Главная
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИНАМИКЕ
Определение опорных реакций составной
балки под действием переменных по направлению сил
В практике инженерных расчетов на прочность опор составных неподвижных конструкций (балок) возникает необходимость определения максимальных значений сил реакций при действии на конструкцию переменных по направлению и постоянных по модулю сил. Такое воздействие на конструкцию оказывает, например, установленные на ней различные механизмы с вращающимися неуравновешенными массами.
Решая эту задачу методами статики, составную балку расчленяют по внутренним связям на отдельные части, выделяют одну из них, заменяя действие отброшенных частей реакциями соответствующих внутренних связей и составляют уравнения равновесия. Затем, применяя те же рассуждения к каждой из остальных составных частей, получают систему уравнений, из которой и определяют искомые опорные реакции. Такое решение является довольно громоздким.
Применение принципа возможных перемещений позволяет чрезвычайно упростить решение задачи и определить любую искомую опорную реакцию из одного соответствующим образом составленного уравнения. Особенно эффективно применение этого принципа в тех случаях, когда требуется определить только одну опорную реакцию, при этом значительно упрощается программа для решения задачи на ЭВМ.
Пример Д14. Конструкция состоит из двух
жестких стержней АД и СВ, соединенных в точке С цилиндрическим
шарниром (рис. 1). Внешними связями являются в точке А шарнирно-неподвижная опора, а в точке Д и В –
шарнирно-подвижные опоры на катках.
Дано: На конструкцию действуют пара сил
с моментом М = 60 кНм
и две силы: F1 = 40 кН и F2 = 50 кН, направление которых задано углами 
= 30° и 
= 60°.
Определить: реакции внешних связей при изменении направления каждой из заданных сил в отдельности. При окончательных расчетах принять а = 0,4 м.
Рис. 1
Указания. При решении данной задачи следует применить принцип возможных (виртуальных) перемещений в сочетании с принципом освобождаемости от связей. Для этого отбрасывают соответствующую связь и заменяют ее действие искомой реакцией, конструкция (механическая система) при этом должна приобрести одну степень свободы. Далее, сообщая системе возможное перемещение, составляют уравнение равновесия в форме возможных (виртуальных) работ, учитывая и работу искомой реакции. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.
Ниже приведены примеры использования принципа освобождаемости от связей для основных типов опор.
Шарнирно-неподвижная опора
А (рис.2, а)
Рис. 2
Эта связь
имеет две составляющие реакции: 
и 
. Для определения составляющей эту опору преобразуют
так, как показано на рис. 2, б, а
для нахождения – так, как
показано на рис. 2, в.
Шарнирно-подвижная опора В
(рис.3, а)
Для
определения реакции 
отбрасывают опорную
неподвижную поверхность и заменяют ее реакцией 
, как показано на рис. 3, б.
Рис. 3
Невесомый стержень СС1
(рис. 4, а)
В этом случае
стержень заменяют его реакцией 
, направленной вдоль этого стержня (рис. 4, б).
Рис. 4
Гладкая плоскость (рис. 5, а)
Отбрасывая
опорную плоскость, к рассматриваемому телу в точке Д его контакта с этой плоскостью прикладывают реакцию 
(рис. 5, б).
Рис. 5
Жесткая заделка Е (рис. 6, а)
Данная связь
имеет две составляющие реакции 
и 
, а также реактивный момент 
.
Для определения момента жесткую заделку
заменяют неподвижной шарнирной опорой, а к телу 1 прикладывают искомый
реактивный момент (рис. 6, б).
Рис. 6
Для
определения составляющих и , жесткую заделку преобразуют так, как показано на рис. 6, в
и 6, г соответственно.
Следует отметить, что возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как величины первого порядка малости, поэтому действительные криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными, направленными по касательным к траекториям точек, а длины этих отрезков равны длинам соответствующих элементарных дуг. Так как возможные перемещения точек направлены по касательным к их траекториям, то эти перемещения совпадают с направлением скоростей точек. При расчетах учитывать, что зависимость между возможными перемещениями такие же, как между соответствующими скоростями звеньев механизма при его движении.
Для вычисления работы силы, приложенной к телу, которое совершает возможное перемещение, поворачиваясь вокруг мгновенного центра вращения (МЦВ) следует взять с соответствующим знаком произведение момента этой силы относительно МЦВ на угол поворота. Применение же теоремы Вариньона о моменте равнодействующей значительно облегчает процесс решения задачи.
Решение:
1.
Исследование влияния направления силы 
1.1.
Определение реакции 
Расчетная схема в этом случае представлена на рис. 7.
Стержень АД имеет МЦВ в точке Р1, а стержень СВ – в точке Р2. Возможными перемещениями
этих стержней будут углы поворота 
и 
вокруг соответствующих
мгновенных центров вращения. Связь между углами и установим исходя из
возможного перемещения 
общей для обоих
стержней точки С
откуда 
Рис. 7
Из подобия треугольников КСР1 и ВСР2 имеем
или 
тогда
Кроме того, отметим, что в прямоугольном треугольнике Р1КД угол КР1Д равен 450, следовательно, КР1 = КД = 8а. Снова рассматривая подобие треугольников КСР1 и ВСР2, находим
или 
откуда 
Составим уравнение равновесия в форме возможных работ:
В результате
решения полученного алгебраического уравнения с учетом численных значений
заданных величин, находим расчетную зависимость искомой реакции от изменяемого
угла 
:
(1)
1.2. Определение реакции 
Расчетная схема
для определения реакции представлена
на рис.8.
Рис.8
Мгновенный
центр вращения Р1 стержня АД находится на пересечении
перпендикуляров к возможным перемещениям 
и 
точек А и Д соответственно; таким образом
возможным перемещением всего стержня АД
будет являться угол поворота вокруг точки Р1. Возможное перемещение 
точки С перпендикулярно
СР1.
Возможный
поворот стержня СВ
на некоторый угол будет осуществляться
вокруг своего МЦВ (точек Р2),
находящегося на пересечении перпендикуляров к возможным перемещениям и 
.
Установим
связь между углами и :
откуда 
Согласно рис. 8, прямоугольный треугольник DLP1 – равнобедренный, следовательно LP1 = DL = 8a, тогда в треугольнике СКР1 сторона KP1 = KL + LP1 = 4a + 8a = 12a. Из подобия треугольников СКР1 и Р2ВС имеем
или 
Таким
образом 
Составим уравнение равновесия в форме возможных работ:
где
и т. к. 
то 
,
откуда
После подстановок уравнение равновесия приобретет вид
С учетом численных значений заданных величин и в результате соответствующих преобразований получим расчетную формулу
(2)
1.3. Определение реакции 
Расчетная схема представлена на рис. 9.
Рис. 9
Мгновенный
центр вращения стержня СВ
находится в точке Р2, а
возможными перемещениями стержней АЕД
и СВ будут углы поворота и соответственно.
Составим уравнение равновесия:
Здесь 
Из
подобия 
и 
находим 
откуда
следовательно 
Связь между
углами и найдем через возможное
перемещение :
или 
Перепишем уравнение равновесия с учетом найденных величин:
Учитывая численные значения заданных величин после преобразований найдем
(3)
1.4. Определение реакции
Расчетная схема представлена на рис. 10.
Мгновенный
центр вращения стержня СВ
находится в точке С. При этом
возможным перемещением системы является поворот только стержня СВ на угол 
.
Составим уравнение равновесия:
или
откуда
(4)
Рис. 10
Реакция от изменения
направления силы не зависит.
2. Исследование влияния
направления силы 
Так как
уравнения равновесия в форме возможных работ были составлены для определения
реакций всех связей при исследовании влияния силы , то теперь в этих уравнениях следует положить 
, а угол 
– переменным.
В результате соответствующих преобразований уравнений равновесия получим следующие формулы для определения реакций связей
(5)
(6)
(7)
(8)
Результаты расчетов по формулам (1) – (8) представлены в табл. 1 и 2 и на графиках (рис. 11, 12).
Программа вычислений по формулам (1) – (3) на языке Паскаль
Program Met3_1;
const dal=pi/12;
Var
RAx, RAy, RD, RA, A1, alfa: REAL;
F:
Text;
Begin
alfa
:= 0;
Assign(F, 'S1.dat');
ReWrite(F);
Repeat
RAx :=
40*(0.375*sin(alfa) - 0.5*cos(alfa));
RAy :=
9.99 + 20*cos(alfa) -
25*sin(alfa);
RD := - 2.06 - 21.21*sin(alfa) -
28.28*cos(alfa);
RA := sqrt(sqr(RAx) + sqr(RAy));
A1 := alfa*180/pi;
Writeln(F,
A1:8:3, RAx:8:3, RAy:10:3, RD:10:3, RA:12:3);
alfa := alfa
+ dal;
Until alfa
>= 2.1*pi;
End.
Таблица 1
Результаты
вычислений реакций при переменном угле 
|
|
|
|
|
|
0 |
-20,00 |
29,99 |
-30,34 |
|
15 |
-15,43 |
22,83 |
-34,86 |
|
30 |
-9,82 |
14,81 |
-37,15 |
|
45 |
-3,53 |
6,45 |
-37,05 |
|
60 |
2,99 |
-1,66 |
-34,56 |
|
75 |
9,31 |
-8,98 |
29,86 |
|
90 |
15,00 |
-15,01 |
-23,27 |
|
105 |
19,66 |
-19,33 |
-15,22 |
|
120 |
22,99 |
-21,66 |
-6,28 |
|
135 |
24,74 |
-21,83 |
2,93 |
|
150 |
24,82 |
-19,83 |
11,82 |
|
165 |
23,20 |
-15,79 |
19,76 |
|
180 |
20,00 |
-10,01 |
26,22 |
|
195 |
15,43 |
-2,85 |
30,74 |
|
210 |
9,82 |
5,16 |
33,03 |
|
225 |
3,53 |
13,52 |
32,93 |
|
240 |
-2,99 |
21,64 |
30,44 |
|
255 |
-9,31 |
28,96 |
25,74 |
|
270 |
-15,00 |
34,99 |
19,15 |
|
285 |
-19,66 |
39,31 |
11,10 |
|
300 |
-22,99 |
41,64 |
2,16 |
|
315 |
-24,74 |
41,81 |
-7,05 |
|
330 |
-24,82 |
39,81 |
-15,94 |
|
345 |
-23,20 |
35,79 |
-23,88 |
|
360 |
-20,00 |
29,99 |
-30,34 |
Программа вычислений по формулам (5) – (8) на языке Паскаль
PROGRAM MET3_1;
CONST dbet=pi/12;
LABEL 1;
VAR RAx,RAy,RD,RA,RB,betta,B1:REAL; R:TEXT;
BEGIN
betta := 0;
Assign(R,
'S2.dat');
ReWrite(R);
Repeat
RAx :=
-19.195 - 6.25*sin(betta) - 17.5*cos(betta);
RAy :=
18.75*sin(betta) + 2.5*cos(betta) - 4.531;
RD := 8.84*sin(betta) - 45.976*cos(betta) - 21.845;
RB := 25*sin(betta) +
30*cos(betta);
RA := sqrt(sqr(RAx) + sqr(RAy));
B1 := betta*180/pi;
Writeln(R, B1:8:3, RAx:8:3,
RAy:10:3, RD:10:3, RB:10:3, RA:12:3);
betta := betta
+ dbet;
Until betta
>= 2.1*pi;
end.
Таблица
2
Результаты
вычислений реакций при переменном угле 
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-36,69 |
-2,03 |
-67,82 |
30,00 |
|
15 |
-37,71 |
2,73 |
-63,96 |
35,44 |
|
30 |
-37,47 |
7,00 |
-57,24 |
38,48 |
|
45 |
-35,98 |
10,49 |
-48,10 |
38,89 |
|
60 |
-33,35 |
12,95 |
-37,17 |
36,65 |
|
75 |
-29,76 |
14,22 |
-25,20 |
31,91 |
|
90 |
-25,44 |
14,21 |
-13,00 |
25,00 |
|
105 |
-20,70 |
12,93 |
-1,40 |
16,38 |
|
120 |
-15,85 |
10,45 |
8,79 |
6,65 |
|
135 |
-11,24 |
6,95 |
16,91 |
-3,53 |
|
150 |
-7,16 |
2,67 |
22,39 |
-13,48 |
|
165 |
-3,90 |
-2,09 |
24,85 |
-22,50 |
|
180 |
-1,69 |
-7,03 |
24,13 |
-30,00 |
|
195 |
-0,67 |
-11,79 |
20,27 |
-35,44 |
|
210 |
-0,91 |
-16,07 |
13,55 |
-38,48 |
|
225 |
-2,40 |
-19,55 |
4,41 |
-38,89 |
|
240 |
-5,03 |
-22,01 |
-6,51 |
-36,65 |
|
255 |
-8,62 |
-23,28 |
-18,48 |
-31,91 |
|
270 |
-12,94 |
-23,28 |
-30,68 |
-25,00 |
|
285 |
-17,68 |
-21,99 |
-42,28 |
-16,38 |
|
300 |
-22,53 |
-19,51 |
-52,48 |
-6,65 |
|
315 |
-27,15 |
-16,02 |
-60,60 |
3,53 |
|
330 |
-31,22 |
-11,74 |
-66,08 |
13,48 |
|
345 |
-34,48 |
-6,96 |
-68,54 |
22,50 |
|
360 |
-36,69 |
-2,03 |
-67,82 |
30,00 |
, кН
Рис. 11
Рис. 12
Выводы:
Как видно из рис. 11, 12 опорные реакции зависят от направления внешней силы. Применение принципа возможных перемещений позволяет определить величину и направление интересующей реакции, что значительно сокращает трудоемкость расчетов.
Предложенный способ определения дает возможность выявления максимальных значений сил, действующих на опоры, что необходимо при их расчете на прочность.
По зависимостям величин опорных реакций, рис. 11, 12, можно определить ее направление внешней силы, соответствующее максимальным и минимальным значениям опорных реакций.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
