе отсчета
характеризовать радиус-вектором 
, то центробежную силу можно представить в виде
где 
– компонента радиус-вектора,
направленная перпендикулярно оси вращения.
Центробежные
силы, как и всякие силы инерции, существуют только в ускоренно движущихся
(вращающихся) системах отсчета и
исчезают при переходе к инерциальным системам отсчета.
Действию центробежной силы подвергается, например,
пассажир в движущемся автобусе на поворотах. Если в центробежной машине
подвесить на нитях несколько шариков и привести машину в быстрое вращение, то
центробежные силы инерции отклонят шарики от оси вращения. Угол отклонения тем
больше, чем дальше шарик отстоит от оси. Центробежные силы используются в
центробежных сушилках для отжима белья, в сепараторах для отделения сливок от
молока, в центробежных насосах, центробежных регуляторах и т.д. Их надо
учитывать при проектировании быстровращающихся деталей механизмов.
При движении тела относительно вращающейся системы
отсчета, кроме центробежной силы, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса.
Рассмотрим рис.5. Шарик массой m движется
прямолинейно со скоростью от центра к
краю диска. Если диск неподвижен, то шарик попадает в точку М, а если диск вращается с постоянной
угловой скоростью ω, то шарик попадает в точку N. Это
обусловлено тем, что на шарик действует сила Кориолиса.
Рис.5
Появление силы Кориолиса можно обнаружить, если
рассмотреть пример с шариком на спице на вращающемся диске, но без пружины. Для
того чтобы заставить шарик двигаться с некоторой скоростью вдоль спицы,
необходима боковая сила. Шарик вращается вместе с диском с постоянной угловой
скоростью w, поэтому его момент
импульса равен:
Если шарик будет перемещаться вдоль спицы с постоянной
скоростью 
, то с изменением момент импульса
шарика изменится. А это означает, что на движущееся во вращающейся системе тело
должен действовать некоторый момент силы, который согласно основному уравнению
динамики вращательного движения равен
Для того чтобы заставить шарик
двигаться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой со скоростью 
, необходимо прилагать боковую силу
направленную
перпендикулярно 
. Относительно вращающейся системы (диска) шарик
движется с постоянной скоростью.
Это можно объяснить тем, что сила 
уравновешивается приложенной к шарику силой инерции 
, перпендикулярной к скорости (рис.6). Сила и есть
Кориолисова сила инерции. Она определяется выражением
Рис.6
С учетом направления силу
Кориолиса можно представить в виде
Сила Кориолиса всегда перпендикулярна скорости тела . Во вращающейся системе отсчета при = 0 эта сила
отсутствует. Таким образом, Кориолисова сила инерции
возникает только тогда, когда система отсчета вращается, а тело движется
относительно этой системы. Действием силы Кориолиса объясняется ряд эффектов,
наблюдающихся на поверхности Земли, например, поворот плоскости колебаний
маятника Фуко относительно Земли, отклонение к востоку от линии отвеса свободно
падающих тел, размытие правого берега рек в северном полушарии и левого в
южном, неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.
Принцип Даламбера.
Все методы решения задач динамики, которые мы до сих
пор рассматривали, основываются на уравнениях, вытекающих или непосредственно
из законов Ньютона, или же из общих теорем, являющихся следствиями этих
законов. Однако, этот путь не является единственным.
Оказывается, что уравнения движения или
условия равновесия механической системы можно получить, положив в основу вместо
законов Ньютона другие общие положения, называемые принципами механики. В ряде
случаев применение этих принципов позволяет, как мы увидим, найти более
эффективные методы решения соответствующих задач. В этой главе будет рассмотрен
один из общих принципов механики, называемый принципом Даламбера.
Пусть мы имеем систему, состоящих из n материальных точек. Выделим какую-нибудь
из точек системы с массой 
. Под действием приложенных к ней внешних и внутренних
сил 
и 
(в которые
входят и активные силы, и реакции связи) точка получает по отношению к
инерционной системе отсчета некоторое ускорение 
.
Введем в рассмотрение величину
,
имеющую
размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки
на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой
инерции точки (иногда даламберовой силой инерции).
Тогда оказывается, что движение точки обладает следующим
общим свойством: если в каждый момент времени к фактически
действующим на точку силам и прибавить силу
инерции 
, то полученная система сил будет уравновешенной, т.е.
будет
.
Это выражение выражает принцип Даламбера для одной
материальной точки. Нетрудно убедиться, что оно эквивалентно второму закону
Ньютона и наоборот. В самом деле, второй закон Ньютона для рассматриваемой
точки дает 
. Перенося здесь член 
в правую часть равенства и придем к последнему соотношению.
Повторяя проделанные высшее
рассуждения по отношению к каждой из точек системы, придем к следующему
результату, выражающему принцип Даламбера для системы: если в любой момент времени к
каждой из точек системы, кроме фактически действующих на ней внешних и
внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система
сил будет находиться в равновесии и к ней можно будет применять все уравнения
статики.
Значение принципа Даламбера состоит в том, что при
непосредственном его применении к задачам динамики уравнения движения системы
составляются в форме хорошо известных уравнений равновесия; что делает
единообразный подход к решению задач и обычно намного упрощает соответствующие
расчёты. Кроме того, в соединении с принципом возможных перемещений, который
будет рассмотрен в следующей главе, принцип Даламбера позволяет получить новый
общий метод решения задач динамики.
Применяя принцип Даламбера, следует иметь в виду, что
на точку механической системы, движение которой изучается, действуют только
внешние и внутренние силы и , возникающие в результате взаимодействия точек
системы друг с другом и с телами, не входящими в систему; под действием этих
сил точки системы и движутся с соответствующими ускорениями . Силы же инерции, о которых говорится в принципе
Даламбера, на движущиеся точки не действуют (иначе, эти точки находились бы в
покое или двигались без ускорений и тогда не было бы и
самих сил инерции). Введение сил инерции - это лишь приём, позволяющий
составлять уравнения динамики с помощью более простых методов статики.
Из статики известно, что геометрическая сумма сил,
находящихся в равновесии, и сумма их моментов относительно любого центра О равны нулю, причём по принципу
отвердевания это справедливо для сил, действующих не только на твёрдое тело, но
и на любую изменяемую систе6му. Тогда на основании принципа Даламбера должно
быть:
Введём обозначения:
Величины 
и 
представляют
собой главный вектор и главный момент
относительно центра О системы сил инерции. В результате,
учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равны
нулю, получим из равенств:
Применение уравнений (16), вытекающих из принципа
Даламбера, упрощает процесс решения задач, т.к. эти уравнения не содержат
внутренних сил.
В проекциях на оси координат эти равенства дают
уравнения, аналогичные соответствующим уравнениям статики. Чтобы пользоваться
этими уравнениями при решении задач, надо знать выражение главного вектора и
главного момента сил инерций.
Пример
1. При каком минимальном значении
скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R, не
отрываясь от нее (рис.6.1)? Петля расположена в вертикальной плоскости.
Рис.6.1
Решение.
Будем считать шарик материальной
точкой в промежуточном положении на его траектории. Приложим к шарику силу
тяжести mg, нормальную реакцию петли 
,
касательную и нормальную силы инерции 
, 
.
Согласно принципу Даламбера для точки
получим уравновешенную в любой момент времени систему сил
Проектируя эту систему сил на главную
нормаль Mn получим
где Фn = man, аn =
v2/R - нормальное ускорение шарика, (v— скорость
шарика).
По условию задачи при ψ= 90° нормальная реакция в верхней точке петли N= 0, то
есть
Отсюда
Скорость шарика
Пример
2. Однородный стержень АВ длиной l и массой
т, закрепленный шарнирно на валу OO1 вращается вокруг оси Оу с постоянной угловой
скоростью ω (рис.6.2). Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги BD. Найти
реакции шарниров А и В.
Рис.6.2
Решение. Применим для решения задачи принцип Даламбера.
Приложим к стержню силу тяжести mg,
составляющие реакции 
и 
шарнира А вдоль осей
координат, реакцию 
шарнира В
(рис.6.3).
Силы инерции точек стержня заменим
равнодействующей нормальной силой инерции 
,
приложенной в точке К, причем 
Рис.6.3
Получена уравновешенная в любой момент
времени система сил
где 
- нормальное ускорение центра масс стержня (точки С); АС=
СВ.
Условия мгновенного
динамического равновесия стержня имеют вид
Из составленной системы уравнений с учетом
значения силы последовательно
находим
Пример
3. Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом OO1 и
стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом ѱ. Стержень и вал вращаются
с постоянной угловой скоростью w вокруг оси Оу (рис.6.4).
Определить давление диска на стержень и вал.
Рис.6.4
Решение. Воспользуемся принципом Даламбера.
Приложим к диску силу тяжести mg, реакцию
вала 
и реакцию
стержня 
, а также равнодействующую нормальную силу инерции всех точек
диска, причем
где 
- нормальное
ускорение центра масс диска (точки С).
Рис.6.5
Сходящаяся система сил (mg, , , ) является уравновешенной в любой момент времени.
Составим уравнения
мгновенного динамического равновесия диска (указанной выше сходящихся системы
сил)
Из этой системы уравнений с
учетом значения силы находим:
Давление диска на стержень и вал в точках В и D равны соответствующим реакциям стержня и вала
QD = SD; РЕ = NЕ.
Главный вектор и
главный момент сил инерции твёрдого тела.
Система сил инерции твёрдого тела можно заменить одной
силой, равной 
и приложенной в
центре О, и
парой с моментом, равным 
. Главный вектор системы сил, как известно, не зависит
от центра приведения и может быть вычислен заранее. Т.к. 
, то
Следовательно, главный вектор сил инерции тела,
совершающего любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его
центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Прикладывается главный вектор к точке приведения,
которую можно назначить в любом месте, т.е. он не зависит от выбора этой точки.
Если ускорение 
разложить на
касательное и нормальное, то вектор 
разложиться на
составляющие
С
определением главного момента сил инерции возникает немало сложностей.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1.
Поступательное движение. В этом
случае тело никакого вращения вокруг центра масс С не имеет. Отсюда заключаем, что
, и равенство (1) даёт 
.
Следовательно, при поступательном движении силы
инерции твёрдого тела приводят к одной равнодействующей, равной и проходящей
через центр масс тела.
2.
Плоскопараллельное движение. Пусть
тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно ей. Вследствие симметрии
главный вектор и результирующая пара сил
инерции, так же как и центр масс С тела, лежат в плоскости симметрии.
Тогда, помещая центр приведения в точке С, получим из
равенства (16) 
. С другой стороны 
. Отсюда заключаем, что
Рис.7
Таким образом, в рассмотренном случае движение системы сил инерции приводится к
результирующей силе, равной [формула (18)]
и приложенной в центре масс С тела (рис.7), и к лежащей в плоскости симметрии тела паре,
момент которой определяется формулой (18). Знак минус в формуле показывает, что
направление момента 
противоположно
направлению углового ускорения тела.
3. Вращение
вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Пусть опять тело имеет
плоскость симметрии, а ось вращения СZ перпендикулярна
к этой плоскости и проходит через центр масс тела. Тогда данный случай будет
частным случаем предыдущего. Но при этом 
а следовательно, и 
.
Таким образом, в рассмотренном случае система
сил инерции приводится к данной паре,
лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, и имеющей момент
.
При решение задач по формулам (16) и (18) вычисляются
модули соответствующих величин, а направление их указывают на чертеже.
Приложение общих теорем к динамике твердого
тела.
Вращательное движение твёрдого тела.
Рассмотрим приложения общих теорем динамики к
некоторым задачам о движении абсолютно твёрдого тела. Так как изучение
поступательного движения твёрдого тела сводится к задачам динамики точки, то мы
начнём непосредственно с рассмотрения
вращательного движения.
Рис.8
Пусть на твёрдое тело, имеющее неподвижную ось
вращения Z (рис.8),
действует система заданных сил 
. Одновременно на тело действуют реакции подшипников 
и 
. Чтобы исключить из уравнения движения эти наперед
неизвестные силы, воспользуемся теоремой моментов относительно оси Z. Так как моменты сил и относительно
оси Z равны нулю, то получим:
Будем в дальнейшем величину 
называть
вращающим моментом.
Подставляя в предыдущее равенство значение 
, найдём:
Уравнение представляет собой дифференциальное
уравнение вращательного движения твёрдого тела. Из него следует, что
произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое
ускорение равно вращающему моменту:
Равенство показывает, что при данном
чем больше
момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение и наоборот. Следовательно,
момент инерции тела действительно играет при вращательном движении такую же
роль, как масса при поступательном, т.е. является мерой инертности тела при
вращательном движении.
Отметим следующие частные случаи:
1) Если 
, то 
, т.е. тело вращается равномерно.
2) Если 
, то и 
, т.е. тело вращается равнопеременно.
Пример 3. Стержень весом
Р и длиной l
качается как маятник в вертикальной
плоскости, вращаясь вокруг горизонтальной оси О
(рис.9).
Рис.9
Решение. Составим уравнение качаний стержня.
Так как 
и реакции оси
не учитываются, то получим
Физический маятник
Физическим маятником называется твёрдое тело, которое
может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием
силы тяжести.
а) б)
Рис.10
Изобразим сечение маятника плоскостью,
перпендикулярной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника С (рис.10, а).
Введём обозначения: Р – вес маятника, а – расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, I0 – момент
инерции маятника относительно оси подвеса. Положения маятника будет определять
угол 
отклонение
линии ОС от вертикали.
Для определения закона колебаний маятника
воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения. В данном
случае 
(знак минус
взят потому, что при 
момент
отрицателен, а при 
– положителен)
и уравнение принимает вид:
Деля обе части равенства на I0 и вводя обозначение
найдём дифференциальное уравнение колебаний маятника в
виде
Полученное дифференциальное уравнение в обычных
функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника,
считая приближенно 
(это можно
сделать, когда угол меньше одного
радиана). Тогда будем иметь
Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с
дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний точки, и его
общее решение по аналогии имеет вид:
Полагая, что начальный момент t = 0 маятник отклонён
на малый угол 
и отпущен без
начальной скорости (
), найдём для постоянных
интегрирования значения: С1 = 0, С2
=
. Тогда закон малых колебаний маятника при данных
начальных условиях будет:
Следовательно, малые колебания физического маятника
являются гармоническими. Период малых колебаний физического маятника, если
заменить k его значением,
определяется формулой:
Полученные результаты охватывают и случай так
называемого математического маятника, т.е. груза малых размеров (которые будем
рассматривать как материальную точку), подвешенного на нерастяжимой нити длиной l, массой которой, по сравнению с
массой груза, можно пренебречь (рис.57, б). Для математического маятника, т.к.
он представляет собой систему, состоящую из одной материальной точки, очевидно,
будет
.
Подставляя эти величины в равенство
, найдем, что период малых колебаний математического
маятника определяется формулой
Из сравнения формул 
и 
видно, что при
длине
период колебаний математического маятника совпадает с
периодом колебаний соответствующего физического маятника.
Длина 
такого
математического маятника, период колебания которого равен периоду колебаний
данного физического маятника, называется приведенной длиной физического
маятника. Точка K, отстоящая от оси
подвеса на расстоянии 
, называется центром качания физического маятника
(рис.57).
Замечая, что по теореме Гюйгенса 
, мы можем привести формулу к виду
Отсюда следует, что расстояние OK всегда больше чем OC =
a,
т.е. что центр качаний физического маятника всегда расположен ниже его центра
масс.
Плоскопараллельное движение твердого тела.
Положение тела, совершающего, плоскопараллельное
движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом
поворота тела вокруг полюса. Задачи динамики будут решаться проще всего, если
за полюс взять центр масс С
тела (рис.11) и определять положение тела координатами XC, YC и углом .
Рис.11
На рис.5 изображено сечение тела плоскостью,
параллельной плоскости движения и проходящей через центр масс С. Пусть на тело действуют внешние силы , лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения
движения точки С найдём по теореме о движении центра
масс 
,
а вращательное движение вокруг центра С будет
определятся уравнением
т.к. теорема, из которой получено это уравнение,
справедливо и для движения системы вокруг центра масс. В результате, проектируя
обе части равенства на координатные
оси, получим:
Эти уравнения представляют собой дифференциальные
уравнения плоскопараллельного движения твёрдого тела. С их помощью можно по
заданным силам определить закон движения тела или, зная закон движения тела,
найти главный вектор и главный момент действующих сил.
При несвободном движении, когда траектория центра масс
известна, уравнения движения точки С удобно составлять в проекциях на касательную τ и главную нормаль n к
этой траектории. Тогда получим:
где 
- радиус
кривизны траектории центра масс.
Пример 4. Однородный
круглый цилиндр скатывается по наклонной плоскости (рис.12). Цилиндр совершает
плоскопараллельное движение.
Рис.12
Решение. Так как 
и, значит, 
составим
дифференциальное уравнение вращения относительно оси 
проходящей
через мгновенный центр скоростей.
Момент
инерции цилиндра относительно оси 
Поэтому уравнение получится таким
Знак (–) указывает на
направление углового ускорения – по часовой стрелке.
Обратим внимание на то, что реакции не вошли в
уравнение.
Чтобы определить реакцию Fтр,
составим еще одно дифференциальное уравнение вращения, относительно центральной
оси С :
Отсюда 
Конечно, 
. Чтобы тело катилось без скольжения должно
выполняться условие 
или 
.
Поэтому коэффициент трения скольжения должен удовлетворять условию 
.
Пример 5. Балочка АВ длиной l и
весом Р падает, скользя концами по гладким
поверхностям стены и пола (рис.13). Составим дифференциальное уравнение
вращения.
Рис.13
Решение. Здесь 
. Поэтому опять выгоднее составить дифференциальное
уравнение вращения относительно оси . Тем более, что неизвестные
реакции 
и 
не войдут в это
уравнение.
Так как 
то уравнение
получится таким: 
.
Отсюда 
Пример 6. Тело, имеющее
форму половины кругового цилиндра, катается по горизонтальной плоскости без
скольжения (рис.14). Вес его – Р.
Положение центра тяжести определяется расстоянием 
, момент
инерции относительно оси О: I0=0,5Mr2
Рис.14
Решение. Поскольку неизвестны ни сила трения Fтр, ни нормальная реакция N, конечно следует составлять дифференциальное
уравнение вращения относительно оси .
Момент инерции тела относительно оси по теореме
Гюйгенса-Штейнера, 
, а I0=IC+Me2,
поэтому 
.
Количество движения 
Составляем дифференциальное уравнение:
После подстановки значения a, получим
и,
окончательно, подставив значение
,
Пример 7. Стержень
качался как маятник, вращаясь в вертикальной плоскости вокруг шарнира О (рис.15). В момент, когда стержень был в вертикальном положении и угловая скорость его была 
, шарнир разрушился. Определим дальнейшее движение
стержня.
Решение. Стержень начнет совершать плоскопараллельное
движение. На рис.62 показано его промежуточное положение.
Рис.15
Составим дифференциальные уравнения движения.
Интегрируем их дважды:
Начальные условия: при t = 0
Подставив их в последние шесть уравнений, получим 
Тогда
уравнения
плоскопараллельного
движения стержня
Например, стержень займет горизонтальное положение, 
, в момент 
когда центр
масс его будет в точке с координатами 
Сложное движение твердого тела и системы тел.
Пример 8. На гладкое проволочное кольцо радиуса R надет маленький шарик. Кольцо вместе с
шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца, с
угловой скоростью ω. Где находится шарик?
Решение. Решение этой
задачи можно осуществить, применяя разные системы отсчета - как инерциальную
(ИСО), связанную с Землей, так и неинерциальную (НИСО), связанную с кольцом;
различным может быть и выбор осей координат. Чтобы показать, что в любом случае
состав операций, приведенный в алгоритмическом предписании, не зависит от
выбора системы отсчета, будем указывать их номера.
Решение
задачи в ИСО
1. Рассмотрим решение этой задачи в инерциальной системе отсчета, связанной
с Землей (рис.16).
Рис.16
2. Шарик можно рассматривать как материальную точку,
которая вращается вместе с кольцом с угловой скоростью ω.
3. На шарик действуют две силы: сила тяжести со стороны Земли mg и реакция
кольца N. Поскольку по условию задачи кольцо гладкое, силой
трения можно пренебречь.
4. Второй закон Ньютона в векторной форме имеет вид
5. Шарик движется по окружности радиуса r=R∙sinα с постоянной угловой скоростью ω. Его ускорение равно
и направлено к центру окружности C. Совместим с вектором ускорения ось х, ось у
направим вертикально вверх, как
показано на рисунке.
6. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси
координат:
7. Из (3) находим