Главная
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
5.1. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.
Определить:
1) высоту полета H и дальность обстрела L;
2) скорость снаряда в момент падения;
3) ускорение снаряда.
Дано: 
, 
.
Найти: H, L, V, a.
Решение:
1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:
,
Откуда время подъема и половина времени полета:
,
Тогда высота подъема снаряда:
,
Дальность обстрела:
.
2) Горизонтальная скорость:
И вертикальная скорость в конце полета:
.
Общая скорость точки:
.
3) Ускорение снаряда:
.
5.2. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.
Определить:
1) высоту полета H и дальность обстрела L;
2) скорость снаряда в момент падения;
3) ускорение снаряда.
Дано: 
, 
.
Найти: H, L, V, a.
Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:
,
Откуда время подъема и половина времени полета:
,
Тогда высота подъема:
,
И дальность обстрела:
.
2) Горизонтальная скорость:
И вертикальная скорость в конце полета:
.
Общая скорость точки:
.
3) Ускорение снаряда
.
5.3. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.
Определить:
1) высоту полета H и
дальность обстрела L;
2) скорость снаряда в момент падения;
3) ускорение снаряда.
Дано: 
, 
.
Найти: H, L, V, a.
Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:
,
Откуда время подъема и половина времени полета:
,
Тогда высота подъема:
,
И дальность обстрела:
.
2) Горизонтальная скорость:
И вертикальная скорость в конце полета:
.
Общая скорость точки:
.
3) Ускорение снаряда .
5.4. Даны уравнения движения снаряда, вылетевшего из ствола орудия.
Определить:
1) высоту полета H и дальность обстрела L;
2) скорость снаряда в момент падения;
3) ускорение снаряда.
Дано: 
, 
.
Найти: H, L, V, a.
Решение: 1) Когда снаряд в верхней точке траектории, то вертикальная скорость равна нулю:
,
Откуда время подъема и половина времени полета:
,
Тогда высота подъема:
,
И дальность обстрела:
.
2) Горизонтальная скорость:
И вертикальная скорость в конце полета:
.
Общая скорость точки:
.
3) Ускорение снаряда .
5.5. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.
Определить:
1) время Т и дальность L полета груза;
2) скорость груза в момент падения;
3) ускорение груза.
Дано: 
, 
.
Найти: Т, L, υ, а.
Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю:
,
Откуда время движения груза:
.
Дальность полета:
.
Скорости точек – производные перемещений по времени:
,
,
А общая скорость:
.
Ускорение точки:
.
5.6. Даны уравнения движения груза, сброшенного с самолета.
Определить:
1) время Т и дальность L полета груза;
2) скорость груза в момент падения;
3) ускорение груза.
Дано: 
, 
.
Найти: Т, L, υ, а.
Решение: Груз упадет, когда его координата y станет равной нулю:
,
Откуда время до падения:
.
Дальность полета:
.
Скорости точек по осям:
,
,
А общая скорость:
.
Ускорение точки:
.
5.7. Даны уравнения движения точки М линейки эллипсографа.
Определить:
1) уравнения траектории;
2) скорость и ускорение точки в момент, когда пересекает прямую 
.
Дано: 
; 
, 
.
Найти: 
, 
, 
.
Решение: Из уравнений траекторий точки, получим:
,
.
Возводим каждое из них в квадрат и складываем:
,
Это уравнение эллипса с полуосями 10 и 12 с центром в точке (0;0).
Из условия :
,
Откуда искомый момент времени:
.
Скорость точки М по осям:
,
,
Общая скорость точки М:
.
Ускорение точки М по осям:
,
,
Общее ускорение точки М:
.
5.8. Движение снаряда в вертикальной плоскости (см. рис.1.6) описывают
уравнениями: x
= 300 t, м;
y = 400 t – 5t2, м, где t – время, с.
Определить:
– траекторию, скорость и ускорение снаряда
в начальный и конечный моменты времени;
– высоту подъема снаряда над уровнем
горизонта H и дальность обстрела L;
– радиус кривизны траектории в ее
начальной, конечной и наивысшей точках.
Решение: Найдем уравнение траектории, исключив из уравнения
движения 
(м) время t. Сначала
из уравнения 
определим 
,
а затем получим уравнение траектории в следующем виде: 
. Траекторией снаряда в координатах х и у вертикальной плоскости является парабола.
Вычислим проекции скорости и ускорения снаряда на координатные оси:
Определим их значения в начальный момент времени t = 0:
;
Высоту подъема
снаряда над уровнем горизонта можно определить, исследовав на экстремум функции
y(t) по
переменной t.
Это означает, что с точки зрения кинематики проекция скорости точки на ось y в
рассматриваемый момент времени должна быть равна нулю. Тогда 
где 
– время подъёма
снаряда на максимальную высоту, 
с. Подставляя данное значение времени в выражение для y, получим ymax
= H = y(40) = 8 км. Дальность обстрела определим из условия, что в момент падения
снаряда функция y(t) принимает
нулевое значение 
, где 
– время полета
снаряда. Корень этого квадратного уравнения, соответствующий падению снаряда на
землю, 
с, откуда дальность полета хmax
= х(80)
= 24 км.
Теперь, зная
время полета снаряда, можно определить его скорость и ускорение в конце полета.
Подставляя время в выражение для проекции
скорости снаряда на ось y,
получим 
м/с. Проекции скорости и ускорения
на ось x не
зависят от времени и постоянны в течение полета. Таким образом, снаряд движется
с постоянным ускорением, равным 10 м/с2
и направленным вертикально вниз, а его скорость в конце полета равна по
модулю скорости в начале его 
м/с и составляют с осью x одинаковые углы
.
Для определения радиуса кривизны перейдем к кинематическим характеристикам движения снаряда в естественной системе отсчета.
Вначале найдем касательное ускорение по формуле
,
а затем вычислим его для начального момента времени
и для конечного
Теперь можно посчитать нормальное
ускорение по формуле 
, а затем и 
. Поскольку радиус кривизны траектории входит в формулу 
, то
Радиусы кривизны траектории в начале и в конце полета одинаковы. В наивысшей точке траектории
; 
Как видно из приведенного примера, уравнения движения точки содержат все необходимое для исследования характеристик ее движения в любой момент времени.
email: KarimovI@rambler.ru
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
Строительная механика Сопротивление материалов
Прикладная механика Детали машин
Теория
машин и механизмов
