Примеры решения задач

Главная

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

3.1. На проволочной окружности радиусом r надето колечко М, через него проходит стержень ОА, который поворачивается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью.

Определить уравнения движения и уравнение траектории колечка М, если бы в начальный момент стержень ОА был вертикален.

Дано: , .

Найти: , , .

Решение: Из рисунка видно, что амплитуда по оси равна радиусу окружности. При повороте стержня на угол , кольцо М проходит по окружности угол , из чего можно сделать вывод, что угловая скорость кольца М по окружности в два раза больше угловой скорости стержня . Координата в начальный момент равна нулю, так как стержень находится в вертикальном положении, поэтому координата изменяется по синусу и его уравнение:

Относительно точки О координата может изменяться от нуля до , поэтому амплитуда по оси равна . В начальный момент координата занимает максимальное значение, поэтому координата изменяется по косинусу и так как ее значение не может быть отрицательно, то, очевидно по квадрату косинуса:

Уравнение траектории – круг с центром в точке (0;r) будет:

Второй рисунок – начальное положение.

4.1. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти:

Решение: 1. Из первого уравнения и из второго .

Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений:

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где

При t=0: , и тогда ,

При t=1c: и и тогда .

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где

При t=0: , и тогда ,

При t=1c: , и тогда .

3. Траектория представляет собою эллипс с центром в начале координат (0;0) и полуосями 3и 4.

4.2. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки выведем из уравнения время , подставляя во второе уравнение, получим уравнение траектории:

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.3. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

Тогда уравнение траектории - эллипс с полуосями 9 и 18, центр которого в точке (0;0).

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.4. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , ,

Решение: 1. Из уравнений и выражаем:

Складывая их получим уравнение траектории точки:

Траектория является эллипсом с полуосями 8 и 4см с центром в точке (5;0).

2. Скорости точки по осям:

Модуль скорости точки определяется по формуле:

Для момента времени t=0:

Для момента времени t=1c:

Ускорения по осям:

Модуль ускорения точки определяется по формуле:

Для момента времени t=0:

, и

Для момента времени t=1:

, и

4.5. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Тогда уравнение траектории - эллипс с полуосями 4 и 8, центр которого в точке (3;2).

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.6. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки: .

4.7. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим: , тогда . Из уравнения выражаем уравнение траектории : .

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.8. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

Распишем уравнение :

Подставив в уравнение , получим уравнение траектории:

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

4.9. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

4.10. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

4.11. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

4.12. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

4.13. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

4.14. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем:

Это уравнение окружности радиусом 8см.

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.15. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

4.16. Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

Скорость точки по осям:

Общая скорость точки:

Скорости в заданные моменты времени:

Ускорения точки по осям:

Ускорения в заданные моменты времени:

Общее ускорение точки:

email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Строительная механика Сопротивление материалов

Прикладная механика Детали машин Теория машин и механизмов

00:00:00