ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ
Динамика плоского
движения твердого тела
Пример Д8.
Каток (сплошной однородный цилиндр) радиуса R и веса Р
начинает катиться без скольжения из состояния покоя по наклонной плоскости с
углом наклона ; на каток действует сила
.
Дано: f =0,2Р, =600.
Определить: 1) хс=f(t) – закон
движения центра масс катка;
2) fmin – наименьший коэффициент
трения, при котором возможно качение без скольжения.
Указания. Задача — на применение дифференциальных уравнений плоскопараллельного движения твердого тела.
При составлении уравнений следует во
избежание ошибок в знаках направить координатную ось х в ту сторону, куда предполагается направленным движение
центра С барабана, и считать тогда все моменты положительными, когда они направлены в сторону вращения
барабана. Если фактически направление движения центра С другое, то в ответе
получится aс<0,
но найденное значение будет верным.
Силу трения, когда неясно, куда она
направлена, можно направлять в любую сторону.
Определяя наименьшее значение коэффициента трения,
при котором возможно качение без скольжения, учесть, что сила трения не может быть больше предельной, т.е. что , откуда
. Следовательно,
. Очень существенно, что во все эти выражения
входят модули сил (мы не пишем
, так как в данной задаче не может быть N<0).
Если при расчетах получится Fтр<0, то это означает лишь, что фактически сила
направлена в другую
сторону; в остальном весь расчет будет верен.
Рис. Д8
Решение.
Каток
совершает плоскопараллельное движение. Покажем действующие на него силы: . Так как направление силы трения
заранее неизвестно, выбираем
его произвольно. Проведем оси Oxy так, что ось Oy проходит через начальное положение центра масс катка
и ось Ox параллельна линии движения центра масс катка. Составим
дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения:
;
; (1)
;
; (2)
;
. (3)
за
положительное направление для моментов принято направление по ходу часовой стрелки,
т.е. в ту сторону, куда будет вращаться каток при движении центра С от оси Oy.
Учитывая,
что центр масс катка не движется в направлении оси y и yС=R=const,
определяем, что в уравнениях (1) – (3) четыре неизвестные величины: и
. Две из них,
и
, должны быть связаны кинематическим соотношением.
Действительно, поскольку в точке Д находится мгновенный центр скоростей катка
(движение без скольжения), то
. Дифференцируя последнее равенство по времени, получим:
. (4)
Теперь
в четырех уравнениях (1) – (4) четыре неизвестные величины.
Найдем
хс=f(t). Выразим из уравнения (3) Fтр и
подставим в уравнение (1), получим (с учетом равенства (4)):
.
Отсюда:
.
Подставим
данные задачи и учтем, что Р=mg. Получим следующее дифференциальное уравнение:
. (5)
Интегрируя,
получим:
=0,31gt +C1;
. (6)
Подставим
в равенства (6) начальные условия: при t=0 хС =0, . Найдем С1=0,
С2=0. Окончательно из (6) находим закон движения центра С:
хС=0,16gt2. (7)
Определим
fmin. При качении без скольжения
. (8)
Величину
N находим из уравнения (2), учитывая, что . Получим:
. (9)
Величину
Fтр найдем
из уравнения (1), заменив в нем его значением из (5).
Получим:
.
Отсюда,
так как mg =P, то
. (10)
Здесь
Fтр
получилась положительной, значит, направлена так, как показано на рис. Д7.
Подставляя значения N и Fтр из
равенств (9) и (10) в неравенство (8), получим 0,36P f·0,5P, откуда f
0,72. Следовательно,
наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение катка без
скольжения,
fmin =
0,72.
Принцип Даламбера
Пример Д9. Груз массой
Рис. Д9
Указание. При решении задачи рекомендуется такая последовательность:
1. выделить точку, движение которой рассматривается в данной задаче;
2. выяснить, какие активные силы действуют на точку и изобразить их на рисунке;
3. освободить точку от связей, заменив их реакциями;
4. к образовавшейся системе сил добавить силу инерции, помня, что направлена она по линии вектора ускорения точки, но в противоположную сторону;
5. выбрать
расположение осей координат и составить два уравнения проекции всех сил на эти
оси ();
6. решив уравнения, определить искомые значения величин.
Решение.
Обозначив груз точкой А, приложим к нему силу тяжести G, реакцию троса Т, и добавим к ним силу инерции Fи, направив ее в сторону, противоположную ускорению.
Ускорение а
определяем из уравнения равнопеременного движения так как начальная
скорость
Согласно принципу Даламбера силы G, Т и Fи находятся в равновесии, т.е.
, откуда
.
Выражая силу
инерции и силу тяжести через массу груза (,
), получаем
Ответ: 1,8кН
Пример Д9. Вертикальный вал длины 3а (AB = BD = DE = а), закрепленный подпятником A и подшипником E (рис. Д9б),
вращается с постоянной угловой скоростью . К валу жестко прикреплен в точке D ломаный однородный стержень массы
и длины
,состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке B прикреплен невесомый стержень длины
с точечной массой
на конце; оба стержня
лежат в одной плоскости.
Дано:= 15 с-1,
10 кг,
=4 кг,
= 300,
= 1200,
=300,
= 0,5 м,
= 0,1 м.
Определить: реакции подпятника A и подшипника E, пренебрегая весом вала.
Указания. Задача – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении
задачи учесть, что, когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня)
имеют равнодействующую , то численно
=mac, где ас – ускорение центра масс
С тела, но линия действия силы
в общем случае не
проходит через точку С.
а) б)
Рис. Д9
Решение.
Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в
точках B и D стержни (рис.
Д9а). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих
частей и соответственно равны
;
;
;
;
. (1)
Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической
системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси Axy так, чтобы стержни лежали в одной плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные
силы – силы тяжести и реакции связей – составляющие
реакции подпятника
,
и реакцию
цилиндрического подшипника
.
Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции
элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.
Так как вал вращается равномерно, то полные ускорения элементов стержня
равны нормальным ускорениям, , направлены к оси вращения и численно равны
, где
есть расстояния
элементов от оси вращения. Тогда силы инерции
будут направлены от
оси вращения и численно равны
, где
– масса элемента. Так
как все
пропорциональны
, то эпюра этих параллельных сил инерции для части 1 стержня
образует треугольник. Силы
, действующие на элементы части 2 стержня, параллельны ей
(рис. Д9а).
Каждую из полученных систем параллельных
сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так
как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где
– масса тела,
– ускорение его центра
масс, то для частей стержня соответственно получим:
. (2)
Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону,
противоположную ее ускорению, и численно равна
. (3)
Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:
, (4)
где
,
– расстояния
центров масс частей стержня от оси вращения, а
– соответствующее
расстояние груза:
м,
м, (5)
м.
Подсчитаем теперь по формулам (2) и (3) значения ,
и
:
н,
н, (6)
н.
Линия действия равнодействующей проходит через центр
тяжести эпюры сил инерции части 1 стержня на расстоянии 2H/3 от вершины D треугольника, где
. Линия действия равнодействующей
проходит вдоль части 2
стержня.
Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и
реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим
для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим
;
,
;
, (7)
;
где
H1, H2,
H3 – плечи
сил ,
,
относительно точки A. Найдем численные значения этих величин, учитывая,
что
м.
м,
м, (8)
м.
Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1),
(5), (6) и (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.
Ответ: ХА=-95,0 Н; YA= 140,0 Н; RE= -107,0 Н.
Принцип возможных перемещений
Пример Д10. Механизм (рис. Д10а), расположенный в горизонтальной
плоскости, состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна B, соединенных
друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.
К ползуну В прикреплена пружина с коэффициентом жесткости c, к стержням 1 и 4 приложены пары сил с моментами М1
и М2 соответственно.
Дано:
, l1
= 0,4 м, l4
= 0,6 м, AE = ED, c = 100 Н/см, М1 = 200 Нм, М2
= 150 Нм.
Определить:
деформацию пружины при равновесном
механизме.
Указания. Задача – на определение условий равновесия механической системы с помощью принципа возможных перемещений. Механизм в рассматриваемой задаче имеет одну степень свободы, т.е. одно независимое возможное перемещение. Для решения задачи нужно сообщить механизму возможное перемещение, вычислить сумму элементарных работ всех действующих активных сил и пар на этом перемещении и приравнять ее нулю. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.
Чтобы найти , надо из полученного
условия равновесия определить силу
упругости F. На чертеже эту
силу можно направить в любую сторону (т.е. считать пружину или растянутой, или
сжатой); верно ли выбрано направление силы, укажет знак.
Решение.
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. Д10б). Для решения задачи воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому
, (1)
где – элементарная работа
активных сил на соответствующих возможных перемещениях.
а) б)
рис. Д10
Изобразим действующие на механизм активные силы: силу упругости F (предполагая, что пружина растянута) и пары с моментом М1 и М2.
Неизвестную
силу F найдем с
помощью уравнения (1), а зная F и учитывая, что F = c, определим
.
2. Чтобы составить уравнение (1), сообщим механизму
возможное перемещение и введем следующие обозначения для перемещений звеньев, к
которым приложены активные силы:
– поворот стержня 1
вокруг оси О1,
– поворот стержня 4
вокруг О2,
– перемещение ползуна
(точки В).
Так как у механизма 1 степень свободы, то одно перемещение –
независимое от других. Будем считать независимым перемещение и установим, какими
тогда будут
и
, выразив их через
; при этом важно определить и направления
и
,так как иначе в уравнении (1) будут ошибки в знаках.
При расчетах учтем, что зависимость между возможными
перемещениями здесь такая же, как между соответствующими скоростями звеньев
механизма при его движении, и воспользуемся известными из кинематики
соотношениями.
Сначала найдем
и изобразим (направление
определяется
направлением
), получим:
=l1
, (2)
О1А.
Теперь
определим и изобразим , для этого найдем сначала
.
O2D.
Учитывая, что
проекции и
на прямую AD
должны быть равны друг другу (иметь одинаковые модули и знаки), получим
и
. (3)
Тогда:
. (4)
Чтобы
определить , найдем сначала
. Для этого построим мгновенный центр скоростей Р стержня 2
(на пересечении перпендикуляров к
и
, восстановленных из точек A и D) и покажем направление поворота
стержня 2 вокруг Р, учтя направления
и
. Так как
PAD =
PDA =
, то
APD –
равносторонний и PE в
нем – высота, поскольку AE
= ED. Тогда перемещение
, перпендикулярное PE, будет направлено по прямой AD (при изображении
учитываем направление
поворота вокруг центра P).
Воспользовавшись
тем, что проекции и
на прямую AD должны быть равны друг
другу, получим:
. (5)
Наконец, из
условия равенства проекций и
на прямую EB находим и изображаем
:
,
. (6)
3. Теперь составляем для механизма уравнение (1):
. (7)
Заменяя здесь и
значениями (4) и (6) и
вынося одновременно
за скобки, получим:
. (8)
Так как , то отсюда следует, что
. (9)
Из
уравнения (9) находим значение F и
определяем .
Ответ: = 5 см. (Знак
указывает, что пружина, как и предполагалось, растянута.)
Общее уравнение
динамики
Пример Д11. Механическая система (рис. Д11) состоит из обмотанных нитями
блока 1 радиуса R1 и ступенчатого шкива 2
(радиусы ступеней R2 и r2, радиус инерции относительно оси вращения ), а также из грузов 3, 4 и 5, прикрепленных к нитям.
Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил
с моментом М1, приложенной к блоку 1.
Дано:
Р1 = 0; Р2= 40 Н; Р3=
30 Н; Р4= 20 Н; Р5= 10 Н;
М=10 Н×м;
R1
=0,2 м; R2
= 0,3 м; r2
= 0,15 м, = 0,2 м.
Определить: а3 (трением пренебречь).
Указания. Задача - на применение к изучению движения системы общего уравнения динамики
(принципа Даламбера - Лагранжа). Ход решения задачи такой же, как в задаче Д10, только предварительно надо присоединить к
действующим на систему силам соответствующие силы инерции. Учесть при этом, что
для однородного тела,
вращающегося вокруг своей оси симметрии (шкива), система сил инерции приводится к паре с
моментом Ми = Iz , где Iz - момент инерции тела относительно оси
вращения,
- угловое ускорение тела; направление Ми противоположно направлению
.
Рис. Д11
Решение.
1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, …,5, соединенных нитями. Система имеет 1 степень свободы. Связи, наложенные на систему, – идеальные.
Для определения ускорения а3 применим общее уравнение динамики:
, (1)
где – сумма элементарных
работ активных сил на любом возможном перемещении системы;
– сумма элементарных
работ сил инерции соответственно.
2. изображаем на чертеже активные силы:
силы тяжести ,
и пару сил с моментом
М.
Задавшись
направлением ускорения а3, изображаем на чертеже силы инерции
и пару сил с моментом
, величины которых равны:
;
(2)
3. Сообщаем системе возможное перемещение и, составляя уравнение (1), получим
(3)
Выразим все
возможные переменные через :
(4)
Подставим величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к виду:
(5)
Входящие сюда
величины , а4, а5 выразим через
искомую величину а3:
.
Затем, учтя,
что , приравняем к нулю выражение, стоящее в (5) в квадратных
скобках.
Из полученного уравнения найдем:
а3
= .
Вычисления дают следующий ответ: а3= -0,3 м/с2. Знак «-» указывает, что ускорение груза 3 и ускорения других тел направлены противоположно показанным на рис. Д11.
Уравнения Лагранжа II рода
Пример Д12. Механическая система (рис. Д12) состоит из барабана 1
радиуса R, к которому приложена пара сил с
моментом М, тележки 2 и катка 3 (барабан и каток – однородные цилиндры);
веса всех тел равны Р1, Р2, Р3;
весом колес тележки пренебречь. Тележка соединена с барабаном намотанной на него
нитью, а с катком – пружиной BD, коэффициент жесткости
равен с. Система начинает движение из состояния покоя; пружина в этот
момент не деформирована.
Дано: P1 = P; P2
= P; M = 2PR.
Определить: 1) x = f(t), где x – удлинение пружины (или перемещение центра D катка по отношению к тележке); 2) частоту k и период t колебаний.
Указания. Задача – на применение к изучению движения системы уравнений Лагранжа. В задаче система имеет две степени свободы; следовательно, ее положение определяется двумя обобщенными координатами q1 и q2 и для нее должны быть составлены два уравнения.
Решение
следует начать с выбора обобщенных координат, обозначив их q1 =х и
q2 = или q1 =х и
q2 = y. За координату х принять удлинение пружины, отсчитываемое
в сторону того из тел 3, 4 или 5 системы, к которому пружина прикреплена;
например, если пружина прикреплена к этому телу в точке В и ее длина в
произвольный момент времени равна АВ, то х = АВ – lo, где lo – длина недеформированной пружины.
За координату j
принять угол поворота крайнего блока (этот блок может быть и невесомым),
отсчитывая j
от начального положения. Если в систему ни один блок не входит, а входят лишь
тела 3 и 4, за координату y
принять расстояние тела 4 от начального положения.
Решение.
1. Для решения задачи воспользуемся
уравнениями Лагранжа II
рода. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. Выберем в качестве
обобщенных координат угол поворота барабана φ и удлинение пружины x (q1 = ; q2
= x).
Рис. Д12
Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид:
;
. (1)
2. Определим кинетическую энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел:
Т = Т1+Т2+Т3. (2)
Так как барабан вращается вокруг оси О, тележка движется поступательно,
а каток – плоскопараллельно, то:
;
;
, (3)
где
,
.
Все входящие сюда скорости надо выразить через обобщенные скорости и
. Очевидно, что
,
. Для определения VD рассмотрим движение катка как сложное. Учитывая, что x определяет положение точки D по отношению к тележке, получим
, где численно
. Принимая во внимание, что при возрастании φ и x скорости
и
направлены в разные
стороны и что точка E для катка – мгновенный центр
скоростей, получим:
,
.
Подставляя все найденные значения скоростей и значения I0
и ID в равенства (3) и учитывая, что P1 = P3 = P, P2 = 2P, получим окончательно из (2) следующее выражение для T:
. (4)
Отсюда находим:
;
;
;
. (5)
3. Теперь определим обобщенные силы Q1 и Q2 .
Изображаем действующие на систему активные силы: силы тяжести, равные ,
,
силы упругости
и
, где численно
= F = cx, и пару с
моментом M.
а) Для определения Q1 сообщим системе возможное перемещение, при котором
координата получает приращение
, а x не
изменяется, т.е.
(пружина при таком
перемещении системы не изменяет свою длину). Тогда тележка и центр D катка получают одинаковые перемещения
и элементарная работа действующих
сил будет равна:
.
Заменив здесь все величины их значениями, найдем в результате, что:
,
. (6)
б) Для
определения Q2
сообщим системе возможное перемещение, при котором координата x получает приращение , а
не изменяется, т.е.
(барабан не
поворачивается и тележка не перемещается). Тогда работу совершает только сила
.
;
. (7)
Подставляя величины (5), (6) и (7) в уравнения (1), получим следующие дифференциальные уравнения движения системы:
,
. (8)
4. Для определения исключим из уравнений
(8)
. Получим дифференциальное уравнение вида:
,
где
,
. (9)
Общее решение
уравнения (9) имеет вид x
= x1+x2, где x1 – общее
решение однородного уравнения , т.е.
.
А x2 – частное решение
уравнения (9), которое будем искать в виде x2 = A = const. Подставляя x2 в (9), получим . Таким образом, общее решение уравнения (9) имеет вид:
.
(10)
Продифференцировав уравнение (10), получим:
. (11)
По начальным
условиям при t =
0, x = 0, (движение начинается
из состояния покоя и пружина в этот момент не деформирована).
Подставляя
эти величины в уравнение (10) и в уравнение (11), найдем из них, что ,
.
Окончательно получаем искомую зависимость x = f(t) в виде:
, (12)
где значения a и k2 даются последними
двумя равенствами из (9). Таким образом, центр катка D совершает по отношению к тележке
колебания, закон которых дает равенство (12). Частота k и период этих колебаний:
;
. (13)
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов