Главная
Тема 26. Принцип Д’Аламбера.
История его возникновения
Жан ле-Рон Д'Аламбер
(1717—1783) родился в Париже. Он был незаконным сыном кавалера Де-Туш и канониссы Де Тансен.
Родители подкинули его у церкви Иоанна Круглого (Jean le Rond),
откуда он получил своё имя. Его приняли бедные люди (бедный
стекольщик Аламбером — откуда его фамилия d'Alembert), в семье которых он и воспитывался. Отец признал его
и оплачивал его воспитание в этой семье, а затем и в лицее. Когда он достиг
совершеннолетия, то на предложение отца принять его дворянскую фамилию он
ответил отказом и сохранил фамилию своих приемных родителей.
Выдвинувшись благодаря своим
исключительным способностям, он уже в 1741 г. за работы по математике и механике
был избран членом Парижской академии наук; с 1772 г. Даламбер занимал пост
непременного секретаря Академии. Он был членом многих иностранных академий, в
том числе с 1764 г. почетным членом Петербургской академии наук.
Его деятельность вместе с Дидро (1713—1784) и
Вольтером (1694—1778) имеет громадное значение в истории эпохи Просвещения не
только во Франции, но и вообще в Европе. Вместе с Дидро он
издавал «Энциклопедию наук, искусств и ремесел», для которой написал
«Вступительное рассуждение» и ряд статей в области физико-математических и
философских наук. Д'Аламбер пользовался
европейской известностью: его приглашал Фридрих II на должность президента
Берлинской Академии наук и Екатерина II—для воспитания ее сына, но он отверг
оба предложения и остался во Франции.
Мы здесь не касаемся
философско-просветительской деятельности Даламбера, сыгравшей существенную роль
в социологической подготовке Великой французской революции; упомянем только,
что по своим философским воззрениям Даламбер был сторонником механистического
материализма и что в 1751 г. он вместе с Д. Дидро (1713-1784) основал
знаменитую «Энциклопедию наук, искусств и ремесел». Даламберу принадлежит
вступительная статья в «Энциклопедии», озаглавленная «Очерк происхождения и
развития наук», где приведена классификация наук. В первых томах «Энциклопедии»
он опубликовал важные статьи по математике и механике - «Предел»,
«Дифференциалы», «Уравнения», «Динамика», «Геометрия».
Мы не будем также
останавливаться на математических работах Даламбера, лишь отметим, что его
труды в этой области часто были связаны с его исследованиями по механике.
Например, изучение теории функция комплексного переменного понадобилось
Даламберу для его исследований по гидромеханике. Рассмотренные им
дифференциальные уравнения также большей частью связаны с механикой (таково,
например, «уравнение струны»).
Остановимся на работах
Даламбера по механике. К середине XVIII в. его работы вместе с исследованиями Леонарда Эйлера и
Даниила Бернулли совершенно преобразовали механику. По содержанию она стала
наукой, охватывающей все виды движения материальных точек и их систем, а по
форме превратилась в аналитическую дисциплину, в которой применялись все
достижения математического анализа.
Даламберу принадлежат работы как по общим проблемам механики, так и по
гидродинамике, теории колебаний и волн, теории движения твердого тела, небесной
механике и др.
В 1743 г. был опубликован
основной труд Даламбера по механике – его знаменитый «Трактат о динамике».
Первая часть «Трактата» посвящена построению аналитической статики. Здесь
Даламбер формулирует «основные принципы механики», которыми он считает «принцип
инерции», «принцип сложения движений» и «принцип равновесия». «Принцип инерции»
сформулирован отдельно для случая покоя и для случая равномерного прямолинейного
движения. «Принцип сложения движений» представляет собой закон сложения
скоростей по правилу параллелограмма. «Принцип равновесия» сформулирован в виде
следующей теоремы: «Если два тела, обладающие скоростями, обратно
пропорциональными их массам, имеют противоположные направления, так что одно
тело не может двигаться, не сдвигая с места другое тело, то между этими телами
будет иметь место равновесие». Во второй части трактата,
называемой «Общий принцип для нахождения движения многих тел, произвольным
образом действующих друг на друга, а также некоторые применения этого
принципа», Даламбер предложил общий метод составления дифференциальных
уравнений движения любых материальных систем, основанный на сведении задачи
динамики к статике. Здесь для любой системы
материальных точек формулируется правило, названное впоследствии принципом
Даламбера, согласно которому приложенные к точкам системы силы можно разложить
на «действующие», т. е. вызывающие ускорение системы, и «потерянные»
необходимые для равновесия системы.
Даламбер считает, что силы,
соответствующие «потерянным» ускорениям, образуют такую совокупность, которая
не влияет на фактическое поведение системы. Иными словами, если к системе
приложить только совокупность «потерянных» сил, то система останется в покое.
Далее в «Трактате» рассматриваются задачи, для решения которых, по мнению
Даламбера, необходим этот принцип. К таким задачам он причисляет движение тел,
соударяющихся произвольным образом, движение системы тел, связанных стержнями и
нитями, и др. В «Трактате о динамике» Даламбер не вводит понятия связей, хотя и
отличает, например, тяготеющие тела от «тел, которые тянут друг друга при
помощи нитей или жестких стержней». Отметим, что сам Даламбер при изложении
своего принципа не пользовался ни понятием силы (считая, что оно не обладает
достаточной ясностью, чтобы входить в круг основных понятий механики), ни тем
более понятием силы инерции. Изложение принципа Даламбера с применением термина
«сила» принадлежит Лагранжу, который в своей «Аналитической механике» дал его
аналитическое выражение в форме принципа возможных перемещений. В дальнейшем (с
начала XIX в.) вектор 
стали называть силой инерции материальной
точки, а уравнение, выражающее принцип Даламбера, трактовать как утверждение о
равновесии между приложенными к системе силами и силами инерции.
Значение принципа Даламбер
видел в общности подхода к задачам механики. Высокую оценку труду Даламбера дал
Лагранж, по мнению которого, хотя «...этот принцип не дает непосредственно уравнений,
необходимых для решения проблем динамики, но он показывает, каким образом они
могут быть выведены из условий равновесия».
Существенные результаты
получил Даламбер в динамике твердого тела и небесной механике. В 1749 г. был
опубликован его мемуар «Исследования о предварении равнодействий и нутаций оси Земли», в котором
рассматривается задача о вращении Земли около ее центра масс под воздействием
сил притяжения к Солнцу и Луне. Оперируя понятиями моментов инерции и вводя
главные оси инерции вращающегося тела, Даламбер рассмотрел малые колебания
Земли (нутационные движения) около движущейся по конусу прецессии оси вращения
и привел полное динамическое объяснение. В 1751 г. в работе «О движении тела
произвольной формы под действием любых сил» Даламбер дал более систематическое
изложение вопроса о малых колебательных движениях твердого тела относительно
центра инерции. А. Клеро в работе «Теории фигуры Земли» дал формулы для
притяжения эллипсоида, близкого к сфере. Даламбер в третьей части «Исследований
по различным важным вопросам, относящимся к системе мира» (1756) получил более
общие формулы такого рода для тел, близких к сфере, но не обязательно имеющих
форму эллипсоида.
Даламберу (наряду с Д.
Бернулли и Эйлером) принадлежат основополагающие работы по гидромеханике,
следствием которых были обобщающие работы Лагранжа по механике идеальной
жидкости. В 1744 г. выходит сочинение Даламбера «Трактат о равновесии движения
жидкостей», в котором он применяет свой принцип к разнообразным вопросам
движения жидкостей в трубах и сосудах. Даламбер исследовал также законы
сопротивления при движении тел в жидкости. Процесс образования вихрей и
разреженности за движущимся телом он объяснил вязкостью жидкости и ее трением о
поверхность обтекаемого тела. В этом же сочинении Даламбер (почти одновременно
с Эйлером) выдвинул положение об отсутствии сопротивления телу, движущемуся
равномерно и прямолинейно в покоящейся идеальной жидкости (так называемый
парадокс Эйлера – Даламбера). Этот факт доказывается математически как для сжимаемой,
так и для несжимаемой жидкости. В действительности же тело при своем движении в
жидкости или газе всегда испытывает сопротивление. Это объясняется тем, что в
реальной среде не выполняются предположения, на которых построено
доказательство парадокса, т. е. всегда проявляются и вязкость, и вихри, в
результате чего возникает поверхность разрыва скоростей. Все это вызывает
сопротивление жидкости движению тела со стороны жидкости.
В 1748 г. Берлинская академия
наук объявила конкурс на лучшее исследование о сопротивлении жидкостей.
Даламбер представил работу, озаглавленную «Опыт новой теории сопротивления
жидкостей» (опубликована в 1752 г.), где, пользуясь
своим принципом, выводит уравнения движения жидкостей как несжимаемых, так и
сжимаемых и упругих. В гидростатике Даламбер использовал уравнения равновесия
идеальной жидкости в частных производных, введенные Клеро. Однако его уравнения
еще не обладали, по словам Лагранжа, «всей той общностью и простотой, которые
им могут быть приданы» и которые столь характерны для результатов Эйлера.
Оригинальным решением Даламбера здесь является введение комплексной скорости
как функции комплексной координаты точки для плоского безвихревого течения
несжимаемой жидкости. Труды Даламбера в области гидромеханики (вместе с трудами
Эйлера, Д. Бернулли) в XIX в. послужили фундаментом для тех обобщений, в результате которых
механика сплошной среды была выделена в самостоятельную дисциплину со своими
специфическими понятиями и математическим аппаратом.
Даламбер занимался и экспериментальным
исследованием сопротивления движению тел в жидкости в связи с запросами
кораблестроения. В 1775-1777 гг. он вместе с А. Кондорсе (1743-1794) и Ш. Боссю (1730-1814) провел серию опытов над сопротивлением
плавающих тел в безграничной жидкости и узких каналах.
Даламбер принимал активное
участие в споре о «живой силе», начатом Декартом и Лейбницем и связанном с
разработкой понятия о «мере силы», и в споре о принципе наименьшего действия.
Спор о «живой силе» был полностью разрешен в «Трактате о динамике». Вопросу о
принципе наименьшего действия Даламбер посвятил статью в «Энциклопедии».
Отвергая претензии Мопертюи, считавшего этот принцип
неким универсальным законом – непосредственным выражением могущества бога,
Даламбер подчеркнул его чисто механическое значение: глубокую связь с принципом
живых сил и возможность его применения для решения отдельных задач механики.
Ни один из принципов теоретической механики не вызывал
столько споров, сколько принцип Д'Аламбера. В 20-е годы текущего столетия против него
выступили философы, обвинив его в антидиалектичности;
по этому принципу изучение движения сводится к исследованию равновесия, тогда
как, наоборот, равновесие есть частный случай движения. В 30-е годы разгорелась
дискуссия инженеров против механиков-теоретиков; инженеры утверждали, что сила
инерции реальны, и никак не могли
согласиться, что фиктивные силы могут производить реальные действия. В 40-е
годы некоторые историки механики стали утверждать, что принцип Д'Аламбера
совсем не принадлежит Д'Аламберу, а должен называться
петербургским принципом — принципом Германна-Эйлера.
Рассмотрим возникновение этого принципа. Прежде всего уточним предмет спора. Термин «сила инерции»
употребляется в четырех различных. В начале XVIII в.
силой инерции называлось свойство материи сохранять свое состояние покоя или
равномерного и прямолинейного движения. После Эйлера такое понимание было
отброшено.
В первой половине XIX в. термин «сила инерции»
возродил Жан-Виктор Понселе
(1788—1867); под этим термином он понимал реальную силу противодействия,
которую движимое тело оказывает связям или движущим телам; эта реальная сила
приложена к связям. Такими являются центробежные силы, которые ввел Гюйгенс,
как силы, натягивающие веревку, прикрепленную к телу, совершающему круговое движение;
в этом смысле понимал центробежную силу и Эйлер. Если, например, рабочий
толкает тележку массой т, сообщая ей
ускорение а, то он действует на нее
силой та; по третьему закону Ньютона тележка оказывает реальную силу
противодействия, которая приложена к толкующему ее рабочему.
Предположим теперь, что тележку толкает не один, а два
рабочих; сила, действующая на тележку, по-прежнему равна та, но теперь получаются две силы противодействия, приложенные к
каждому из рабочих. Математическая сумма двух этих сил по-прежнему равна та, но физически сложить эти силы
нельзя, поскольку они приложены к двум различным телам, а потому и не могут
иметь реальной равнодействующей.
Таким образом, силы инерции, определяемые Понселе, являются реальными только в случае двух
взаимодействующих тел, в общем случае не существуют как одна реальная сила. Это
обстоятельство привело к тому, что из теоретической механики силы инерции,
определяемые Понселе, были отброшены (они остались
только в технической механике).
Силами инерции по Д'Аламберу теперь называют
фиктивные силы, приложенные к телу, равные произведению его массы на ускорение
и направленные прямо противоположно ускорению. Если бы эти силы были реальными,
то, будучи добавлены к другим действующим на тело реальным силам, они их
уравновесили бы. К такой точке зрения приближался и Гюйгенс, когда утверждал,
что центростремительные силы Ньютона уравновешивают центробежные.
Термином «силы инерции» обозначают
так называемые кориолисовы силы (переносная и
поворотная), которые надо добавить к реальным силам, действующим на тело, чтобы
определить движение тела по отношению к некоторой неинерционной системе
отсчета, поскольку вся механика Ньютона применима только по отношению к
абсолютно неподвижной системе отсчета, или совершающей по отношению к этой
системе отсчета равномерное и прямолинейное движение.
В случае неинерционной системы отсчета необходимо
добавлять кориолисовы силы, не существующие в
абсолютной системе отсчета, но вполне реальные по отношению к переносной
системе отсчета. К этому пониманию был близок и Гюйгенс; формулу для
центростремительного ускорения он выводил для относительного движения, а также
учитывал влияние центробежной силы вращения Земли на величину периода колебания
маятника для различных широт.
Рассмотрим силы инерции в смысле Д'Аламбера; при этом
отметим, что сам Д'Аламбер этого термина не
употреблял, но Лагранж в «Аналитической механике» автором рассматриваемого
принципа считает Д'Аламбера. Он писал, что в
появившемся в 1743 г. трактате Д'Аламбера «Динамика» был предложен прямой и общий метод, с
помощью которого можно разрешить или во всяком случае выразить в виде уравнений
все задачи механики, которые только можно представить.
История возникновения принципа Д'Аламбера представляется
в следующем виде. Первой задачей динамики твердого тела — простейшего примера
механической системы материальных точек — была решенная Гюйгенсом задача о
физическом маятнике. При ее решении Гюйгенс пользовался следующими предположениями;
1. Центр тяжести системы тяжелых тел не может
подняться на высоту, большую той, с которой он упал, какие бы изменения
Взаимного: положения этих тел ни происходили, поскольку иначе было бы возможным
вечное движение.
2. Физический маятник может всегда самостоятельно
подняться на высоту, с которой он опустился свободным движением.
В 1681 г. против этих предположений появились
возражения, на которые Гюйгенс отвечал довольно неясно и не совсем
удовлетворительно. Этот спор привлек внимание Якова Бернулли (1654—1705), который воспользовался представившимся
случаев для детального рассмотрения теории Гюйгенса и попробовал поручить ее из
основных принципов динамики. Сначала он рассматривал только два одинаковых
груза, прикрепленных к жесткому прямолинейному стержню; скорость
первого груза, более близкого к точке подвеса, которую он получал, описывая
дугу при колебании, была меньше той, которую он получил бы при свободном
падении по той же дуге, а скорость, приобретенная при этом другим, более
удаленным грузом, должна быть больше той, которую он получил бы в свободном
падении по описанной дуге. Скорость, потерянная первым
грузом, сообщается второму, и так как эта передача получается при помощи
рычага, имеющего точку опоры в точке подвеска стержня, то величина передаваемой
скорости должна удовлетворять закону равновесия сил на этом рычаге; таким
образом, потеря скорости первого груза относится к скорости, приобретенной
вторым грузом, обратно пропорционально плечам рычага, т. е. расстояниям от
рассматриваемых грузов до точки подвеса.
В 1691 г. Яков Бернулли исправил свою гипотезу: он
рассматривал совокупность движений, которые тяжесть в каждый момент сообщает
телам, составляющим маятник; так как эти тела не могут совершать свои
естественные движения вследствие связанности, то воспринимаемые ими движения
нужно рассматривать как состоящие из сообщенных им и других, прибавленных или
отнятых, которые должны сбалансироваться между собой, вследствие чего маятник
должен оставаться в равновесии. Таким образом, задача приводится к принципам
статики и требует только применения математического анализа.
Это было первое появление идеи о равновесии. Следующий
шаг в решении той же задачи был сделан Яковом
Германном (1678—1733). Германн,
так же как и Эйлер, родился в Базеле и получил математическое образование в
кругу Бернулли. Близость идей Германна к Якову
Бернулли видна из одинаковости терминологии; для обозначения понятия «сила» Германн пользуется тем же термином «sollicitatio»
— побуждение, что и Яков Бернулли. Будучи с 1713 г. профессором во
Франкфурте-на-Одере, Германн там и закончил свое
основное произведение «Форономия, или о силах и
движениях твердых и жидких тел». С 1725 г. Германн —
член Петербургской Академии наук, где он оставался до 1731 г. Когда Эйлер
приехал в Петербург, Германн оказывал ему всяческое
покровительство. Работы Германна были хорошо известны
Эйлеру. Эту тесную связь Эйлера с Германном следует
тем более подчеркнуть, что, выпуская в 1735 г. свою «Механику», Эйлер считал,
что из-за недостаточности разработанных принципов еще нельзя
Заниматься динамикой твердого тела. Кроме того, по мнению самого Эйлера,
в книге Германна не было никаких новых общих
принципов механики; поэтому книга, написанная в 1726 г., никакого отношения к
петербургскому периоду жизни Германна не имеет, и
название «петербургский» к принципу Германна
неприменимо.
Но что же в сущности было
сделано Германном? В пятой главе второй части первой
книги его «Форономии» Германн
разбирает физический маятник, состоящий из двух материальных точек, и ставит
вопрос об определении его приведенной длины. Для этой цели он вводит так
называемые викарные (заменяющие) силы (sollicitationes
vicariae), определяемые им так: викарными силами для
центральных сил тяготения являются тангенциальные силы, которые нужно подставить
мысленно вместо центральных сил тяготения и которые будут им эквивалентны.
Если силы тяжести отложить в прямо противоположном
направлении, т. е. по вертикали вверх, то они уравновесят всю систему викарных
сил. После этого Германн, доказав
две леммы, переходит к основной теореме, которая формулируется им так: если
отдельные части какого-нибудь физического маятника, будучи внезапно освобождены
от всяких связей, начнут двигаться вверх, каждая с той скоростью, которую она
получила во время колебания, будучи связана с остальными точками, то общий
центр тяжести всех частиц маятника поднимется на ту же самую высоту, с которой
он опустился при нисхождении всего физического маятника, т. е. когда все
частицы маятника были еще между собой связаны.
Эта теорема и есть то предложение, которое без
доказательства было положено Гюйгенсом в основу его теории физического
маятника.
В петербургский период жизни Германн
еще раз вернулся к задаче о физическом маятнике и решил ее в статье «Новый
способ вывода уже рассматривавшегося правила
определения центра колебания любого сложного маятника, полученный из теории
движения тяжелых тел по дугам окружности». Данный им вывод, по существу,
совпадает с обычным доказательством при помощи интеграла живых сил. Это
обстоятельство является решающим для суждения о «принципе Германа»; даже сам
автор не признавал его в качестве общего принципа механики. Следует отметить,
что в викарных силах Германна содержится зародыш
того, что теперь называют тангенциальными силами инерции.
Придуманный для решения одной только задачи принцип Германна Эйлер сделал более общим и воспользовался им для
определения колебаний гибких тел в мемуаре «О малых
колебаниях тел как твердых, так и гибких. Новый и легкий метод».
Сославшись на работы своих предшественников Даниила и
Ивана Бернулли, Тэйлора и Германна
и на те затруднения, которые они встретили при
определении колебаний гибких тел, когда предварительно приходилось определять
фигуру колеблющегося тела, Эйлер пишет: «Мне пришел в голову другой чрезвычайно,
ясный метод, опирающийся только на принципы статики, при помощи которого я с
удивительной легкостью решил не только вопросы, Касающиеся колебаний упругой
пластинки и подвешенной нити, но смог очень быстро разобрать все, что только
относится к теории колебаний».
Основная идея Эйлера заключается в следующем.
Рассмотрим обыкновенный математический маятник длиной l и массой т, отведенный
от положения равновесия на весьма малую дугу s, которую можно считать прямой линией. Тогда сила F, движущая математический маятник,
выразится формулой
т.
е. она пропорциональна отклонению s
от положения равновесия, и соответствующая длина маятника
Если несколько тел одновременно доходят до положения
равновесия, то для них величина l
должна быть одной и той же. Поэтому силы, действующие на эти тела по
направлению их движений, должны находиться между собой в отношениях,
составленных из отношений их масс и тех расстояний, которые они должны пройти
для того, чтобы прийти в положение равновесия.
Таким образом, для всякого тела, совершающего
колебания, прежде всего необходимо исследовать, каково
будет положение его равновесия. Затем это тело нужно немного вывести из этого
положения и исследовать, на какое расстояние оно отстоит от места, занимаемого
им в положении равновесия. Сила, действующая на каждую частицу по направлению
движения, должна быть пропорциональна произведению массы частицы на то
расстояние, которое она должна пройти до положения равновесия.
Если же отдельные частицы колеблющегося тела в действительности
подвергаются действию других сил, имеющих иные направления, то вместо этих сил
нужно подставить другие, которые действуют на отдельные части тела по
направлению расстояний до положения равновесия и являются пропорциональными
произведениям этих расстояний на массы соответствующих частиц. Эти силы нужно
выбрать такими, чтобы все они, вместе взятые, были эквивалентны тем силам,
которые в действительности приложены к телу.
Так как эти родственные силы должны быть эквивалентны
силам, действующим на тело, то из статики ясно, что если вместо них взять силы,
равные по величине, но прямо противоположные по направлению, то тело должно
быть в равновесии. Поэтому нужно определить соответствующее положение
равновесия; после того, как это будет сделано, станет известным и время, в
течение которого тело будет совершать отдельные колебания.
Таким образом, все исследование, касающееся
колебательных движений тел, приводится к принципам статики.
При помощи этого метода Эйлер
определил приведенную длину сложного маятника, состоящего из четырех масс,
расположенных на жесткой невесомой прямой, а также длину любого физического
маятника, затем период колебаний шарового сегмента, лежащего выпуклой стороной
на горизонтальной плоскости; он решил задачу Даниила Бернулли о колебании
гибкой пластинки и разобранную Тэйлором и Иваном
Бернулли задачу о колебаниях струны.
Все вычисления, которые приходится производить при
использовании метода Эйлера, в точности совпадают с теми, которые можно
сделать, ведя расчеты по принципу Д'Аламбера (так как ускорения в гармонических колебаниях
пропорциональны отклонениям s от
положения равновесия и коэффициент пропорциональности представляет собой
выражение Эйлера g/l).
Однако метод Эйлера не является общим принципом динамики прежде всего потому, что, как признает сам Эйлер,
он применим только к теории колебательных движений, а, кроме того, вводимые им
эквивалентные силы, по существу, аналогичны обыкновенным упругим силам,
действующим при колебаниях.
Этот результат был получен за три года до появления
«Динамики» Д'Аламбера.
Д'Аламбер оставил крупный след в развитии механики созданием
носящего его имя принципа, опубликованного в сочинении «Динамика», вышедшем в
1743 г. Для правильного понимания этого принципа нужно иметь в виду состояние
механической терминологии его времени. Не существовало термина «ускорение», а следовательно, и термина «силы инерции». Д'Аламбер уклонился от употребления понятия «сила», не
считая достаточно выясненной природу сил. Понятие «скорость» он употреблял в
двух смыслах: в теории удара в современном смысле как конечную величину, а в
случае сил, действующих непрерывно, — как ее бесконечно малое приращение dv. Так как
принцип Д'Аламбера
предполагает наличие сил, то, конечно, для понимания его сущности необходимо
как-то ввести силы. Сохраняя терминологию эпохи, это удобнее всего сделать,
приняв обозначения Эйлера:
где
F — сила, т — масса тела, на которое она действует.
Формулировка принципа у Д'Аламбера: дана система тел
(материальных точек), связанных между собой; каждому телу сообщено определенное
движение (скорость), которому это тело не может следовать по причине действия
других тел, связанных в системе. Определить движение, которое должно получить
каждое из этих
тел.
Изложение принципа Д'Аламбера проведем с
небольшими упрощениями и, конечно, в терминологии, близкой к современной.
Пусть система состоит из нескольких тел, массы которых
известны. Возьмем одно из этих тел, масса которого т. Пусть на это тело действует внешняя сила F, сообщающая ему скорость dv1
Эту скорость тело получит, если оно будет свободным.
Но так как на него действуют силы от других тел системы, равнодействующая
которых R, то рассматриваемое тело
получит еще добавочное приращение dv2:
Таким образом, истинное приращение скорости этого тела
Откуда
Составим такие выражения для всех тел системы и
просуммируем их:
Рассматриваем каждую сумму отдельно как некоторую
систему, не приводя ее к какой-нибудь конечной форме. Последняя сумма
эквивалентна нулю, так как состоит из внутренних сил системы, которые
существуют попарно и подчиняются третьему закону Ньютона. Д'Аламбер
рассматривал три совокупности:
Он утверждал, что после сообщений скоростей 
тела системы действительно получают только скорости
. Так как
, то
совокупность 
должна быть
равна нулю.
Теперь после очевидных упрощений получаем выражение
принципа Д'Аламбера в такой форме:
Система
векторов, равных произведениям масс точек на их ускорения, эквивалентна системе
внешних сил, приложенных к системе (считая в том числе и реакции связей). Таким образом, принцип Д'Аламбера,
по существу, представляет обобщение для системы точек второго закона Ньютона:
Следует отметить, что у Д'Аламбера ход рассуждений
был иной. Он рассматривал величину dv1
как распадающуюся на две части: dv— действительное приращение скорости данного тела и dv2 — скорость, которую это
тело сообщило другим телам системы, — поэтому его принцип можно выразить
уравнением
В
переводе на силы это равенство получит вид
Последователи Д'Аламбера называли величину 
деятельными
силами, а 
— потерянными
силами. У самого Д'Аламбера в формулировке его
принципа таких терминов нет.
Но если принцип Д'Аламбера выражается равенством
то отсюда вытекают такие следствия:
1. Никакое равновесие в принципе Д'Аламбера не
рассматривается.
2. Никаких фиктивных сил в принципе Д'Аламбера нет.
3. Принцип Д'Аламбера можно вывести с абсолютной строгостью из законов
Ньютона с обязательным включением третьего закона; без него невозможно было бы
построить классическую механику системы материальных тел.
Следовательно, не были абсолютно правыми и защитники
принципа Д'Аламбера, видевшие в нем необходимое дополнение к трем
законам Ньютона для построения механики системы.
Если в принципе Д'Аламбера нет ни равновесия, ни фиктивных сил, то откуда же
появились они в современных учебниках механики?
Дело заключается в определении понятия
«эквивалентность» для системы сил: две системы сил называются эквивалентными,
если каждая из них в отдельности может быть уравновешена одной и той же
системой сил.
При помощи этого определения совершенно
строго доказывался все случаи эквивалентности сил и пар без каких-либо
кинематических заимствований.
Если принять такое определение эквивалентности, то
оказывается, что система «деятельных сил» 
и эквивалентная
ей система действующих сил
должны быть
уравновешены одной и той же системой сил. Но система сил может быть
уравновешена системой сил - , приложенных в тех же самых точках; эти силы и
называются силами инерции в смысле Д'Аламбера. Тогда и система действующих сил F тоже может быть уравновешена системой
сил — , а в этом и заключается современная формулировка
принципа Д'Аламбера: система сил может быть
уравновешена даламберовыми силами инерции.
Если Эйлер не формулировал принципа, соответствующего
принципу Д'Аламбера, то в какой мере в вышедшей в 1765 г. «Теории
движения твердых тел» Эйлер мог использовать опубликованный в 1743 г. принцип Д'Аламбера?
При исследовании движения твердого тела Эйлер вводит
так называемые элементарные силы, определяемые им таким образом: элементарными
называются силы, которые, будучи в отдельности приложены в каждой элементарной
частице тела, произведут в них то же самое изменение состояния, которое эти
частицы действительно имеют в движении тела.
Эти элементарные силы следует настоятельно отличать от
сил, которые действительно приложены к телу. Если узнать движение тела,
произведенное приложенными к нему силами, то нужно определить, как изменится
состояние каждой элементарной частицы. Тогда каждую из этих частиц можно
рассматривать как существующую вполне самостоятельно, и на основании
предыдущего легко определить силы, которые, будучи приложены к этим частицам,
произведут то же самое изменение состояния. Все эти силы, взятые вместе,
представляют то, что в дальнейшем следует понимать под элементарными силами.
Все эти элементарные силы, взятые в совокупности, являются эквивалентными
действительно приложенным к данному телу силам, так как обе эти системы сил
производят то же самое изменение в движении тела.
Эти элементарные силы Эйлера представляют нечто
аналогичное так называемым «деятельным силам» у последователей Д'Аламбера,
и при желании из их определения можно было бы заключить что Эйлер имел в своем
распоряжении какой-то принцип, аналогичный принципу Д'Аламбера.
Более простым было бы, однако, предположение, что
понятие элементарных сил возникло в связи с тем, что данное твердое тело Эйлера
рассматривают как состоящее из элементарных частиц совершенно так же, как в
механике сплошной среды. Существенным являются именно элементарные частицы,
введение которых позволяет Эйлеру установить связь между механикой точки и
механикой твердого тела.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
