Примеры решения задач

Главная

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ

Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

Под динамическим поведением конструкции следует понимать реакцию (отклик) ее на внешние кинематические или динамические возмущения, обусловленные условиями эксплуатации. Прогнозировать динамическое поведение - это значит предвидеть последствия эксплуатационных возмущений, проанализировать поведение задуманной машины на основе математических моделей, устранить заблаговременно нежелательные эффекты, добиваясь оптимальных свойств будущей машины. Важнейшим этапом исследования динамического поведения конструкций является решение двух основных задач динамики материальных объектов : материальной точки и материальной системы.

Эти задачи следующие:

1. По заданному закону движения объекта и распределению масс его элементов определить характеристики сило вых полей, в которых функционирует объект.

2. При заданных характеристиках силовых полей и распределе нию масс элементов объекта определить закон его движения.

Решение названных двух задач требуе т уме ния производить их постановку. Процедура постанов ки задач динамики включает в себя три эт апа:

1. Формулировку задачи.

2. Построение расчетной схемы.

3. Построение математической модели.

Формулировка задачи - это условие (текст) задачи. Она осуществляется руководителем работ совместно с исполнителем.

Расчетная схема - это рисунок, на котором изображены:

а) рационально выбранная система координат;

б) упрощенная схема механической системы в произвольном положении;

в) действующие силы, кинематические характеристики и т.п. (в зависимости от применяемого метода).

Математическая модель - это система дифференциальных уравнений, алгебраических уравнений и начальных условий, описывающих динамическое поведение механической системы.

Пример Д13. Исследовать движение механизма с одной степенью свободы, изображенного на рис.1. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Сопротивление, возникающее в демпфирующем устройстве, принять пропорциональным первой степени скорости груза 3. В к ач естве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 3 – S. Качение катка 1 происходит без скольжения. К грузу 3 приложена возмущающая сила .

Дано: m₁, m₂, m₃ - массы тел механической системы, с - жесткость упругого элемента, r₁ - радиус однородного катка 1, r₂, R₂ - радиусы ступеней блока 2, i₂- радиус инерции блока 2, - коэффициент сопротивления среды, - угол наклона плоскости, по которой катится каток 1.

Рис.1

Определить: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Порядок выполнения работы:

1) Построить расчетную схему.

2) Используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы, составить дифференциальное уравнение движения механизма.

3) Сформулировать начальные условия движения.

4) Найти решение дифференциального уравнения движения.

5) Используя начальные условия, определить произвольные постоянные , которые возникают в процессе интегрирования дифференциаль ного уравнения дв ижения .

6) Подставив найденные постоянные интегрирования в решение дифференциального уравнения, записать закон движения объекта.

7) Составить систему уравнений для определения реакций связей с помощью теоремы об изменении количества движения механической си стемы и теоремы об изменении кинетического момента механиче ско й системы.

8) Построить алгоритм вычислений для реализации на ЭВМ.

9) Произвести вычисления в дисплейном классе.

10) Произвести графическую обработку результатов вычислений.

Решение.

1. Применение основных теорем динамики механической системы

1.1. Постановка второй основной задачи динамики механической системы

Расчетная схема представлена на рис.2

Рис.2

На рис. 2 обо значено:

- силы тяжести,

- нормальная реакция опорной плоскости,

- сила сцепления,

- упругая реакция пружины,

- реакции подшипника блока 2,

- сила вязкого сопротивления,

- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 1 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 3.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

, (1.1)

где Т - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы".

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

. (1.2)

Каток 1 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:

, (1.3)

где V_C1 – скорость центра масс катка;

J_C1 – момент инерции относительно центральной оси катка;

– угловая скорость катка.

Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия

, (1.4)

где J_C2 – момент инерции относительно центральной оси блока;

– угловая скорость блока.

Груз 3 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

. (1.5)

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

. (1.6)

Выразим V_C1, и через скорость груза 3. Положив V₃ = V, получим

(1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

(1.8)

или

, (1.9)

где

. (1.10)

Величину будем называть приведенной массой.

Найдем производную от кинетической энергии по времени

. (1.11)

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения

. (1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

. (1.13)

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы

Сумма мощностей остальных сил

; (1.14)

или, раскрывая скалярные произведения,

. (1.15)

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

(1.16)

или

, (1.17)

где

. (1.18)

Величину F_пр будем называть приведенной силой.

Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического f_ст и динамического S_C1 удлинений

причем из выражения (1.7) для V_С1 следует, что .

Тогда упругая сила будет равна:

. (1.19)

Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для F_уп и R запишем в виде:

. (1.20)

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.20) и , получаем условие равновесия системы

. (1.21)

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины

. (1.22)

Учитывая (1.22) в (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

. (1.23)

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

. (1.24)

Запишем последнее уравнение в виде:

, (1.25)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

- циклическая частота свободных колебаний,

- показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

. (1.26)

Выражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

1.2. Определение закона движения системы.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

, (2.1)

где - амплитуда возмущающей силы,

р - циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25), имеет вид:

. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

, (2.3)

где А и - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

. (2.5)

В зависимости от знака подкоренного выражения, корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными или действительными. Возможны три случая:

- подкоренное выражение отрицательное, следовательно корни комплексно-сопряженные,

- подкоренное выражение равно нулю, корни действительные, кратные.

- подкоренное выражение больше нуля, корни действительные, разные.

В первом случае () общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

, (2.6)

где А₁, А₂ – постоянные интегрирования,

. (2.7)

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

нетрудно представить в виде:

, (2.8)

где a, - постоянные интегрирования.

Во втором случае () общее решение имеет вид:

. (2.9)

В третьем случае () общее решение имеет вид:

. (2.10)

где

Далее предполагается, что в рассматриваемом примере имеет место случай .

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

. (2.11)

Частное решение ищем в виде правой части

. (2.12)

Подставляя (2.12) в (2.11), после несложных преобразований получаем

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:

;

. (2.13)

Таким образом, решение (2.12) определено. Складывая (2.8) и (2.12), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.11)

. (2.14)

Константы а и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.14)

(2.15)

Подчинив (2.14) и (2.15) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

Решая эту систему, получаем:

. (2.16)

Подставляя (2.16) в (2.14), получаем закон движения механизма.

1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей.

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения

, (3.1)

и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс

. (3.2)

В соответствии с расчетными схемами (рис. 3) записываем уравнения (3.1) и (З.2) в проекциях на оси координат

тело 1:

, (3.3)

, (3.4)

; (3.5)

тело 2:

, (3.6)

, (3.7)

; (3.8)

тело 3:

. (3.9)

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) -(3.9) преобразуем к виду:

, (3.10)

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций

, N₁, F_сц, T₁₂, T₂₃, X₂, Y₂.

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение движения системы, и выражения для определения реакций.

2. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.

2.1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа

. (4.1)

Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

- сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Реакции идеальных связей не учитывают и не отображают на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю. Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

. (4.2)

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их, получаем после несложных преобразований

. (4.3)

Аналогичное выражение для приведенной силы F_пр получено ранее [см. (1.23)].

Найдем возможную работу сил инерции:

. (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

; ;

; . (4.5)

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

; ;

; ; (4.6)

; .

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

(4.7)

или

, (4.8)

где

. (4.9)

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [см.(1.10)]. Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем

. (4.10)

Поделив (4.10) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

, (4.11)

где

;

. (4.12)

Дифференциальное уравнение (4.11) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).

2.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Составим теперь уравнения Лагранжа 2-го рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

, (4.13)

где Т - кинетич еская энергия системы;

Q - обобщенная сила;

S - обобщенная координата;

- обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8):

где

Учитывая, что , получаем

. (4.14)

Производные от кинетической энергии

; ; . (4.15)

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис. 4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см. (4.3)]:

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

. (4.16)

Сравнивая два последних соотношения, получаем

. (4.17)

Подставляя производные от кинетической энергии (4.15) и обобщенную силу (4.16) в уравнение Лагранжа, получаем

или

. (4.18)

Полученное уравнение (4.18) совпадает с уравнениями (1.25) и (4.11).

3. Анализ колебаний механической системы с одной степенью свободы

3.1. Колебания механической системы при отсутствии сил сопротивления среды

В дифференциальном уравнении движения системы, полученном ранее (1.25), полагаем , тогда уравнение движения примет вид:

(5.1)

Начальные условия: при заданы и .

3.1.1. Свободные колебания

Если внешнее возмущение отсутствует (т.е. ), то дифференциальное уравнение движения становится однородным:

(5.2)

и называется дифференциальным уравнением свободных колебаний, т.е. таких движений системы, которые происходят под действием так называемых восстанавливающих сил. Восстанавливающие силы – это такие силы, каждая из которых стремится вернуть систему в состояние статического равновесия (силы тяжести, упругие силы).

Решение уравнения (5.2) с учетом начальных условий имеет вид:

(5.3)

где ; ; . (5.4)

Анализируя решение (5.3) можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания (рис.5.1) системы с одной степенью свободы представляют собой гармонические колебания.

2. Амплитуда (максимальное отклонение системы от состояния равновесия) и начальная фаза зависят от начальных условий.

3. Циклическая частота и соответственно период колебаний от начальных условий не зависят, а зависят только от жесткой и инерционной характеристик системы.

4. Отношения амплитуд колебаний различных точек системы не зависят от начальных условий, так как начальные условия влияют на амплитуды только через множитель , общий для всех точек.

5. Все точки системы всегда находятся в одной фазе, т.е. они одновременно проходят через свои равновесные положения; координаты всех точек одновременно достигают своих максимальных значений.

3.1.2. Вынужденные колебания

При воздействии возмущающей силы решение неоднородного дифференциального уравнения (5.1) с учетом начальных условий представим в виде:

(5.5)

где .

Первые два слагаемых правой части уравнения (5.5):

(5.6)

соответствуют свободным колебаниям с частотой (рис.5.1), т.е. колебаниям, которые совершал бы осциллятор при отсутствии возмущений. При нулевых начальных условиях, т.е. когда , такие колебания во все время действия возмущающей силы не возникают.

Третье слагаемое в (5.5)

(5.7)

- гармоническое колебание, происходящее с собственной частотой системы, но с амплитудой, зависящей от амплитуды возмущающей силы

(5.8)

Эти колебания также относятся к свободным колебаниям. Они всегда сопровождают вынужденные колебания при любых начальных условиях, от которых они вообще не зависят.

Их называют сопровождающими колебаниями (рис. 5.2).

Четвертое слагаемое в выражении (4.5):

(5.9)

представляет собой вынужденные колебания системы (рис. 5.3).

Таким образом, колебания линейного осциллятора в рассмотренном случае представляют собой линейное наложение трех гармонических колебаний: свободных, сопровождающих и вынужденных (рис. 5.4).

Отметим следующие свойства вынужденных колебаний:

1. Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей силы.

2. Вынужденные колебания не зависят от начальных условий, поэтому для изменения, например, амплитуды (при заданной возмущающей силе) вынужденных колебаний необходимы существенные изменения параметров конструкции: ее жесткости, распределения масс, тогда как в свободных колебаниях для этого достаточно изменить начальные условия.

3. Если , то знак отклонения будет совпадать со знаком возмущающей силы , т.е. сила и вызванные ею вынужденные колебания будут находиться в одной фазе.

Если , то знак отклонения будет противоположен знаку силы.

Переписав для этого случая выражение (5.9) в виде:

, (5.10)

убеждаемся, что при возмущающая сила и вызванные ею колебания находятся в противоположенных фазах.

Резонанс.

4. Если , то выражения (5.7) и (5.9) теряют смысл. Для анализа колебаний в этой ситуации эти выражения рассматриваются совместно

(5.11)

т.е. получим неопределенность, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя, заменив дробь в (5.11) пределом

Таким образом, в этом случае общий интеграл (5.5) будет иметь вид:

. (5.12)

И здесь, как в (5.5) движение осциллятора представляет собой линейное наложение трех колебательных движений, но с одним существенным отличием от (5.5): вынужденные колебания представлены непериодическим слагаемым:

, (5.13)

в коэффициенты которого входит время t.

С течением времени он растет по абсолютной величине безгранично, причем вынужденные колебания происходят с возрастающей по линейному закону амплитудой.

Такая ситуация при колебаниях называется резонансом.

Биение.

5. Если частота вынужденных колебаний не равна частоте свободных колебаний, но близка к ней, то, записав выражение (5.11) в виде:

, (5.14)

полагаем , но , , и преобразовываем (5.14) к виду:

. (5.15)

Используя тригонометрическое выражение:

получим

, (5.16)

т.е. ,

где - есть амплитуда колебаний, являющаяся периодичной функцией времени и меняется весьма медленно с большим периодом , чем период самих колебаний , т.е. , и малой частотой .

Подобная рассмотренному случаю ситуация представляет собой биение (рис. 5.5).

Таким образом, когда частота вынужденных колебаний весьма близка к частоте свободных (или собственных) колебаний системы, но не равна ей, в колебательной системе возникает биение.

3.2. Колебания механической системы в вязкой среде

Дифференциальное уравнение движения имеет вид (1.25):

. (5.17)

Начальные условия: . (5.18)

3.2.1. Свободные колебания

Полагая в (5.17) , т.е. возмущения отсутствуют, получим

(5.19)

Ограничимся случаем малых сопротивлений и примем .

Тогда общее решение однородного уравнения (5.19) с учетом начальных условий можно представить в виде (рис. 5.6):

, (5.20)

где . (5.21)

. (5.22)

Из закона движения системы (5.20) видно, что в сопротивляющейся среде:

1) свободные колебания являются затухающими;

2) частота затухающих колебаний меньше частоты незатухающих колебаний ;

3) амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненциальному закону;

4) период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний ;

5) отношение любых двух соседних амплитуд: и есть величина постоянная

. (5.23)

Это отношение называется декрементом затухания. Логарифм этого коэффициента

(5.24)

называется логарифмическим декрементом.

Декремент или логарифмический декремент используются для оценки быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний.

3.2.2. Вынужденные колебания в сопротивляющейся среде

Дифференциальное уравнение движения в этом случае является неоднородным:

, (5.25)

его общее решение имеет вид:

. (5.26)

При начальных условиях постоянные интегрирования будут такими

(5.27)

После подстановки постоянных интегрирования (5.27) в общее решение (5.26) получим закон движения механической системы:

(5.28)

где

; (5.29)

;

(5.30)

- коэффициент динамичности. (5.31)

В выражении (5.28) первое слагаемое представляет собой собственные затухающие колебания (рис. 5.6):

Второе и третье слагаемые в совокупности представляют собой сопровождающие колебания (рис. 5.7):

. (5.32)

Последнее слагаемое

(5.33)

- вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 5.8).

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний при резонансе достигает значительной величины при малых сопротивлениях.

. (5.34)

Если , но близка к ней, то, положив , выражение (5.32) для сопровождающих колебаний представится в виде:

. (5.35)

Рассматривая (5.33) и (5.35) совместно и, добавив выражение

равное нулю, получим закон движения механической системы в виде:

(5.36)

Но выражение в квадратных скобках можно представить так (5.15):

. (5.37)

Тогда получим, положив ,

(5.38)

Последнее слагаемое в (5.38) представляет собой колебания биений с затухающей амплитудой

т.е. . (5.39)

Второе слагаемое в (5.38) – это незатухающие вынужденные колебания

. (5.40)

Первое слагаемое в (5.38) – это затухающие сопровождающие колебания

. (5.41)

Таким образом, в реальных условиях колебания биений, вызываемые возмущенной силой с частотой, близкой к частоте затухающих колебаний, могут иметь практическое значение только в начале движения, в так называемый переходный период, и при малом значении коэффициента затухания n. При установившемся движении, которое наступает тем быстрее, чем больше сопротивление, движение системы определяется уравнением:

3.3. Коэффициент динамичности

Как было отмечено выше (5.31), коэффициентом динамичности называется отношение максимального динамического отклонения механической системы от положения устойчивого равновесия к статическому отклонению под воздействием силы, равной амплитуде возмущающей силы (рис. 5.10).

, (5.42)